1、5.2 平面向量基本定理 及向量的坐标表示,-2-,知识梳理,考点自诊,1.平面向量基本定理 如果e1,e2是同一平面内的两个 向量,那么对于这一平面内的任意向量a,有且只有一对实数1,2,使a= .其中,不共线的向量e1,e2叫做表示这一平面内所有向量的一组 .把一个向量分解为两个 的向量,叫做把向量正交分解. 2.平面向量的坐标表示 在平面直角坐标系中,分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i,j作为基底,a为坐标平面内的任意向量,以坐标原点O为起点=a,由平面向量基本定理可知,有且只有一对实数x,y,使得 =xi+yj,因此a=xi+yj,我们把实数对 叫做向量a的坐标,记作a= .,
2、不共线,1e1+2e2,基底,互相垂直,(x,y),(x,y),-3-,知识梳理,考点自诊,3.平面向量的坐标运算 (1)向量坐标的求法 若向量的起点是坐标原点,则终点坐标即为向量的坐标. 设A(x1,y1),B(x2,y2),则 = . (2)向量的加法、减法、数乘向量及向量的模 设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a+b= , a-b= ,a= ,4.平面向量共线的坐标表示 设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则ab .,(x2-x1,y2-y1),(x1+x2,y1+y2),(x1-x2,y1-y2),(x1,y1),x1y2-x2y1=0,-4-,知识梳理,考点自诊,5.
3、向量的夹角 已知两个 向量a和b,作 ,则AOB= (0180)叫做向量a与b的夹角.如果向量a与b的夹角是90,我们说a与b垂直,记作 .,1.若a与b不共线,a+b=0,则=0. 2.已知 (,为常数),则A,B,C三点共线的充要条件是+=1.,非零,ab,-5-,知识梳理,考点自诊,1.判断下列结论是否正确,正确的画“”,错误的画“”. (1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底. ( ) (2)平面向量不论经过怎样的平移变换之后其坐标不变. ( ) (3)在ABC中,向量 的夹角为ABC. ( ) (4)已知向量a,b是一组基底,若实数1,1,2,2满足1a+1b=2a+2b,则1=
4、2,1=2. ( ) (5)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则ab的充要条件是 . ( ),-6-,知识梳理,考点自诊,2.(2017河北石家庄二模,文9)已知向量a=(1,m),b=(m,1),则“m=1”是“ab”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件,A,解析:当m=1时,a=b,可以推出ab;当ab时,m2=1,解得m=1,不能推出m=1.所以“m=1”是“ab”的充分不必要条件.故选A.,-7-,知识梳理,考点自诊,C,解析:a+b=(1,3),b=(-1,2),a=(2,1),a-2b=(4,-3), 则 2 =5.,4.
5、(2018衡水中学月考,13)已知向量 ,b=(k,1),若ab,则k= .,1,5.(2018全国3,文13)已知向量a=(1,2),b=(2,-2),c=(1,).若c(2a+b),则= .,解析:2a+b=2(1,2)+(2,-2)=(4,2),c=(1,), 由c(2a+b),得4-2=0,得= .,-8-,考点1,考点2,考点3,考点四,平面向量基本定理的应用,C,2,D,-9-,考点1,考点2,考点3,考点四,-10-,考点1,考点2,考点3,考点四,-11-,考点1,考点2,考点3,考点四,-12-,考点1,考点2,考点3,考点四,思考用平面向量基本定理解决问题的一般思路是什么?
6、 解题心得1.应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算. 2.用平面向量基本定理解决问题的一般思路是:先选择一组基底,再通过向量的加、减、数乘以及向量平行的充要条件,把相关向量用这一组基底表示出来.,-13-,考点1,考点2,考点3,考点四,C,-14-,考点1,考点2,考点3,考点四,-15-,考点1,考点2,考点3,平面向量的坐标运算,D,A,C,-16-,考点1,考点2,考点3,-17-,考点1,考点2,考点3,思考利用向量的坐标运算解决问题的一般思路是什么? 解题心得向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行的.解题过程中,常利
7、用“向量相等,则其坐标相同”这一原则,通过列方程(组)来进行求解.,-18-,考点1,考点2,考点3,C,B,-19-,考点1,考点2,考点3,平面向量共线的坐标表示 例3(1)(2018河南洛阳三模)已知平面向量a=(2,-1),b=(1,1),c=(-5, 1),若(a+kb)c,则实数k的值为( ),B,-20-,考点1,考点2,考点3,思考向量共线有哪几种表示形式?两向量共线的充要条件有哪些应用? 解题心得1.向量共线的两种表示形式 设a=(x1,y1),b=(x2,y2),aba=b(b0);abx1y2-x2y1=0.至于使用哪种形式,应视题目的具体条件而定,一般情况涉及坐标的应用. 2.两个向量共线的充要条件的应用 判断两个向量是否共线(或平行),可解决三点共线的问题;另外,利用两个向量共线的充要条件可以列出方程(组),求出未知数的值.,-21-,考点1,考点2,考点3,对点训练3(1)(2018衡水中学押题二,13)向量a=(m,n),b=(-1,2),若向量a,b共线,且|a|=2|b|,则mn的值为 . (2)已知向量a=(1,2),b=(x,6),且ab,则|a-b|= . (3)在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,设向量p=(a+c,b),q=(b-a,c-a),若pq,则角C的大小为 .,-8,60,
