1、四川省成都外国语学院高三 2011届 9月月考数学试题（理科） 选择题 命题 “若 ，则函数 在其定义域内是减函数 ”的否命题是 ( ) A若 ，则函数 在其定义域内不是减函数 B若 ，则函数 在其定义域内不是减函数 C若 ，则函数 在其定义域内是增函数 D若 ，则函数 在其定义域内是增函数 答案： A 已知抛物线过点 ，且以圆 的切线为准线，则抛物线的焦点的轨迹方程为 ( ) ABCD答案： B 如图，矩形 中， ，沿对角线 将 折起到 的位置，且 在平面 内的射影 落在 边上，则二面角 的平面角的正弦值为 ( ) A B C D 答案： A 人站成一排， 不相邻且 不在两端的概率为 ( )
2、 A B C D 答案： A 在正三棱锥 中， 分别是 的中点， 且 ，若此正三棱锥的四个顶点都在球 O 的面上，则球 O 的体积是 ( ) A B C D 答案： B 已知 均为正数且 ，则使 恒成立的 的取值范围是 ( ) A B C D 答案： C 将函数 的图象上的各点的横坐标伸长到原来的 2倍 (纵坐标不变 )，再向左平移 个单位，所得函数的图象的一条对称轴为 ( ) A B C D 答案： C 曲线 的切线的倾斜角的取值范围为 ( ) A B C D 答案： B 在由正数组成的等比数列 中，若 ，则的值为 ( ) A B C 1 D答案： B 已知函数 在 处连续，则 ( ) A
3、0 B 1 CD 答案： D 已知 ，则向量 在 方向上的投影为 ( ) A B C D 答案： C 函数 的反函数是 ( ) A B C D 答案： B 填空题 有以下命题： 是表面积为 的球面 ( 为球心 )上的三点，若，则三棱锥 的体积为 ； 二项式的展开式的各项的系数和为 ； 已知函数 在处取得极值，则实数 的值是 或 ； 已知点 是抛物线的准线与双曲线 的两条渐近线所围成的三角形区域 (含边界 )内的任意一点，则 的最大值为 9。其中正确命题的序号有 _ 答案： 设 O 为 的三内角平分线的交点，当 AB=AC=5， BC=6时 ,其中 ，则复数 _ 答案： 设随机变量 服从二项分布
4、，即 ，则_ 答案： 解答题 已知 。 (1)若 ，求 的取值集合； (2)求函数 的周期及增区间。 答案：解： (1) ， 而 ，即 或 的取值集合为 或 ( ) (2) 的周期 的增区间为 由 ，得 的增区间为 在一次抗洪抢险中准备用射击的方法引爆从上游漂流而下的一个巨大汽油罐。已知只有 5发子弹，第一次命中只能使汽油流出，第二次命中才能引爆。每次射击是相互独立的，且命中的概率都是 。 (1)求油罐被引爆的概率； (2)如果引爆或子弹打光停止射击，设射击次数为 ，求 的分布列及数学期望。 答案：解： (1)设命中次数为 ，则当 或 时，油罐不能被引爆。 ； 所以油罐被引爆的概率 (2)射击
5、次数 的取值为 ； ； ； 所以 的分布列为： 2 3 4 5 的数学期望： 如图，等边 与直角梯形 ABDE所在平面垂直， ， AE AB， O 为 AB的中点 （ 1）证明： ； （ 2）求二面角 的余弦值 答案： 解法一：（ 1）证明：因 为等边三角形，且 O 为 AB中点 ，又 平面 ABDE 平面 ABC CO 平面 ABDE， DE 平面 ABDE。 CO DE （ 2）解：过 O 作 于 ，连接 ，则由三垂线定理得 所求二面角的平面角为 在正三角形 中可求得 ，在直角梯形中可求得 所以所求二面角的余弦值为 解法二：以 的中点 为原点建立直角坐标系（如图）， 则 ， ， ， ， ，
6、 （ 1）证明： ， （ 2）解：显然，面 的一个法向量 ， 设面 的一个法向量为 ，则由 得 ， 由得 ，取 ， ， 所以所求二面角的余弦值为 已知函数 。 (1)求函数 的单调区间和值域； (2)设 ，函数 ，若对于任意 总存在，使得 成立，求实数 的取值范围。 答案：解： (1) ， 由 ，得 且 由 ，得 或 ，又已知 的增区间为 ，减区间为 而 ，且 在区间 上连续 的值域为 (2)由 ，得 ，则 ， 在区间 上是减函数 的值域为 ，根据题意，有 则 ，解之得 实数 的取值范围为 如图，设抛物线方程为 直线 上任意一点，过 M引抛物线的切线，切点分别为 A， B。 （ 1）求证：
7、 A， M， B三点的横坐标成等差数列； （ 2）已知当 M点的坐标为 时， ，求此时抛物线的方程； （ 3）是否存在点 M，使得点 C关于直线 AB的对称点 D在抛物线上，其中，点 C满足 （ O 为坐标原点） .若存在，求出所有适合题意的点 M的坐标；若不存在，请说明理由 . 答案：（ 1）证明：由题意设 由 得 ，则 所以 因此直线 MA的方程为 直线 MB的方程为 所以 ； 由 - 得 ，而 ，因此 所以 A、 M、 B三点的横坐标成等差数列 . （ 2）解：由（ 1）知，当 x0=2时， 将其代入 、 并整理得： 所以 x1、 x2是方程 的两根， 因此 又 所以 由弦长公式得： 又
8、 ，所以 p=1或 p=2， 因此所求抛物线方程为 或 （ 3）解：设 ，由题意得 则 CD的中点坐标为 设直线 AB的方程为 由点 Q 在直线 AB上，并注意到点 也在直线 AB上， 代入得 若 在抛物线上，则 因此 x3=0或 x3=2x0.即 D(0， 0)或 （ 1）当 x0=0时，则 ，此时，点 M 适合题意 . （ 2）当 ，对于 D(0， 0)，此时 又 AB CD，所以 即 矛盾 . 对于 因为 此时直线 CD平行于 y轴，又 所以直线 AB与直线 CD不垂直，与题设矛盾， 所以 时，不存在符合题意的 M点 . 综上所述，仅存在一点 M 适合题意 . 已知数列 的首项 ， ， （ 1）求 的通项公式； （ 2）证明：对任意的 ， ， ； （ 3）证明： 答案：（ 1）解： ， ， ， 又 ， 是以 为首项， 为公比的等比数列 ， （ 2）证法一：由（ 1）知 ， ， 原不等式成立 证法二：设 ， 则 ， 当 时， ；当 时， ， 当 时， 取得最大值 原不等式成立 （ 3）证明：由（ 2）知，对任意的 ，有 取 ， 则 原不等式成立
