1、 2013 年中考数学试题（ 江苏常州 卷） （本试卷满分 120 分，考试时间 120 分钟） 一选择题（本大题共有 8 小题，每小题 2 分，共 16 分，在每小题所给的四个选项中，只有一项是正确的） 1 （ 2013 年江苏常州 2 分） 在下列实数中，无理数是【 】 A 2 B 3.14 C 12D 3 【答案】 D。 2 （ 2013 年江苏常州 2 分） 如图所示圆柱的左视图是【 】 A B C D 【答案】 C。 3（ 2013 年江苏常州 2 分） 下列函数中，图象经过点（ 1， 1）的反比例函数关系式是【 】 A 1yxB 1yxC 2yxD 2yx【答案】 A。 4 （ 2
2、013 年江苏常州 2 分） 下列计算中，正确的是【 】 A（ a3b） 2=a6b2 B aa4=a4 C a6a 2=a3 D 3a+2b=5ab 【答案】 A。 5（ 2013 年江苏常州 2 分） 已知：甲乙两组数据的平均数都是 5，甲组数据的方差2 1S 12甲，乙组数据的方差2 1S 10乙，下列结论中正确的是【 】 A甲组数据比乙组数据的波动大 B乙组数据的比甲组数据的波动大 C甲组数据与乙组数据的波动一样大 D甲组数据与乙组数据的波动不能比较 【答案】 B。 6 （ 2013 年江苏常州 2 分） 已知 O 的半径是 6，点 O 到直线 l 的距离为 5，则直线 l 与 O的位
3、置关系是【 】 A相离 B相切 C相交 D无法判断 【答案】 C。 7 （ 2013 年江苏常州 2 分） 二次函数 2y a x b x c （ a、 b、 c 为常数且 a0）中的 x 与 y的部分对应值如下表： x 3 2 1 0 1 2 3 4 5 y 12 5 0 3 4 3 0 5 12 给出了结论： （ 1）二次函数 2y a x b x c 有最小值，最小值为 3； （ 2）当 1x22时， y 0； （ 3）二次函数 2y a x b x c 的图象与 x 轴有两个交点，且它们分别在 y 轴两侧 则其中正确结论的个数是【 】 A 3 B 2 C 1 D 0 【答案】 B。 8
4、 （ 2013 年江苏常州 2 分） 有 3 张边长为 a的正方形纸片， 4 张边长分别为 a、 b（ b a）的矩形纸片， 5 张边长为 b 的正方形纸片，从其中取出若干张纸片，每种纸片至少取一张，把取出的这些纸片拼成一个正方形（按原纸张进行无空隙、无重叠拼接），则拼成的正方形的边长最长可以为【 】 A a+b B 2a+b C 3a+b D a+2b 【答案】 D。 二填空题（本大题共有 9 小题，第 9 小题 4 分，其余 8 小题每小题 2 分，共 20 分，） 9（ 2013年江苏常州 4分） 计算 3 ， 3 ， 13 ， 23 【答案】 3； 3； 13； 9。 10（ 2013
5、年江苏常州 2分） 已知点 P（ 3， 2），则点 P关于 y轴的对称点 P1的坐标是 ，点 P 关于原点 O 的对称点 P2的坐标是 【答案】 （ 3， 2） ； （ 3， 2） 。 11 （ 2013 年江苏常州 2 分） 已知一次函数 y=kx+b（ k、 b 为常数且 k0）的图象经过点 A（ 0， 2）和点 B（ 1， 0），则 k= ， b= 【答案】 2； 2。 12（ 2013年江苏常州 2分） 已知扇形的半径为 6cm，圆心角为 150，则此扇形的弧长是 cm，扇形的面积是 cm2（结果保留 ） 【答案】 5 ； 15 。 13 （ 2013 年江苏常州 2 分） 函数 y
6、x 3中自变量 x 的取值范围是 ；若分式2x 3x1 的值为 0，则 x= 【答案】 x3 ； 3x2。 14 （ 2013 年江苏常州 2 分） 我市某一周的每一天的最高气温统计如下表： 最高气温（ ） 25 26 27 28 天数 1 1 2 3 则这组数据的中位数是 ，众数是 【答案】 27； 28。 15 （ 2013 年江苏常州 2 分） 已知 x= 1 是关于 x 的方程 222 x a x a 0 的一个根，则 a= 【答案】 2 或 1。 16 （ 2013 年江苏常州 2 分） 如图， ABC 内接于 O， BAC=120， AB=AC， BD 为 O的直径， AD=6，则
7、 DC= 【答案】 23。 17 （ 2013 年江苏常州 2 分） 在平面直角坐标系 xOy 中，已知第一象限内的点 A在反比例函数 1yx的图象上，第二象限内的点 B在反比例函数 kyx的图象上，连接 OA、 OB，若OA OB， OB= 22OA，则 k= 【答案】 12。 三、解答题（本大题共 2 小题，共 18 分） 18 （ 2013 年江苏常州 8 分） 化简 （ 1） （ 2013 年江苏常州 4 分） 0 04 2 0 1 3 2 c o s 6 0 【答案】 解：原式 = 12 1 2 22 。 （ 2） （ 2013 年江苏常州 4 分）22 x 1x 4 x 2 【答案
8、】 解：原式 = 2 x x 2 x 2 1x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 。 19 （ 2013 年江苏常州 10 分） 解方程组和分式方程： （ 1）解方程组 （ 2013 年江苏常州 5 分） x 2y 03x 4y 6【答案】 解： x 2 y 03 x 4 y 6， 由 得 x= 2y 把 代入 ，得 3（ 2y） +4y=6，解得 y= 3。 把 y= 3 代入 ，得 x=6。 原方程组的解为 x6y3。 （ 2） （ 2013 年江苏常州 5 分） 解分式方程 75x 2 2 【答案】 解：去分母，得 14=5（ x 2）， 解得 x=4.8， 检验：当
9、x=4.8 时， 2（ x 2） 0， 原方程的解为 x=4.8。 四、解答题（本大题共 2 小题，共 15 分请在答题卡指定区域内作答，解答或写出文字说明及演算步骤） 20 （ 2013 年江苏常州 7 分） 为保证中小学生每天锻炼一小时，某校开展了形式多样的体育活动项目，小明对某班同学参加锻炼的情况进行了统计，并绘制了下面的统计图（ 1）和图（ 2） （ 1）请根据所给信息在图（ 1）中将表示 “乒乓球 ”项目的图形补充完整； （ 2）扇形统计图（ 2）中表示 ”足球 ”项目扇形的圆心角度数为 【答案】 解：（ 1）总人数是： 2040%=50（人）， 则打乒乓球的人数是： 50 20 1
10、0 15=5（人）。 补图如下： （ 2） 72。 21 （ 2013 年江苏常州 8 分） 一只不透明的箱子里共有 3 个球，其中 2 个白球， 1 个红球，它们除颜色外均相同 （ 1）从箱子中随机摸出一个球是白球的概率是多少？ （ 2）从箱子中随机摸出一个球，记录下颜色后不将它放回箱子，搅匀后再摸出一个球，求两次摸出的球都是白球的概率，并画出树状图 【答案】 解：（ 1） 共有 3 个球， 2 个白球， 随机摸出一个球是白球的概率为。 （ 2）根据题意画出树状图如下： 一共有 6 种等可能的情况，两次摸出的球都是白球的情况有 2 种， P（两次摸出的球都是白球） 2163。 五解答题（本大
11、题共 2 小时，共 13 分，请在答题卡指定区域内作答，解答应写出证明过程） 22 （ 2013 年江苏常州 6 分） 如图， C 是 AB 的中点， AD=BE， CD=CE 求证： A= B 【答案】 证明： C 是 AB 的中点， AC=BC。 在 ACD 和 BCE 中， AD=BE， CD=CE AC=BC， ACD BCE（ SSS）。 A= B。 23 （ 2013 年江苏常州 7 分） 如图，在 ABC 中， AB=AC， B=60， FAC、 ECA是 ABC 的两个外角， AD 平分 FAC， CD 平分 ECA 求证：四边形 ABCD 是菱形 【答案】 证明： B=60，
12、 AB=AC， ABC 为等边三角形。 AB=BC， ACB=60。 FAC= ACE=120。 BAD= BCD=120。 B= D=60。 四边形 ABCD 是平行四边形。 AB=BC， 平行四边形 ABCD 是菱形。 六解答题（本大题共 2 小题，请在答题卡指定区域内作答，共 13 分） 24 （ 2013 年江苏常州 6 分） 在 Rt ABC 中， C=90， AC=1， BC= 3 ，点 O为 Rt ABC内一点，连接 A0、 BO、 CO，且 AOC= COB=BOA=120，按下列要求画图（保留画图痕迹）： 以点 B为旋转中心，将 AOB绕点 B顺时针方向旋转 60，得到 AO
13、B（得到 A、 O 的对应点分别为点 A、 O），并回答下列问题： ABC= ， ABC= ， OA+OB+OC= 【答案】 解：作图如下： 30； 90； 7 。 25 （ 2013 年江苏常州 7 分） 某饮料厂以 300 千克的 A种果汁和 240 千克的 B种果汁为原料，配制生产甲、乙两种新型饮料，已知每千克甲种饮料含 0.6 千克 A种果汁，含 0.3 千克B种果汁；每千克乙种饮料含 0.2 千克 A种果汁，含 0.4 千克 B种果汁饮料厂计划生产甲、乙两种新型饮料共 650 千克，设该厂生产甲种饮料 x（千克） （ 1）列出满足题意的关于 x 的不等式组，并求出 x 的取值范围；
14、（ 2）已知该饮料厂的甲种饮料销售价是每 1 千克 3 元，乙种饮料销售价是每 1 千克 4 元，那么该饮料厂生产甲、乙两种饮料各多少千克，才能使得这批饮料销售 总金额最大？ 【答案】 解：（ 1）设该厂生产甲种饮料 x 千克，则生产乙种饮料（ 650 x）千克， 根据题意得， 0 . 6 x 0 . 2 6 5 0 x 3 0 00 . 3 x 0 . 4 6 5 0 x 2 4 0 ， 由 得， x425，由 得， x200， x 的取值范围是 200x425。 （ 2）设这批饮料销售总金额为 y 元，根据题意得， y 3 x 4 6 5 0 x 3 x 2 6 0 0 4 x x 2 6
15、 0 0 （ ），即 y= x+2600， k= 1 0， 当 x=200 时，这批饮料销售总金额最大，为 200+2600=2400 元。 七解答题（本大题共 3 小题，共 25 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 26（ 2013 年江苏常州 6 分） 用水平线和竖起线将平面分成若干个边长为 1 的小正方形格子，小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的多边形称为格点多边形设格点多边形的面积为 S，该多边形各边上的格点个数和为 a，内部的格点个数为 b，则 1S a b 12 （史称 “皮克公式 ”） 小明认真研究了 “皮克公式 ”，并受此启发对正三角开形网格中的类似问题进行探究：正
16、三角形网格中每个小正三角形面积为 1，小正三角形的顶点为格点，以格点为顶点的多边形称为格点多边形，下图是该正三角形格点 中的两个多边形： 根据图中提供的信息填表： 格点多边形各边上的格点的个数 格点边多边形内部的格点个数 格点多边形的面积 多边形 1 8 1 多边形 2 7 3 一般格点多边形 a b S 则 S 与 a、 b 之间的关系为 S= （用含 a、 b 的代数式表示） 【答案】 解：填表如下： 格点多边形各边上的格点的个数 格点边多边形内部的格点个数 格点多边形的面积 多边形 1 8 1 8 多边形 2 7 3 11 一般格点多边形 a b S a+2（ b 1） 27 （ 201
17、3 年江苏常州 9 分） 在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A（ 6， 0），点 B（ 0， 6），动点 C 在以半径为 3 的 O 上，连接 OC，过 O 点作 OD OC， OD 与 O 相交于点 D（其中点 C、 O、 D 按逆时针方向排列），连接 AB （ 1）当 OC AB 时， BOC 的度数为 ； （ 2）连接 AC， BC，当点 C 在 O 上运动到什么位置时， ABC 的面积最大？并求出 ABC的面积的最大值 （ 3）连接 AD，当 OC AD 时， 求出点 C 的坐标； 直线 BC 是否为 O 的切线？请作出判断，并说明理由 【答案】 解：（ 1） 45或 135。 （
18、 2）当点 C 到 AB 的距离最大时， ABC 的面积最大。 过 O 点作 OE AB 于 E， OE 的反向延长线交 O 于 C，如图，此时 C 点到 AB 的距离的最大值为 CE 的长， OAB为等腰直角三角形， AB= 2 OA=6 2 。 OE=AB=3 2 。 CE=OC+CE=3+3 2 。 ABC 的面积11C E A B 3 3 2 6 2 9 2 1 822 （ ）。 当点 C在 O上运动到第三象限的角平分线与圆的交点位置时， ABC 的面积最大，最大值为 9 2 18 。 （ 3） 如图，过 C 点作 CF x 轴于 F， OD OC， OC AD， ADO= COD=9
19、0。 DOA+ DAO=90。 DOA+ COF=90， COF= DAO。 Rt OCF Rt AOD。， CF OCOD OA，即 CF 336，解得 3CF2。 在 Rt OCF 中，22 33O F O C C F 2 ， C 点坐标为 3 3 3,22 。 直线 BC 是 O 的切线。理由如下： 在 Rt OCF 中， OC=3， OF= 332， 33O F 32c o s C O FO C 3 2 。 COF=30。 OAD=30。 BOC=60， AOD=60。 在 BOC 和 AOD 中， O C O DB O C A O DB O A O ， BOC AOD（ SAS）。
20、BCO= ADC=90， OC BC。 直线 BC 为 O 的切线。 28 （ 2013 年江苏常州 10 分） 在平面直角坐标系 xOy 中，一次函数 y=2x+2 的图象与 x 轴交于 A，与 y 轴交于点 C，点 B的坐标为（ a， 0），（其中 a 0），直线 l 过动点 M（ 0， m）（ 0 m 2），且与 x 轴平行，并与直线 AC、 BC 分别相交于点 D、 E， P 点在 y 轴上（ P 点异于 C 点）满足 PE=CE，直线 PD 与 x 轴交于点 Q，连接 PA （ 1）写出 A、 C 两点的坐标； （ 2）当 0 m 1 时，若 PAQ 是以 P 为顶点的倍边三角形（注
21、：若 HNK满足 HN=2HK，则称 HNK为以 H为顶点的倍边三角形），求出 m 的值； （ 3）当 1 m 2 时，是否存在实数 m，使 CDAQ=PQDE？若能，求出 m 的值（用含 a的代数式表示）；若不能，请说明理由 【答案】 解：（ 1）在直线解析式 y=2x+2 中，令 y=0，得 x= 1； x=0，得 y=2， A（ 1， 0）， C（ 0， 2）。 （ 2）当 0 m 1 时，依题意画出图形，如图 1， PE=CE， 直线 l 是线段 PC 的垂直平分线。 MC=MP。 又 C（ 0， 2）， M（ 0， m）， P（ 0， 2m 2）。 设直线 l 与 y=2x+2 交于
22、点 D， 令 y=m，则 x= m12， D（ m12， m）。 设直线 DP 的解析式为 y=kx+b，则有 b 2 m 2m2k b m2 ，解得： k2b 2m 2。 直线 DP 的解析式为： y= 2x+2m 2。 令 y=0，得 x=m 1， Q（ m 1， 0）。 已知 PAQ 是以 P 为顶点的倍边三角形，由图可知， PA=2PQ， 2 2 2 2O A O P 2 O P O Q ，即 2 2 221 2 m 2 2 2 m 2 m 1 ， 整理得： 2 1m116。 解得： m=（ 1，不合题意，舍去）或 m=。 m=。 （ 3）当 1 m 2时，假设存在实数 m，使 CDA
23、Q=PQDE， 依题意画出图形，如图 2， 由（ 2）可知， OQ=m 1， OP=2m 2， 由勾股定理得： P Q 5 m 1。 A（ 1， 0）， Q（ m 1， 0）， B（ a， 0）， AQ=m， AB=a+1。 OA=1， OC=2，由勾股定理得： CA= 5 。 直线 l x 轴， CDE CAB。 CD CADE AB。 又 CDAQ=PQDE， CD PQDE AQ。 CA PQAB AQ，即 5 m 15a 1 m ，解得： a1ma。 1 m 2， 当 0 a1时， m2， m 不存在；当 a 1 时， a1ma。 当 1 m 2 时，若 a 1，则存在实数 a1ma，使 CDAQ=PQDE；若0 a1，则 m 不存在。
