1、1育才学校 2018-2019 学年度上学期期末考试高二（实验班）理科数学（考试时间：120 分钟 ，满分：150 分）一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1.已知命题 ， ，则 是（ ）21:px21xpA. ， B. ， 212121xC. ， D. ， x21x21212.已知 为正数，则“ ”是“ ”的 （ ）mlgmA. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件3.已知向量 ，使 成立的 x 与使 成立的 x 分别2,134,2abxab/ab为（ ）A. B. C. D. 4.下列说法中正确的是A. “ ”是“函数 是
2、奇函数”的必要条件0ffxB. 若 ，则20:,1pxR2:,10pxRC. 若 为假命题，则 ， 均为假命题qqD. 命题“若 ，则 ”的否命题是“若 ，则 ”6sin261sin25.已知 两点均在焦点为 的抛物线 上，若 ，线段 的中点到直线 的距离为 1，则 的值为 （ ）A. 1 B. 1 或 3 C. 2 D. 2 或 66.设点 为双曲线 （ ， ）上一点， 分别是左右焦点， P2xyab0ab12,F2是 的内心，若 ， ， 的面积 满足 ，I12PF1IPF2I12IF123,S123S则双曲线的离心率为（ ）A. 2 B. C. 34 D. 27.直线 交椭圆 于 两点，若
3、线段 中点的横坐标为 1，0xym16xyAB、 AB则 （ ）A. -2 B. -1 C. 1 D. 28.如图，60的二面角的棱上有 两点，直线 分别在这个二面角的两个半平面,AB,CBD内，且都垂直于 已知 ，则 的长为（ ）46,8A. B. 7 C. 17 217D. 99.在空间直角坐标系 ， ， ， 确定的平面记为 ，Oxyz0,1A,1B0,2C不经过点 的平面 的一个法向量为 ，则（ ）A2nA. B. C. 相交但不垂直 D. 所成的锐二面角为/,0610.已知抛物线 的焦点为 ，准线为 ，点 ，线段 交抛物线 于点2:4CyxFlAlFC，若 ，则 （ ）B3FAA. B
4、. C. 46D. 711.如图，面 ,B 为 AC 的中点， ACD3，且 P 到直线 BD 的距离为 则 的最大值2,60,ACBDP为 内 的 动 点 3APC为（ ） A. 30 B. 60C. 90 D. 12012.椭圆 上一点 A.关于原点的对称点为 B，F 为其右焦点，若21(0)xyab，设 且 ，则该椭圆离心率的取值范围为 （ ）AFB,AF,124A. B. C. 2,1 6,36,13D. 3,二、填空题(共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.条件 ，条件 ，若 是 的充分不必要条件，则实数 的取值:2px2:0xqapqa范围是_14.过双曲线 的左焦点
5、 引圆 的切线，切点为 ，延长 交双2165y1F216xyT1F曲线右支于 点.设 为线段 的中点， 为坐标原点，则PMPO_OT15.若直线 l的方向向量 (1,)a，平面 的一个法向量 (2,1)n，则直线 l与平面所成角的正弦值等于_。16.已知 为椭圆 上任意一点， 为圆 的任意一条直P2165xyEF2:14Nxy4径，则 的取值范围是_PEF三、解答题(共 6 小题,共 70 分) 17.（10 分）已知命题 方程： 表示焦点在 轴上的椭圆，命题 双曲:p219xymy:q线 的离心率 ，若“ ”为假命题，“ ”为真命题，215yxm6,2epqp求 的取值范围.18.（12 分
6、）已知圆 恰好经过椭圆 的两个焦点和2:4Oxy2:1(0)xyCab两个顶点.（1）求椭圆 的方程；C（2）经过原点的直线 (不与坐标轴重合)交椭圆 于 两点， 轴，垂足为l C,ABMx，连接 并延长 交椭圆 于 ，证明：以线段 为直径的圆经过点 .MBMNNA19. （12 分）双曲线 的右焦点为 （1）若双曲线的一条渐近线方程为 且 ，求双曲线的方程；（2）以原点 为圆心， 为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为 ，过A作A圆的切线，斜率为 ，求双曲线的离心率320. （12 分）已知 ， 且 .2cosin1ax， cosbyx， abA（1）将 表示成 的函数 ，并求 的最小正
7、周期.yffx（2）记 的最大值为 ， ， ， 分别为 的三个内角 、 、 对应fxMabcBCBC的边长，若 且 ，求 的最大值.2Af221. （12 分）已知过点 的动直线 与抛物线 ： 相交于 两(4,0)lG2(0)xpy,5点当直线 的斜率是 时， .l124ACB(1)求抛物线 的方程；G(2)设线段 的中垂线在 轴上的截距为 ，求 的取值范围BCyb22. （12 分）如图，在四棱锥 中，平面 PAD平面PABCDABCD，PAPD，PA=PD，ABAD，AB=1，AD=2， .5（1）求证：PD平面 PAB； （2）求直线 PB 与平面 PCD 所成角的正弦值.6参考答案与解
8、析1.B【解析】命题 是全称命题，其否定为特称命题，所以 “ ， p :p21x”故选 21xB2.C【解析】2.设 ，则 在 上单调递减。1lgl(0)fxxfx0,若 ，则 ，即 ；1mlfmf1lgm若 ，即 ，则有 。lg1lgff综上可得“ ”是“ ”的充要条件。选 C。mlm3.A【解析】向量 ,2,1342abx若 ,则 ，解得 .b8 103A 103x若 ，则 ，解得 .故选 A./a4213x64.D【解析】对于 A 中，如函数 是奇函数，但 ，所以不正确；B 中，命1fx0f题 ，则 ，所以不正确；C 中，若200:,1pxR2:,1pRx为假命题，则 ， 应至少有一个假
9、命题，所以不正确；D 中，命题“若 ，qpq 6则 ”的否命题是“若 ，则 ”是正确的，故选 D1sin261sin25.B7【解析】 因为线段 的中点到直线 的距离为 1，所以 ，选B.6.A【解析】如图,设圆 I 与 的三边 、 、 分别相切于点 ，连接12PF121PF2.EFG， ，IEG、 、则 ，1212,II它们分别是 , , 的高，FPF ，11122SIr，222PFIG，31212SIEr其中 r 是 的内切圆的半径。12F ，3S = ，1Pr212r两边约去 r 得： ，1212FPF8根据双曲线定义,得 ，1212,PFaFc 离心率为 .故选：A.2acce7.A【
10、解析】 ， 40xym14myx设 ， 1A， 2B，两式相减，2126 xy121264yxxy中点的横坐标为 1AB则纵坐标为 4将 代入直线 ，解得1， 14myx28.C【解析】 ， ， ，CABBDA0CBDA， D222CB ， ，故选 C.226486cos1068179.A【解析】 ， ， )确定的平面记为 ，0,A,B,2 ，11BC设平面 的法向量 ，,mxyz9则 ，不妨令 x=1,得 ，0 mABxzCy 1,m不经过点 A 的平面 的一个法向量为 n=(2,2,2)，2,n .。故选：A.10.B【解析】由已知 为 的三等分，作 于 ，如图，则BAFBHl， ，故选
11、B.244,33HK34AFB11.B【解析】 到直线 的距离为PBD空间中到直线 的距离为 的点构成一个圆柱面，它和面 相交得一椭圆，即点3在 内的轨迹为一个椭圆， 为椭圆中心， ， ，则3b2sin60a1c 为椭圆的焦点AB，椭圆上的点关于两焦点的张角在短轴的端点取得最大值 的最大值为 。故选 BPC6012.B【解析】已知椭圆 焦点在 x 轴上，21(0)xyab椭圆上一点 A 关于原点的对称点为点 B，F 为其右焦点，设左焦点为 F1，则：连接 AF，AF 1，AF，BF10所以：四边形 AFF1B 为长方形根据椭圆的定义：|AF|+|AF 1|=2a，ABF=，则：AF 1F=2a
12、=2ccos+2csin，即 a=（cos+sin）c，由椭圆的离心率 e= = = ，ca1sino12sin4由 ，, ，124,3sin（+ ） ，1， ， ，2sin462 ，故选：B1si,313. 5a【解析】 是 的充分不必要条件，pq是不等式 的解集的真子集2x20xa故 5a14.1【解析】设 是双曲线的右焦点，连接F PF分别为 ， 的中点MO， 1P22115FTT由双曲线定义得， 18FP故1145122MOMTPFT 1115.23【解析】设直线 与平面 所成的角为 l所以 21sinco, 36an16.5,21【解析】因为 2PEFNPFNEFPNFP.220|4
13、|Ncos又因为椭圆 的 ，2165xy,15abc，N(1,0)为椭圆的右焦点， ,3,Pac .521EF故答案为：5,21.17.实 m 的取值范围是 或 .50235m【解析】若 真，则有 9-m2m0 即 00 且 ，解得因为“ ”为假命题，“ ”为真命题，则 ，q 一真一假。pqpqp若 P 真 q 假，则 0m3,且 m 即 0m 若 P 假 q 真，则 m 3 或 m 0 且 即 3 m5 综上，实 m 的取值范围是 或 .52518.（1） ；（2）见解析2184xy12【解析】（1）由题意可知， ， ，2bc2abc所以椭圆 的方程为 .C2184xy（2）证明：设直线 的
14、斜率为 ， ，在直线 的方程为 ，l0k0,Axylykx.00,BxyMx直线 的斜率为 ，所以直线 的方程为 ，022kBM02kyx联立 得 ，20184 xyk2220160kxkx记 横坐标分別为 .由韦达定理知: ,BN,BNy200BNNkxx所以 ，于是 ，20kx20kx所以直线 的斜率为 ，AN20021Nykxxk因为 .所以 ，1kB所以以线段 为直径的圆一定经过点 .BA19.（1） ；（2） 2xy【解析】（1）由题意， ， 所求双曲线方程为2221,bcabcab2xy（2）由题意，设 ，则 ，从而 ， ， ,Amn3OAk3nm22nc133,2cA将 代入双曲
15、线 得： ,21xyab2314cab22234cbab且 22cab222430从而20.(1) ，函数 的最小正周期为 .(2)4.2sin16fxxfx【解析】（1）由 得abA2cos3incos0y即2cos3ini21in216yxxxx所以 ，又i16fT所以函数 的最小正周期为 .fx（2）由（1）易得 3M于是由 ，即 ，Af2sin13sin166AA因为 为三角形的内角，故 3由余弦定理 得22cosabA24bcbc解得 ，于是当且仅当 时， 的最大值为 .4c421.（1）x 24y；（2）b(2，)【解析】 (1)设 B(x1，y 1)，C(x 2，y 2)，当直线
16、 l 的斜率是 时，l 的方程为 y (x4)，12 12即 x2y4.由 得 2y2(8p)y80，24py14 , 124y128py又 ，y 24y 1，ACB由及 p0 得：y 11，y 24，p2，得抛物线 G 的方程为 x24y.(2)设 l：yk(x4)，BC 的中点坐标为(x 0，y 0)，由 得 x24kx16k0，24()xk ，y 0k(x 04)2k 24k.0CB线段 BC 的中垂线方程为 y2k 24k (x2k)，1k线段 BC 的中垂线在 y 轴上的截距为：b2k 24k22(k1) 2，对于方程，由 16k 264k0 得 k0 或 k4. b(2，)22.(
17、1)见解析；（2）3sin【解析】（1）平面 PAD平面 ABCD, 平面 PAD 平面 ABCD=AD, ABAD， 平面 PAD，AB 平面 PAD，PD ,又 ，A PD平面 PAB。（2）取 AD 的中点 O，连 PO，CO。 ，5ACDCOAD，PA=PD，POAD，OP,OA,OC 两两垂直，以 O 为原点建立如图所示的空间直角坐标系 O-xyz，15则 。0,1,02,0,1PBCD 。设平面 PCD 的一个法向量为 ，,nxyz由 ，得 。,0,102nPDxyzC 2 yxz令 ，则 。1,设直线 PB 与平面 PCD 所成角为 ，则 .3sinco,nPB直线 PB 与平面 PCD 所成角的正弦值为 。3
