1、12019 届福建师范大学附属中学高三上学期期中考试数学（文）试题数学注 意 事 项 ：1 答 题 前 ， 先 将 自 己 的 姓 名 、 准 考 证 号 填 写 在 试 题 卷 和 答 题 卡 上 ， 并 将 准 考 证 号 条 形 码 粘 贴在 答 题 卡 上 的 指 定 位 置 。2 选 择 题 的 作 答 ： 每 小 题 选 出 答 案 后 ， 用 2B 铅 笔 把 答 题 卡 上 对 应 题 目 的 答 案 标 号 涂 黑 ， 写在 试 题 卷 、 草 稿 纸 和 答 题 卡 上 的 非 答 题 区 域 均 无 效 。3 非 选 择 题 的 作 答 ： 用 签 字 笔 直 接 答 在
2、 答 题 卡 上 对 应 的 答 题 区 域 内 。 写 在 试 题 卷 、 草 稿 纸 和答 题 卡 上 的 非 答 题 区 域 均 无 效 。4 考 试 结 束 后 ， 请 将 本 试 题 卷 和 答 题 卡 一 并 上 交 。一、单选题1设集合 则 =|=2,=|210) 1 2 2两点，若 是以 为直角顶点的等腰直角三角形，则椭圆的离心率为, 1 A B C D22 23 52 63二、填空题13已知直线 和直线 垂直，则实数 的值为1:260laxy22:10lxaya_14已知向量 ， ，若 ，则向量 与向量 的夹角为_=(1,3) =(1,) (2) 15设函数 ，则函数 的零点
3、个数是_.()=2,01,0 ()=()+16半径为 4 的球的球面上有四点 A,B,C,D，已知 为等边三角形且其面积为 ，则三棱 93锥 体积的最大值为 _三、解答题17已知等差数列 的公差 为 1，且 成等比数列. 1， 3， 4（1）求数列 的通项公式；（2）设数列 ，求数列 的前 项和 .=2+5+ 18已知函数 .()=(6)+122（1）求函数 的最大值；()（2）已知 的面积为 ，且角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，若 ， 43 ()=12，求 的值.+=10 19已知数列 的前 项和 满足 . =3222,（1）求 的通项公式；（2）求数列 的前 项和为 . 1212+1
4、20（选修 4-4：坐标系与参数方程）已知曲线 C 的极坐标方程是 =2cos，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为 x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线 L 的参数方程是 （t 为参数）=32+=12 （1）求曲线 C 的直角坐标方程和直线 L 的普通方程；（2）设点 P（m，0），若直线 L 与曲线 C 交于 A，B 两点，且|PA|PB|=1，求实数 m 的值21已知椭圆 的离心率为 ，短轴长为 2.2:1(0)xyab32（1）求椭圆 的标准方程；C（2）设直线 与椭圆 交于 两点， 为坐标原点，若 ，:lykxmC,MNO54OMNk求证：点 在定圆上.,22函数 .()=+12
5、2+(1)2(R)(I)求 的单调区间；()(II)若 ，求证： .0()322019 届 福 建 师 范 大 学 附 属 中 学高 三 上 学 期 期 中 考 试 数 学 （ 文 ） 试 题数 学 答 案参考答案1C【解析】试题分析： ， ，则 ，选 C.=（ 1， +）【考点】本题涉及求函数值域、解不等式以及集合的运算【名师点睛】本题主要考查集合的并集运算，是一道基础题目.从历年高考题目看，集合的基本运算，是必考考点，也是考生必定得分的题目之一.本题与函数的值域、解不等式等相结合，增大了考查的覆盖面.2C【解析】试题分析：特称命题的否定是全称命题，并将结论加以否定，所以命题的否定为：， (
6、0,+)1考点：全称命题与特称命题3A【解析】【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简复数 ,可得复平面上对应的点的坐标，从而可得结果.5i2+i9【详解】，对应点坐标为 ，在第一象限,故选 A.52+9=52+= 5(2)(2+)(2)=5+105 =1+2(1,2)【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.4C【解析】【分析】由 可得 ，利用双曲线的离心率求出 ，从而可得 的值，然后
7、求解双曲线的222=1 =1 =2 渐近线方程.【详解】由双曲线 可得 ，离心率为 ，222=1 =1 =2则 ，=41=3所以双曲线的渐近线方程为 ，故选 C.=3【点睛】本题主要考查双曲线的方程、双曲线的离心率以及双曲线的渐近线方程，意在考查综合应用所学知识解答问题的能力，属于中档题.5B【解析】【分析】由 为 图象的对称轴，可得 ,从而求得 的值，再利函数=3 () 6+=+2, 的图象变换规律，以及诱导公式，可得出结论.=(+)【详解】根据函数 为 图象的对称轴，()=(12+)(|0 =直观，容易理解.详解：在同一个坐标系中画出函数 的图像和直线 ，()=2,01,0 =而函数 的零
8、点个数即为()=()+函数 的图像和直线 的交点的个数，()=2,01,0 =从图中发现，一共有两个交点，所以其零点个数为 2.点睛：该题考查的是函数的零点个数问题，解决该题的方法是将函数的零点个数问题转化为函数图像交点的个数问题来解决，从而将问题简单化，并且比较直观，学生容易理解.16 183【解析】分析：求出ABC 为等边三角形的边长，画出图形，判断 D 的位置，然后求解即可详解：ABC 为等边三角形且面积为 9 ，可得 ，解得 AB=6，3342=93球心为 O，三角形 ABC 的外心为 O，显然 D 在 OO 的延长线与球的交点如图：OC= ，OO= ，23326=23 42(23）
9、2=2则三棱锥 DABC 高的最大值为 6，则三棱锥 DABC 体积的最大值为：133463=183.故答案为： 183点睛：（1）本题主要考查球的内接多面体和体积的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和空间想象能力转化能力. (2)本题求体积的最大值，实际上是求高的最大值，所以求高是关键.17（） .（） .=5 =2+1+(+1)2 2【解析】试题分析：（1）由题 成等比数列则 ，将 代入1,3,4 （ 1+2)2=12+31 =1,求出 ，1即可得到数列 的通项公式；试题解析：（2）由（） . 利用分组求和法可求数列 的前 项和 =2+ （1）在等差数列 中，因为 成等比数列， 1,3
10、,4所以 ，即 ， 32=14 （ 1+2)2=12+31解得 . 因为 所以 1+42=0 =1, 1= 4,所以数列 的通项公式 . =5（2）由（1）知 , =5所以 . =2+5+=2+=1+2+3+ =(2+22+23+2)+(1+2+3+)=2(12)12 +(1+)2=2+1+(+1)2 218(1) ;(2) .34 =213【解析】【分析】（1）利用二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及两角和与差的正弦公式将函数 化为()，可得函数 的最大值为 ；（2）由题意 ，化简=12(2+6)+14 () 34 ()=12(2+6)+14=12得 ，从而得 ，由 ， ，求得 的值，(2
11、+6)=12 =3 12=43 +=10 、 根据余弦定理得 .=213【详解】（1） ()=( 32+12) +212=32+122=12( 322+122)+14，=12(2+6)+14函数 的最大值为 .()34（2）由题意 ，化简得 .()=12(2+6)+14=12 (2+6)=12 ， ， ， .(0,)2+6(6,136) 2+6=56 =3由 得 ，又 ，12=43 =16 +=10 ， 或 ， .=2 =8 =8 =2在 中，根据余弦定理得 . 2=2+22=52 .=213【点睛】以三角形为载体，三角恒等变换为手段，正弦定理、余弦定理为工具，对三角函数及解三角形进行考查是近
12、几年高考考查的一类热点问题，一般难度不大，但综合性较强.解答这类问题，两角和与差的正余弦公式、诱导公式以及二倍角公式，一定要熟练掌握并灵活应用，特别是二倍角公式的各种变化形式要熟记于心.19（） ；（） =212【解析】试题分析：（）利用数列前 项和与 的关系解答；（）由（）得 ，利用裂项求和法求得数列 的前 项和1212+1= 1(32)(12) 1212+1 试题解析：（）当 时, ;=1 1=1=1当 时, ，2 =1=2故 n的通 项 公式 为 =2-.（）由（）知1212+1= 1(32)(12)=12( 123 121),从而数列 1212+1的前 项 和 为 12(1-111)+
13、(1113)+( 123 121)= 12考点：1、数列前 项和与 的关系；2、裂项求和法 【方法点睛】在等差（比）数列中由各项满足的条件求通项公式时，一般将已知条件转化为基本量，用 和 表示，通过解方程组得到基本量的值，从而确定通项公式解决非等差等比数列1 ()求和问题，主要有两种思路：（1）转化的思想，即将一般数列设法转化为等差（比）数列，这一思想方法往往通过通项分解（即分组求和）或错位相减来完成；（2）不能转化为等差等比数列的，往往通过裂项相消法，倒序相加法来求和20(1) , ；(2) 或 或【解析】试题分析：（1）在极坐标方程是 的两边分别乘以 ，再根据极坐标与直角坐标的互=2 化公
14、式 及 即可得到曲线 的直角坐标方程，消去直线 的参数方程=,= 2=2+2 中的参数 得到直线 的在普通方程；（2）把直线的参数方程代入曲线 的直角坐标方=32+=12 程，由直线参数方程中参数的几何意义构造 的方程.试题解析：（1）曲线 的极坐标方程是 ，化为 ，可得直角坐标方程： =2 2=22+2=2直线 的参数方程是 （ 为参数），消去参数 可得 =32+=12 =3+（2）把 （ 为参数）代入方程： 化为：=32+=12 2+2=2，由 ，解得 ， 2+(33)+22=0 0 10 =12 =1考点：圆的极坐标方程及直线参数方程的意义.21（1）椭圆 的标准方程为 （2）证明见解析
15、C214xy【解析】试题分析：（1）由已知可得 ， ， 椭圆 为32cea1b2aC；（2）由 24xy214ykxm2241840kxkm，且21mk12x，又1228,44mk22111ykxx1211255OMNykxx 2 2111445mx24 ，由得 点2840kmk254k22650,4k在定圆 上. ,5xy试题解析：（1）设焦距为 ，由已知 ， ， ， ，2c32ceab12a椭圆 的标准方程为 . C214xy（2）设 ，联立 得 ，12,MxyN2 14kxmy224840kxkm依题意， ，化简得 ，228410km21，12122,xx， 2121121ykkxmx若
16、 ，则 ， 即 ，54OMN1254y1215y ，2 2111kxmxx ， 22 22845440km即 ，化简得 ，2211kk254k由得 .226150,4mk点 在定圆 上.（没有求 范围不扣分）,kxyk【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆的位置关系、斜率公式等知识，涉及函数与方程思想、数形结合思想分类与整合、转化与化归等思想，并考查运算求解能力和逻辑推理能力，属于较难题型. 第一小题由题意由方程思想建立方程组求得标准方程为 ；214xy（2）设而不求法求得 214ykxm2241840kxkm，再利用韦达定理转化得 ，由241mk228254k得 点 在定圆
17、上. 2650,4k,mk54xy22(1) a0 时， 的单调递减区间是 ； 时， 的单调递减区间是() (0 ， +)0 ()， 的单调递增区间是 (0 ， 1) () (1， +)(2) 证明见解析.【解析】试题分析：（1）求出导数，根据对 的分类讨论，找到导数正负区间，即可求出；（2）求出函数的最小值，转化为证 ，构造 ，求其最小值，121 32 ()=+11即可解决问题.试题解析：（） ()=1+(1)=2+(1)1 =(1)(+1)当 a0 时， ，则 在 上单调递减；当 时，由 解得 ，()0 ()01由 解得 ()0 ()(0 ， 1)的单调递增区间是 ()(1， +)() 由
18、（）知 在 上单调递减； 在 上单调递增，()(0 ， 1) ()(1， +)则 ()=(1)=121要证 ，即证 ，即 + 0，()32 121 32 11即证 构造函数 ，则 ， 11 ()=+11 ()=112=12由 解得 ，由 解得 ，()0 1 ()0 01即 在 上单调递减； 在 上单调递增；()(0 ， 1) ()(1， +) ，()=(1)=1+111=0即 0 成立从而 成立+11 ()32点睛：本题考查函数的单调性极值及恒成立问题，涉及函数不等式的证明，综合性强，难度大，属于难题.处理导数大题时，注意分层得分的原则，力争第一二问答对，第三问争取能写点，一般涉及求函数单调性及极值时，比较容易入手，求导后注意分类讨论，对于恒成立问题一般要分离参数，然后利用函数导数求函数的最大值或最小值，对于含有不等式的函数问题，一般要构造函数，利用函数的单调性来解决，但涉及技巧比较多，需要多加体会.
