1、1专题集训 12 相似三角形探究一、选择题1如果一个直角三角形的两条边长分别是 6 和 8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是 3 和 4 及 x，那么 x 的值( B )A只有 1 个 B可以有 2 个C有 2 个以上但有限 D有无数【解析】由题意：直角三角形两条边边长为 6 和 8，则边长为 6 的只可能为直角边，当边长为 8 的是直角时，斜边为 10，如图.当 8 为斜边时，另一条边长为 2 ，如图.7边长为 3，4 及 x 的直角三角形与之相似，也只可能出现两种情况二、填空题2如图，正方形的边长为 10，点 E 在 CB 的延长线上， EB10，点 P 在边 CD 上运动(C， D
2、两点除外)， EP 与 AB 相交于点 F，若 CP x，四边形 FBCP 的面积为 y，则 y 关于 x的函数关系式是_ y x(0 x 10)_152【解析】由题条件易知 EBF ECP，且 FB CP. ( )2( )12 S EBFS ECP BFCP 122 ， ，而 S EBF x10 x， SBCPE3 S EBF x，即14 S EBFSBCPE 13 12 12 52 152y x(0 x10)152三、解答题3如图，抛物线 y ax2 bx c(a0)经过点 A(3，0)， B(1，0)， C(2，1)，交y 轴于点 M.(1)求抛物线的表达式；2(2)抛物线上是否存在一点
3、 P，作 PN 垂直 x 轴于点 N，使得以点 P， A， N 为顶点的三角形与 MAO 相似？若存在，求点 P 的坐标；若不存在，请说明理由解：( 1)抛物线的表达式为 y x2 x 113 23(2)存在点 P，使得以点 P， A， N 为顶点的三角形与 MAO 相似在 Rt MAO 中，AO 3MO，要使两个三角形相似，由题意可知，点 P 不可能在第一象限 设点 P 在第二象限时，点 P 不可能在直线 MN 上，只能 PN 3AN， m2 m 1 3(m 3)，即13 23m2 11m 24 0.解得 m 3(舍去)或 m 8.又 3m0，故此时满足条件的点不存在当点 P 在第三象限时，
4、点 P 不可能在直线 MA 上，只能PN 3AN， m2 m 1 3( m 3)，即 m2 11m 24 0.解得 m 3(舍去)或 m 8.13 23此时点 P 的坐标为( 8， 15)当点 P 在第四象限时，若 AN 3PN 时，则 3( m2 m 1) m 3，即13 23m2 m 6 0.解得 m 3(舍去)或 m 2.当 m 2 时，此时点 P 的坐标为( 2， )若53PN 3NA，则( m2 1) 3(m 3)，即 m2 7m 30 0.解得 m 3(舍去)或 m 10，13 23此时点 P 的坐标为( 10， 39)所以，满足条件的点 P 的坐标为( 8， 15)，( 2， )
5、，53(10， 39)4如图，在平面直角坐标系中，矩形 OABC 的两边分别在 x 轴和 y 轴上， OA10 厘米，OC6 厘米，现有两动点 P， Q 分别从 O， A 同时出发，点 P 在线段 OA 上沿 OA 方向作匀速运动，点 Q 在线段 AB 上沿 AB 方向作匀速运动，已知点 P 的运动速度为每秒 1 厘米(1)设点 Q 的运动速度为每秒 厘米，运动时间为 t 秒，当 COP 和 PAQ 相似时，求点12Q 的坐标(2)设点 Q 的运动速度为每秒 a 厘米，问是否存在 a 的值，使得 OCP 与 PAQ 和 CBQ这两个三角形都相似？若存在，请求出 a 的值，并写出此时点 Q 的坐
6、标；若不存在，请说3明理由解：( 1)如图，当 1 2 时， ， ， t2 6t 60 0，解得OCOP QAPA 6t 12t10 t 12t1 6 2 ， t2 6 2 (舍去)，39 39当 1 3 时， ，解得 t 7，因此，当 t 6 2 或 7 时，即当 Q 点的6t 10 t12t 39坐标为( 10， 3 )或( 10， )时， COP 与 PAQ 相似3972(2)设 P， Q 运动时间为 t 秒，则 OP t， AQ at.当 1 3 4 时， ， ，解得 t1 2， t2 18(舍去)，此时 a ， Q 点的坐标为OCOP PAAQ BCBQ 6t 10 tat 106 at 43(10， )； 当 1 3 5 时， CPQ CQP 90不成立； 当 1 2 4 时，83 ， ，得 5t2 36t 180 0， 0，方程无实数解；当OCOP AQPA BCBQ 6t at10 t 106 at 1 2 5 时，由图可知 1 PCB 5 ，故不存在这样的 a 值；综上所述，存在 a的值，使得 OCP 与 PAQ 和 CBQ 这两个三角形都相似，此时 a ， Q 点的坐标为( 10， )43 83
