1、1小专题(三) 利用勾股定理及其逆定理解决最短路径问题平面(或曲面)上的最短路线问题是数学中常见的一种最值问题,勾股定理及其逆定理是解决这类问题的一大利器 .求最短路线问题,首先要把实际问题转化成含有直角三角形的数学模型,再根据“两点之间,线段最短”的数学事实通过勾股定理(或逆定理)得出最短路线 .如果求曲面上的最短路线,还要通过转化的方法先将曲面展开得到一个熟悉的平面图形,然后再通过平面图形来解决 .类型 1 平面上的最短路径问题1.如图,在 Rt ABC 中, ACB=90,AC=BC,点 M 在 AC 边上,且 AM=1,MC=4,动点 P 在 AB 边上,连接 PC,PM,则 PC+P
2、M 的最小值是(C)A. B.6 C. D.717 262.如图,在 ACB 中,有一点 P 在 AC 上移动,若 AB=AC=5,BC=6,则 AP+BP+CP 的最小值为 (D)A.4.8 B.8 C.8.8 D.9.83.如图, C 为线段 BD 上一动点,分别过点 B,D 作 AB BD,ED BD,连接AC,EC,AB=5,DE=1,BD=8,设 CD=x.(1)直接写出 AC+CE 的值;(用含 x 的代数式表示)(2)求 AC+CE 的最小值 .解:(1) AC+CE= .AB2+BC2+ CD2+DE2= 25+(8-x)2+ 1+x2(2)如图,连接 AE 交 BD 于点 C
3、1,此时 AC+CE 有最小值 .平移 DE 至 BF.则 BF=DE=1,EF=BD=8,AF=AB+BF=5+1=6,2AC+CE 的最小值 AE= =10.AF2+EF2= 62+824.如图, A,B 两个村子在河 CD 的同侧, A,B 两村到河的距离分别为 AC=1 km,BD=3 km,CD=3 km.现在河边 CD 上建一水厂向 A,B 两村输送自来水,铺设水管的费用为 20000 元 /km.(1)请你在河 CD 边上作出水厂的位置 O,使铺设水管的费用最省;(2)求出铺设水管的总费用 .答案图解:(1) O 点如图所示 .(2)由(1)可知 A1B= =5 km,32+(3
4、+1)2 总费用为 200005=100000 元 .类型 2 曲面上的最短路径问题5.如图,一只蚂蚁沿边长为 a 的正方体表面从点 A 爬到点 B,则它走过的路程最短为 (D)A. a B.(1+ )a3 2C.3a D. a56.如图,已知圆柱的底面直径 BC= ,高 AB=3,小虫在圆柱表面爬行,从 C 点爬到 A 点,然后再6沿另一面爬回 C 点,则小虫爬行的最短路程为 (D)A.3 B.3 C.6 D.62 5 5 27.图 1 为一个无盖的正方体纸盒,现将其展开成平面图,如图 2.已知展开图中每个正方形的边长为 1.3(1)求该展开图中可画出的最长线段的长度,并求出这样的线段可画几条;(2)试比较立体图中 ABC 与平面展开图中 ABC的大小关系 .解:(1)最长线段如图中的 AC,在 Rt ACD中,CD= 1,AD=3,由勾股定理得 AC= .10这样的线段可画 4 条(另三条用虚线标出) .(2)由题可知, ABC=90.在平面展开图中,连接线段 BC.由勾股定理可得 AB= ,BC= ,AC= ,5 5 10AB 2+BC2=AC2,由勾股定理的逆定理可得 ABC为直角三角形, ABC=90, ABC 与 ABC相等 .
