1、1勾股定理章末小结与提升类型 1 勾股定理典例 1 如图,已知 ABD= C=90,AD=12,AC=BC, DAB=30.求 BC的长 .【解析】 ABD=90, DAB=30,BD= AD= 12=6.12 12在 Rt ABD中, AB2=AD2-BD2,AB= =6 .122-62 3在 ABC中, C=90,AC=BC,根据勾股定理,得 AC2+BC2=AB2,即 2BC2=AB2=108,BC= 3 .6【针对训练】1.如图是用 4个全等的直角三角形与 1个小正方形镶嵌而成的正方形图案,已知大正方形面积为 49,小正方形面积为 4,若用 x,y表示直角三角形的两直角边( xy),下
2、列四个说法:x 2+y2=49;x-y= 2; 2xy+4=49;x+y= 9.其中说法正确的是 (B)A. B.C. D.2.如图, P为等腰 ABC内一点,过点 P分别作三条边的垂线,垂足分别为 D,E,F,已知AB=AC=10,BC=12,且 PDPEPF= 1 3 3,则 AP的长为 (B)2A. B. C.7 D.843 2033.(绵阳中考)如图,沿 AC方向开山修建一条公路,为了加快施工进度,要在小山的另一边寻找点 E同时施工,从 AC上的一点 B取 ABD=150,沿 BD的方向前进,取 BDE=60,测得BD=520 m,BC=80 m,并且 AC,BD和 DE在同一平面内,
3、那么公路 CE段的长度为 (C)A.180 m B.260 m3C.(260 -80) m D.(260 -80) m3 24.如图,在四边形 ABCD中, AB=AD=3,DC=4, A=60, D=150,试求 BC的长度 .解:连接 DB,AB=AD , A=60, ABD是等边三角形,BD=AD= 3, ADB=60,又 ADC=150, CDB= ADC- ADB=150-60=90,DC= 4,BC= =5.DC2+DB2= 42+32类型 2 勾股定理的逆定理典例 2 在 ABC中, a=2n2+2n,b=2n+1,c=2n2+2n+1(n0)为三边,这个三角形是直角三角形吗?【
4、解析】 c-a= (2n2+2n+1)-(2n2+2n)=10,c-b=(2n2+2n+1)-(2n+1)=2n20,c 边为三角形的最大边,又 c 2=(2n2+2n+1)2=4n4+8n3+8n2+1,a2+b2=(2n2+2n)2+(2n+1)2=4n4+8n3+8n2+1,3a 2+b2=c2. ABC为直角三角形 .【针对训练】1.在 ABC中, a=3,b=7,c2=58,则 S ABC= 10.5 . 2.已知在 ABC中, AD BC于点 D,若 AB=13,AC=8,则 BD2-DC2= 105 . 3.如图,在 ABC中, D为边 BC的中点, AB=5,AD=6,AC=1
5、3.求证: AB AD.解:延长 AD至点 E,使 DE=AD,连接 CE,BE.D 为 BC的中点, CD=BD.又 AD=DE , ADC= BDE, ADC EDB,BE=AC= 13.在 ABE中, AE=2AD=12,AE 2+AB2=122+52=169.又 BE 2=132=169,AE 2+AB2=BE2, ABE是直角三角形,且 BAE=90,即 AB AD.类型 3 勾股数1.若 3,4,a和 5,b,13是两组勾股数,则 a+b的值是 17 . 2.毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式,根据该公式可以构造出如下勾股数组:(3,4,5),(5,12,13),(7,24
6、,25),.分析上面勾股数组可以发现,4 =1(3+1),12=2(5+1),24=3(7+1),分析上面规律,第 5个勾股数组为 (11,60,61) . 类型 4 逆命题与逆定理典例 3 写出下列各命题的逆命题,并判断逆命题的真假 .(1)如果 a,b都是无理数,那么 ab也是无理数;(2)三边分别相等的两个三角形全等 .4【解析】(1)逆命题:如果 ab是无理数,那么 a,b都是无理数,此命题是假命题 .(2)逆命题:如果两个三角形全等,那么它们的对应边分别相等,此命题是真命题 .【针对训练】1.下列命题: 若 1,则 ab; 若 a+b=0,则 |a|=|b|; 等边三角形的三个内角都
7、相等; 底ba角相等的两个等腰三角形全等 .其中原命题与逆命题均为真命题的有 (A)A.1个 B.2个C.3个 D.4个2.说出定理“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”的逆命题并证明这个逆命题是真命题 .【解析】“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”的逆命题为“到线段两端的距离相等的点在线段的垂直平分线上” .此逆命题为真命题 .已知:如图, CA=CB.求证:点 C在线段 AB的垂直平分线上 .证明:作 CD AB. ADC= BDC=90,在 Rt ADC和 Rt BDC中, CD=CD,AC=BC, Rt ADCRt BDC,AD=BD ,CD 垂直平分 AB,即点 C在线段 AB的垂直平分线上 .
