1、第十二讲 圆锥曲线及其性质,总纲目录,2.圆锥曲线的标准方程 (1)椭圆的标准方程为 + =1 ,其中ab0; (2)双曲线的标准方程为 - =1 ,其中a0,b0; (3)抛物线的标准方程为x2=2py,y2=2px,其中p0.,1.(2018安徽合肥质量检测)如图,椭圆 + =1(a0)的左、右焦 点分别为F1,F2,过F1的直线交椭圆于M,N两点,交y轴于点H.若F1,H 是线段MN的三等分点,则F2MN的周长为 ( ) A.20 B.10 C.2 D.4,2.(2018陕西西安八校联考)P是双曲线 - =1上一点,双曲线的 一条渐近线的方程为3x-2y=0,F1、F2分别是双曲线的左、
2、右焦点, 若|PF1|=6,则|PF2|= ( ) A.9 B.2 C.10 D.2或10,答案 D 因为双曲线的一条渐近线的方程为3x-2y=0,即y= x, 又双曲线的渐近线方程为y= x,不妨设a0,所以可得 = ,所以 a=2.于是,由双曲线的定义得|6-|PF2|=2a=4,解得|PF2|=2或|PF2|=1 0.又|PF1|=6a+c=2+ ,所以点P可能在双曲线的右支上,也可能 在左支上,故所求|PF2|=2或|PF2|=10均有可能,故选D.,3.(2018重庆调研)已知点F是抛物线y2=4x的焦点,P是该抛物线上 任意一点,M(5,3),则|PF|+|PM|的最小值是 ( )
3、 A.6 B.5 C.4 D.3,答案 A 由题意知,抛物线的准线l的方程为x=-1,过点P作PEl 于点E,由抛物线的定义,得|PE|=|PF|,易知当P,E,M三点在同一条 直线上时,|PF|+|PM|取得最小值,即(|PF|+|PM|)min=5-(-1)=6,故选A.,方法归纳 求解圆锥曲线标准方程的方法是“先定型,后计算” (1)定型:就是指定类型,也就是确定圆锥曲线的焦点位置,从而设 出标准方程. (2)计算:即利用待定系数法求出方程中的a2,b2或p.另外,当焦点位 置无法确定时,抛物线方程常设为y2=2ax或x2=2ay(a0),椭圆方程 常设为mx2+ny2=1(m0,n0,
4、且mn),双曲线方程常设为mx2-ny2=1 (mn0). 提能 椭圆和双曲线的定义主要应用于两方面:一是利用定义 求它们的标准方程;二是利用定义求弦长、离心率及焦点三角形 的周长、面积(或最值)等.,1.(2018湖北黄冈模拟)如图,已知椭圆C的中心为原点O,F(-5,0)为 C的左焦点,P为C上一点,满足|OP|=|OF|且|PF|=6,则椭圆C的方程 为 ( ),答案 C 由题意可得c=5,设右焦点为F,连接PF,由|OP|=|OF|=| OF|知,PFF=FPO,OFP=OPF, PFF+OFP=FPO+OPF, FPO+OPF=90,即PFPF.在RtPFF中,由勾股定理,得| PF
5、|= = =8, 由椭圆的定义,得|PF|+|PF|=2a=6+8=14,从而a=7,a2=49,于是b2=a2- c2=49-52=24, 椭圆C的方程为 + =1,故选C.,2.(2018云南昆明调研)过抛物线C:y2=2px(p0)的焦点F,且倾斜角 为锐角的直线l与C交于A,B两点,过线段AB的中点N且垂直于l的 直线与C的准线交于点M,若|MN|=|AB|,则l的斜率为 ( ) A. vB. C. D.1,答案 B 设抛物线的准线为m,分别过点A,N,B作AAm,NN m,BBm,垂足分别为A,N,B. 因为直线l过抛物线的焦点,所以|BB|=|BF|,|AA|=|AF|. 又N是线
6、段AB的中点,|MN|=|AB|,所以|NN|= (|BB|+|AA|)= (|BF|+| AF|)= |AB|= |MN|,所以MNN=60,则直线MN的倾斜角是120. 又MNl,所以直线l的倾斜角是30,斜率是 .故选B.,(1)(2018课标全国,10,5分)已知双曲线C: - =1(a0,b0)的 离心率为 ,则点(4,0)到C的渐近线的距离为( ) A. B.2 C. D.2 (2)(2018河南郑州质量预测)已知椭圆 + =1(ab0)的左顶点 和上顶点分别为A,B,左,右焦点分别是F1,F2,在线段AB上有且只有 一个点P满足PF1PF2,则椭圆的离心率的平方为 ( ) A.
7、B. C. D.,答案 (1)D (2)B,解析 (1)e= = = , 且a0,b0, =1, C的渐近线方程为y=x, 点(4,0)到C的渐近线的距离为 =2 . (2)由题意得,A(-a,0),B(0,b),由在线段AB上有且只有一个点P满足 PF1PF2,得点P是以,点O为圆心,线段F1F2为直径的圆x2+y2=c2与线段AB的切点,连接 OP,则OPAB,且OP=c,即点O到直线AB的距离为c.又直线AB的,方程为y= x+b,整理得bx-ay+ab=0,点O到直线AB的距离d=c,两边同时平方整理得,a2b2=c2(a2+b2)=(a2-b2)(a2+b2)=a4-b 4,可得b4
8、+a2b2-a4=0,两边同时除以a4,得 + -1=0,可得 =,则e2= = =1- =1- = ,故选B.,1.(2018贵州贵阳模拟)过双曲线C: - =1(a0,b0)的右焦点F 作圆x2+y2=a2的切线FM(切点为M),交y轴于点P,若 =2 ,则双 曲线的离心率为 ( ) A. B. C. D.2,答案 B 设P(0,3m),由 =2 ,可得点M的坐标为 , OMPF, =-1, m2= c2,M ,由|OM|2+|MF|2=|OF|2,|OM|=a,|OF|=c得,a 2+ + =c2,即a2= c2, e= = ,故选B.,2.(2018福建福州模拟)过椭圆C: + =1(
9、ab0)的右焦点作x轴 的垂线,交C于A,B两点,直线l过C的左焦点和上顶点.若以AB为直 径的圆与l存在公共点,则C的离心率的取值范围是 ( ) A. B. C. D.,答案 A 由题设知,直线l: + =1,即bx-cy+bc=0,以AB为直径 的圆的圆心为(c,0),根据题意,将x=c代入椭圆C的方程,得y= , 则圆的半径r= .又圆与直线l有公共点,所以 ,化简得 2cb,平方整理得a25c2,所以e= .又0e1,所以0e . 故选A.,3.(2018河北唐山五校联考)过抛物线y2=2px(p0)的焦点F作直线 交抛物线于A,B两点,若|AF|=2|BF|=6,则p= .,答案 4
10、,解析 解法一:设直线AB的倾斜角为,分别过A,B作准线l的垂线 AA,BB,垂足分别为A,B,则|AA|=6,|BB|=3,过点B作AA的垂线BC, 垂足为C,则|AC|=3,|BC|=6 ,易知BAC=,所以sin = = , 所以|AB|= =9,解得p=4. 解法二:设直线AB的倾斜角为,则|AF|= ,|BF|= ,则 有 =2 ,解得cos = ,又|AF|= =6,所以p=4. 解法三:由结论 + = ,得 + = ,解得p=4.,考点三 直线与圆锥曲线的位置关系,1.判断直线与圆锥曲线公共点的个数或求交点问题的两种 常用方法: (1)代数法:联立直线与圆锥曲线方程可得到一个关于
11、x,y的方程 组,消去y(或x)得到一个一元二次方程,此方程根的个数即为交点 个数,方程组的解即为交点坐标; (2)几何法:画出直线与圆锥曲线,根据图形判断公共点个数.,2.弦长公式 设斜率为k的直线l与圆锥曲线C的两交点为P(x1,y1),Q(x2,y2). 则|PQ|=|x1-x2| = . 或|PQ|=|y1-y2| = (k0). 3.弦的中点 圆锥曲线C: f(x,y)=0的弦为PQ.若P(x1,y1),Q(x2,y2),中点M(x0,y0),则 x1+x2=2x0,y1+y2=2y0.,命题角度一:位置关系的判断与应用,设A,B为曲线C:y= 上两点,A与B的横坐标之和为4. (1
12、)求直线AB的斜率; (2)设M为曲线C上一点,C在M处的切线与直线AB平行,且AM BM,求直线AB的方程.,解析 (1)设A(x1,y1),B(x2,y2). 则x1x2,y1= ,y2= ,x1+x2=4, 于是直线AB的斜率k= = =1. (2)由y= ,得y= . 设M(x3,y3),由题设及(1)知 =1,解得x3=2, 于是M(2,1). 设直线AB的方程为y=x+m, 故线段AB的中点为N(2,2+m),|MN|=|m+1|.,将y=x+m代入y= ,得x2-4x-4m=0. 当=16(m+1)0,即m-1时,x1,2=22 . 易知|AB|=2|MN|, 即4 =2(m+1
13、),解得m=7(m=-1舍去). 所以直线AB的方程为x-y+7=0.,方法归纳 直线与圆锥曲线相切,如果直线不与抛物线的对称轴平行、不与 双曲线的渐近线平行,那么当直线与圆锥曲线只有一个公共点时, 只要把直线方程、圆锥曲线方程联立消元得到关于一个变量的 一元二次方程,使其判别式等于零即可.,命题角度二:弦长问题 已知椭圆C: +y2=1(a1),F1,F2分别是其左,右焦点,以F1F2为直 径的圆与椭圆C有且仅有两个交点. (1)求椭圆C的方程; (2)设过点F1且不与坐标轴垂直的直线l交椭圆于A,B两点,线段AB 的垂直平分线与x轴交于点P,点P横坐标的取值范围是 ,求 线段AB长度的取值
14、范围.,解析 (1)因为以F1F2为直径的圆与椭圆C有且仅有两个交点,所 以b=c=1,所以a= = , 所以椭圆C的方程为 +y2=1. (2)根据题意,过点F1且不与坐标轴垂直的直线l交椭圆于A,B两点, 即直线AB的斜率存在且不为0.设直线AB的方程为y=k(x+1)(k 0),与 +y2=1联立,得(1+2k2)x2+4k2x+2k2-2=0. 设A(x1,y1),B(x2,y2),线段AB的中点为M,则x1+x2=- ,x1x2= , y1+y2=k(x1+1)+k(x2+1)= ,即M . 线段AB的垂直平分线的方程为y- =- , 令y=0,得xP=- . 因为xP ,所以0k2
15、 . |AB|= = = .,因为0k2 , 所以 1+ 2,所以 |AB|2 . 故线段AB长度的取值范围是 .,方法归纳 解决直线与椭圆的位置关系问题,经常利用设而不求的方法,解题 要点如下 (1)设直线与椭圆的交点为A(x1,y1),B(x2,y2); (2)联立直线的方程与椭圆的方程; (3)消元得到关于x或y的一元二次方程; (4)利用根与系数的关系设而不求; (5)把题干中的条件转化为x1+x2,x1x2或y1+y2,y1y2,进而求解即可.,命题角度三:中点弦问题圆锥曲线以P(x0,y0)(y00)为中点的弦所在直线的斜率如下表:,其中k= (x1x2),(x1,y1),(x2,
16、y2)为弦的端点坐标.,在椭圆x2+4y2=16中,过点M(2,1)且被这一点平分的弦所在的直 线方程为 .,答案 x+2y-4=0,解析 解法一:如果弦所在的直线的斜率不存在,即直线垂直于x 轴,则点M(2,1)显然不可能为这条弦的中点.故可设弦所在的直线 方程为y=k(x-2)+1,与x2+4y2=16联立并消去y,得(1+4k2)x2-(16k2-8k)x +16k2-16k-12=0. =16(12k2+4k+3)0恒成立,由 =4,解得k=- . 故所求直线方程为y=- (x-2)+1,即x+2y-4=0. 解法二:设弦的两个端点分别为P(x1,y1),Q(x2,y2),则x1+x2
17、=4,y1+y2=2. 因为P(x1,y1),Q(x2,y2)在椭圆上,所以 +4 =16, +4 =16,两式相 减得(x1+x2)(x1-x2)+4(y1+y2)(y1-y2)=0.,当x1=x2时,直线PQ垂直于x轴,点M(2,1)显然不可能为这条弦的中 点,故x1x2,设所求直线的斜率为k,则有x1+x2+4(y1+y2) =0,即 4+8k=0,解得k=- . 故所求直线方程为y-1=- (x-2),即x+2y-4=0.,方法归纳 对于中点弦问题,常利用“根与系数的关系”或“点差法”求解, 在利用根与系数的关系时,要注意使用条件0,在利用点差法时, 要检验直线与圆锥曲线是否相交.,(
18、2018北京,20,14分)已知椭圆M: + =1(ab0)的离心率为 , 焦距为2 .斜率为k的直线l与椭圆M有两个不同的交点A,B. (1)求椭圆M的方程; (2)若k=1,求|AB|的最大值; (3)设P(-2,0),直线PA与椭圆M的另一个交点为C,直线PB与椭圆M 的另一个交点为D.若C,D和点Q 共线,求k.,解析 (1)由题意得 解得a= ,b=1. 所以椭圆M的方程为 +y2=1. (2)设直线l的方程为y=x+m,A(x1,y1),B(x2,y2). 由 得4x2+6mx+3m2-3=0. 所以x1+x2=- ,x1x2= .,|AB|= = = =. 当m=0,即直线l过原点时,|AB|最大,最大值为 . (3)设A(x1,y1),B(x2,y2). 由题意得 +3 =3, +3 =3. 直线PA的方程为y= (x+2). 由 得(x1+2)2+3 x2+12 x+12 -3(x1+2)2=0. 设C(xC,yC).,所以xC+x1= = . 所以xC= -x1= . 所以yC= (xC+2)= . 设D(xD,yD).同理得xD= ,yD= . 记直线CQ,DQ的斜率分别为kCQ,kDQ, 则kCQ-kDQ= - =4(y1-y2-x1+x2). 因为C,D,Q三点共线,所以kCQ-kDQ=0. 故y1-y2=x1-x2. 所以直线l的斜率k= =1.,
