1、1考点规范练 33 基本不等式与绝对值不等式基础巩固组1.下列不等式一定成立的是( )A.lg lg x(x0)(x2+14)B.sin x+ 2(x k, kZ)1sinxC.x2+12 |x|(xR)D 0时, x2+ 2x =x,所以 lg lgx(x0),故选项 A不正确;运用基本不等14 12 (x2+14)式时需保证“一正”“二定”“三相等”,而当 x k, kZ 时,sin x的正负不定,故选项 B不正确;由基本不等式可知,选项 C正确;当 x=0时,有 =1,故选项 D不正确 .1x2+12.若 a,b都是正数,则 的最小值为( )(1+ba)(1+4ab)A.7 B.8 C.
2、9 D.10答案 C解析 a ,b都是正数, =5+ 5+2 =9,当且仅当 b=2a0时取等号 . (1+ba)(1+4ab) ba+4ab ba4ab故选 C.3.(2018浙江平湖模拟)已知 a为实数,则 |a|1 是关于 x的绝对值不等式 |x|+|x-1| a有解的( )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案 B解析 由 |a|1,得 a -1或 a1,因为关于 x的绝对值不等式 |x|+|x-1| a有解,而 |x|+|x-1|=|x|+|1-x| |x+1-x|=1,所以 a1 .所以 |a|1 是关于 x的绝对值不等式 |x|+|x-1
3、| a有解的必要不充分条件 .故选 B.4.若 ab1,P= ,Q= (lg a+lg b),R=lg ,则( )lgalgb12 (a+b2)A.Rb 1, lgalgb0,2(lga+lgb) ,12 lgalgb即 QP , lg lg (lga+lgb)=Q,即 RQ.P ab a+b2 ab=125.已知实数 x,y满足 xy-3=x+y,且 x1,则 y(x+8)的最小值是( )A.33 B.26 C.25 D.21答案 C解析 由 xy-3=x+y,得 y= ,x+3x-1y (x+8)= =x-1+ +13,(x+3)(x+8)x-1 =(x-1)2+13(x-1)+36x-1
4、 36x-1由 x-10可知, x-1+ +132 6+13=25,当且仅当 x=7时等号成立 .故 y(x+8)的最小值为 25.36x-16.(2018浙江余姚中学模拟)若实数 a,b满足 ,则 ab的最小值为 . 1a+2b= ab答案 2 2解析 ,a 0,b0, 2 =2 ab2 (当且仅当1a+2b= ab ab=1a+2b 1a2b 2ab. 2b=2a时取等号),即 ab的最小值为 2 2.7.不等式 |x-3|+|x+1|6的解集为 . 答案 (- ,-2)(4, + )解析 方法一:当 x6,解得 x6,不成立;当 x3时,( x-3)+(x+1)6,得 x4.综上可知 x
5、( - ,-2)(4, + ).方法二: |x-3|+|x+1|6表示数轴上到 -1和 3的距离之和大于 6的点的集合,因为 -1和 3之间的距离为 4,所以由不等式的几何意义可知 x4.8.(2018浙江金华一中模拟)已知 x0,y0,x+2y+2xy=8,则 x+2y的最小值是 . 答案92解析 x+ 2y+2xy=8,x 2y=8-(x+2y) ,解不等式得 x+2y 故填 (x+2y2 )2 92. 92.能力提升组9.已知 f(x)=a|x-2|,若 f(x) ,所以 x-2y0 =x-2y+ 4,当且仅22 2 .x2+4y2x-2y=(x-2y)2+4xyx-2y 4x-2y当
6、x= +1,y= 时等号成立 .故选 A.33-1211.设函数 f(x)=|2x-1|,若不等式 f(x) 对任意实数 a0 恒成立,则 x的取值范|a+1|-|2a-1|a|围是( )A.(- ,-13, + ) B.(- ,-12, + )C.(- ,-31, + ) D.(- ,-21, + )答案 B解析 由题意,令 g(a)= (a0),不等式 f(x) g(a)对任意实数 a0 恒成立,等价于函|a+1|-|2a-1|a|数 f(x)大于或等于 g(a)的最大值,由函数 g(a)的解析式,可对 a的取值范围进行分段讨论,当 a -1时, g(a)= =-1+ ;当 -10,则 的
7、最大值为( )xx+y+ 2yx+2yA.2- B.2+ C.4+2 D.4-22 2 2 2答案 D解析 =1+ =1+ 1+ =4-2 ,当xx+y+ 2yx+2y=x(x+2y)+2y(x+y)(x+y)(x+2y) =x2+4xy+2y2x2+3xy+2y2 xyx2+3xy+2y2 1xy+3+2yx 13+22 2且仅当 ,即 x2=2y2时取等号 .故选 D.xy=2yx413.若正数 x,y,a满足 ax+y+6=xy,且 xy的最小值为 18,则 a的值为( )A.1 B.2 C.3 D.4答案 B解析 正数 x,y,a满足 ax+y+6=xy,且 ax+y2 ,axy即有
8、xy6 +2 ,令 t= ,即为 t2-2 t-60,axy xy a由 xy的最小值为 18,可得 3 为方程 t2-2 t-6=0的解,即有 18-6 -6=0,解得 a=2.2 a 2a14.已知 a0,b0,且 =1,则 a+b的最小值是 ,此时 a= . 22+a+ 1a+2b答案 2+12 2解析 a+b= (2+a+a+2b)-1= (2+a+a+2b) -1= -112 12 ( 22+a+ 1a+2b) 123+2(a+2b)2+a +2+aa+2b-1= ,当且仅当 a= ,b= 时取等号 .12(3+2 2(a+2b)2+a2+aa+2b) 12+ 2 2 1215.设
9、a+b=2,b0,则当 a= 时, 取得最小值为 . 12|a|+|a|b答案 -2 34解析 由于 a+b=2,所以 ,由于 b0,|a|0,所以12|a|+|a|b=a+b4|a|+|a|b= a4|a|+ b4|a|+|a|b2 =1,因此当 a0时, 的最小值是 +1= 当 a4.(2)若不等式 f(a)|b+1|对任意的实数 a恒成立,求 b的取值范围 .解 (1) 函数 f(x)=|2x+b|+|2x-b|,b= 1时,不等式 f(x)4即 |2x+1|+|2x-1|4,它等价于 x 12,4x4或 x -12,-4x4或 -124, 解得 x1或 x4的解集为( - ,-1)(1
10、, + ).(2)f (a)=|2a+b|+|2a-b|=|2a+b|+|b-2a| |(2a+b)+(b-2a)|=|2b|,当且仅当(2 a+b)(b-2a)0 时 f(a)取得最小值 |2b|; 令 |2b|b+1|,得(2 b)2(b+1)2,解得 b1.13b 的取值范围是 (1,+ ).(- ,-13)18.(2018浙江杭州学军中学高三模拟)已知函数 f(x)=ax2+bx+c(a,b,cR),当 x -1,1时, |f(x)|1 .(1)求证: |b|1;(2)若 f(0)=-1,f(1)=1,求实数 a的值 .(1)证明 由题意知 f(1)=a+b+c,f(-1)=a-b+c
11、,所以 b= f(1)-f(-1).12因为当 x -1,1时, |f(x)|1,所以 |f(1)|1, |f(-1)|1,所以 |b|= |f(1)-f(-1)| |f(1)|+|f(-1)|1 .12 12(2)解 由 f(0)=-1,f(1)=1可得 c=-1,b=2-a,所以 f(x)=ax2+(2-a)x-1.当 a=0时,不满足题意,当 a0 时,函数 f(x)图象的对称轴为 x= ,即 x=a-22a 12-1a.因为 x -1,1时, |f(x)|1,即 |f(-1)|1,所以 |2a-3|1,解得 1 a2 .6所以 - 0.所以 +(2-a) 1,12 12-1a |f(12-1a)|=|a(12-1a)2 (12-1a)-1|整理得 1.所以 -1 +11 .|(a-2)24a +1| (a-2)24a所以 -2 0.又 a0,所以 0.(a-2)24a (a-2)24a 所以 =0,所以 a=2.(a-2)24a
