1、2.5 指数与指数函数,-2-,-3-,知识梳理,双击自测,1.根式 (1)n次方根的定义:若 ,则x叫做a的n次方根,其中n1,且nN*.式子 叫做根式,这里n叫做根指数,a叫做被开方数. (2)n次方根的性质: 一个数a的奇次方根只有一个,即 (n为奇数,aR). 一个正数a的偶次方根有两个,即 (n为非零偶数),0的偶次方根为 , 没有偶次方根. (3)两个重要公式,( )n= (n1,且nN*)(注意a必须使 有意义).,xn=a,0,负数,a,a,-a,a,-4-,知识梳理,双击自测,2.实数指数幂 (1)分数指数幂的表示,(2)有理指数幂的运算性质 aras= (a0,r,sQ);
2、 (ar)s= (a0,r,sQ); (ab)r= (a0,b0,rQ).,0,ar+s,ars,arbr,-5-,知识梳理,双击自测,(3)无理指数幂 一般地,无理指数幂a(a0,是无理数)是一个 的实数,有理指数幂的运算法则 于无理指数幂.,确定,同样适用,-6-,知识梳理,双击自测,3.指数函数的图象和性质,上方,(0,1),-7-,知识梳理,双击自测,R,(0,+),递减,递增,y=1,y1,0y1,0y1,y1,-8-,知识梳理,双击自测,答案,解析,-9-,知识梳理,双击自测,答案,解析,-10-,知识梳理,双击自测,A.y3y1y2 B.y2y1y3 C.y1y2y3 D.y1y
3、3y2,答案,解析,-11-,知识梳理,双击自测,4.设集合M=x|x2-x-20,N=x|12x-18,则MN=( ) A.(2,4 B.1,4 C.(-1,4 D.4,+),答案,解析,-12-,知识梳理,双击自测,5.当a0,且a1时,函数f(x)=ax-2-3的图象必经过定点 .,答案,解析,-13-,知识梳理,双击自测,自测点评 1.根式的化简运算中要注意以下两个公式的区别:,2.指数幂的运算中应注意:(1)运算的先后顺序;(2)化负数指数幂为正数指数幂;(3)化根式为分数指数幂;(4)化小数为分数. 3.指数函数的单调性是由底数a的大小决定的,因此,应用单调性解题时,应对底数a分为
4、a1和0a1两种情况进行讨论.,-14-,考点一,考点二,考点三,指数幂的运算(考点难度) 【例1】 (1)计算下列各式的值:,-15-,考点一,考点二,考点三,-16-,考点一,考点二,考点三,方法总结1.指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂,以便利用法则计算,还应注意:(1)必须同底数幂相乘,指数才能相加;(2)运算的先后顺序. 2.当底数是负数时,先确定符号,再把底数化为正数. 3.运算结果不能同时含有根号和分数指数,也不能既有分母又含有负指数.,-17-,考点一,考点二,考点三,答案,解析,-18-,考点一,考点二,考点三,A.3 B.6 C.8 D.2,答案,解析,-1
5、9-,考点一,考点二,考点三,指数函数的图象及其应用(考点难度) 【例2】 (1)定义运算a*b= 则函数f(x)=1*2x的图象是( ),答案,解析,-20-,考点一,考点二,考点三,(2)设函数f(x)=|2x-1|,实数ab,且f(a)=f(b),则a+b的取值范围是 .,答案,解析,-21-,考点一,考点二,考点三,方法总结1.画指数函数y=ax(a0,且a1)的图象时,应抓住两个关键点:定点和单调性. 2.与指数函数有关的函数图象的研究,往往利用相应指数函数的图象,通过平移、对称变换得到其图象. 3.一些指数方程、不等式问题的求解,往往利用相应的指数型函数图象数形结合求解.,-22-
6、,考点一,考点二,考点三,对点训练(1)设函数f(x)=x2-a与g(x)=ax(a1且a2)在区间(0,+)上具有不同的单调性,则M=(a-1)0.2与N= 的大小关系是( ) A.M=N B.MN C.MN,答案,解析,-23-,考点一,考点二,考点三,(2)若直线y=2a与函数y=|ax-1|(a0,a1)的图象有两个公共点,则实数a的取值范围是 .,答案,解析,-24-,考点一,考点二,考点三,指数函数的性质及其应用(考点难度) 【例3】 (1)已知maxa,b表示a,b两数中的最大值.若f(x)=maxe|x|,e|x-2|,则f(x)的最小值为 .,答案,解析,-25-,考点一,考
7、点二,考点三,判断f(x)的奇偶性; 讨论f(x)的单调性; 当x-1,1时,f(x)b恒成立,求b的取值范围.,解:函数定义域为R,关于原点对称.,当a1时,a2-10,y=ax为增函数,y=a-x为减函数, 从而y=ax-a-x为增函数,故f(x)为增函数. 当00,且a1时,f(x)在定义域内单调递增.,-26-,考点一,考点二,考点三,由知f(x)在R上是增函数, 所以f(x)在区间-1,1上为增函数.,故要使f(x)b在-1,1上恒成立,则只需b-1,故b的取值范围是(-,-1.,方法总结1.利用指数函数的性质解决相关的综合问题时,要特别注意底数a的取值范围,并在必要时进行分类讨论.
8、 2.解决恒成立问题,一般需通过分离变量,通过转化为求函数的最值来实现.,-27-,考点一,考点二,考点三,互不相等的实数a,b,c满足f(a)=f(b)=f(c),则2a+2b+2c的取值范围是( ) A.(16,32) B.(18,34) C.(17,35) D.(6,7),答案,解析,-28-,考点一,考点二,考点三,(2)已知函数f(x)=bax(其中a,b为常数,且a0,a1)的图象经过点A(1,6),B(3,24). 试确定f(x);,解:函数f(x)=bax的图象经过点A(1,6),B(3,24),又a0,且a1,a=2,b=3.f(x)=32x.,-29-,考点一,考点二,考点
9、三,-30-,思想方法换元法在求解指数型函数问题中的应用 换元法是高中数学解题的基本方法,本节中与指数型函数有关的求函数单调区间和值域的问题,通常应用换元法以达到化繁为简的目的.换元时,应注意确定新元的范围,以达到等价转化的目的,避免失误.,-31-,【典例】 (1)函数f(x)= 的单调递减区间为 ,值域为 . (2)函数y=4x+2x+1+1的值域为 . 答案:(1)(-,-2) 3-7,+) (2)y|y1,解析:(1)令t=-x2-4x+3=-(x+2)2+7,故t=-x2-4x+3在(-,-2)上单调递增,在(-2,+)上单调递减,而y= 在R上为单调递减,所以f(x)在(-,-2)上单调递减.,(2)由题意知该函数的定义域为R,因为y=4x+2x+1+1=(2x)2+22x+1=(2x+1)2,且2x0. 所以函数y=4x+2x+1+1的值域为y|y1.,-32-,答题指导利用换元法在解指数型函数问题时应注意换元后新元的取值范围.,-33-,答案,解析,-34-,答案,解析,-35-,高分策略1.解决指数函数有关问题时,若底数不确定,应注意对a1及00,且a1)的函数、方程、不等式等问题,可以利用换元法求解.但一定要注意新元的范围.,
