1、6.4 数列求和,-2-,-3-,知识梳理,双击自测,-4-,知识梳理,双击自测,(3)裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差求和,正负相消剩下首尾若干项. 常见的裂项公式,(4)错位相减法 主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和,即等比数列求和公式的推导过程的推广. (5)倒序相加法 把数列分别正着写和倒着写再相加,即等差数列求和公式的推导过程的推广.,-5-,知识梳理,双击自测,1.(教材改编)数列an的前n项和为Sn,若an= ,则S5等于( ),答案,解析,-6-,知识梳理,双击自测,2.已知数列an的通项公式为an=(-1)n-1(4n-3),则它的前100项之和
2、S100等于( ) A.200 B.-200 C.400 D.-400,答案,解析,-7-,知识梳理,双击自测,3.若数列an的通项公式为an=2n+2n-1,则数列an的前n项和为( ) A.2n+n2-1 B.2n+1+n2-1 C.2n+1+n2-2 D.2n+n-2,答案,解析,-8-,知识梳理,双击自测,4.sin21+sin22+sin23+sin288+sin289= .,答案,解析,-9-,知识梳理,双击自测,5.(教材改编)1+2x+3x2+nxn-1= (x0且x1).,答案,解析,-10-,知识梳理,双击自测,自测点评 1.含有字母的数列求和,常伴随着分类讨论. 2.错位
3、相减法中,两式相减后,构成等比数列的有n-1项,整个式子共有n+1项. 3.用裂项相消法求和时,裂项相消后,前面剩余几项,后面就剩余几项. 4.数列求和后,要注意化简,通常要进行通分及合并同类项的运算.,-11-,考点一,考点二,考点三,分组转化求和法(考点难度),【例1】 (1)(2018浙江台州二模)已知数列an的通项,A.-2 016 B.-2 017 C.-2 018 D.-2 019,答案,解析,-12-,考点一,考点二,考点三,(2)已知等差数列an的前n项和为Sn,且满足S4=24,S7=63. 求数列an的通项公式; 若bn= +(-1)nan,求数列bn的前n项和Tn.,解:
4、因为an为等差数列,-13-,考点一,考点二,考点三,-14-,考点一,考点二,考点三,方法总结分组转化法求和的常见类型 (1)若an=bncn,且bn,cn为等差数列或等比数列,可采用分组求和法求an的前n项和;(2)通项公式为an= 的数列,其中数列bn,cn是等比数列或等差数列,可采用分组求和法求和.,-15-,考点一,考点二,考点三,对点训练已知等差数列an中,Sn为其前n项和,若a5=11,S20=0. (1)求通项an; (2)设数列bn-an是首项为1,公比为3的等比数列,求数列bn的通项公式及其前n项和Tn.,所以an=19-2(n-1)=-2n+21. (2)由题意知bn-a
5、n=3n-1,所以bn=3n-1-2n+21,-16-,考点一,考点二,考点三,错位相减法求和(考点难度) 【例2】 (1)(2017浙江湖州第三次模拟改编)已知等差数列an的前n项和Sn满足S3=6,S5=15,bn= ,则数列bn的前n项和Tn= .,答案,解析,-17-,考点一,考点二,考点三,(2)(2017山东高考)已知an是各项均为正数的等比数列,且a1+a2=6,a1a2=a3. 求数列an的通项公式; bn为各项非零的等差数列,其前n项和为Sn.已知S2n+1=bnbn+1,求数列 的前n项和Tn.,分析:列出关于a1,d的方程组,解方程组求基本量;用错位相减法求和.,-18-
6、,考点一,考点二,考点三,-19-,考点一,考点二,考点三,方法总结1.一般地,如果数列an是等差数列,bn是等比数列,求数列anbn的前n项和时,可采用错位相减法求和,解题思路是:和式两边同乘等比数列bn的公比,然后作差求解. 2.在写出“Sn”与“qSn”的表达式时,应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn-qSn”的表达式.,-20-,考点一,考点二,考点三,对点训练(2018浙江高考)已知等比数列an的公比q1,且a3+a4+a5=28,a4+2是a3,a5的等差中项.数列bn满足b1=1,数列(bn+1-bn)an的前n项和为2n2+n. (1)求q的值; (2)求数列b
7、n的通项公式.,解:(1)由a4+2是a3,a5的等差中项,得a3+a5=2a4+4,所以a3+a4+a5=3a4+4=28,解得a4=8.,-21-,考点一,考点二,考点三,(2)设cn=(bn+1-bn)an,数列cn前n项和为Sn,-22-,考点一,考点二,考点三,-23-,考点一,考点二,考点三,裂项相消法求和(考点难度)【例3】 (1)已知数列an的通项公式为an= (nN*),其前n项和为Sn,则在数列S1,S2,S2 016中,有理数项的项数为( ) A.42 B.43 C.44 D.45,答案,解析,-24-,考点一,考点二,考点三,(2)(2017浙江绍兴二诊改编)若An和B
8、n分别表示数列an和bn的前n项和,对任意正整数n,an=2(n+1),3An-Bn=4n. 求数列bn的通项公式;,解:由于an=2(n+1),an为等差数列,且a1=4.,Bn=3An-4n=3(n2+3n)-4n=3n2+5n. 当n=1时,b1=B1=8, 当n2时,bn=Bn-Bn-1=3n2+5n-3(n-1)2+5(n-1)=6n+2. 由于b1=8适合上式,bn=6n+2.,-25-,考点一,考点二,考点三,-26-,考点一,考点二,考点三,方法总结1.使用裂项相消法求和时,要注意正、负项相消时消去了哪些项,保留了哪些项,切不可漏写未被消去的项.未被消去的项有前后对称的特点.,
9、3.在解题中,要善于利用裂项相消的基本思想,变换数列an的通项公式,达到求解目的.归纳起来常见的裂项类型有:,-27-,考点一,考点二,考点三,对点训练(2018天津高考)设an是等比数列,公比大于0,其前n项和为Sn(nN*),bn是等差数列.已知a1=1,a3=a2+2,a4=b3+b5,a5=b4+2b6. (1)求an和bn的通项公式; (2)设数列Sn的前n项和为Tn(nN*), 求Tn;,解:设等比数列an的公比为q.由a1=1,a3=a2+2,可得q2-q-2=0.因为q0,可得q=2,故an=2n-1. 设等差数列bn的公差为d.由a4=b3+b5,可得b1+3d=4.由a5=
10、b4+2b6,可得3b1+13d=16,从而b1=1,d=1,故bn=n. 所以数列an的通项公式为an=2n-1,数列bn的通项公式为bn=n.,-28-,考点一,考点二,考点三,-29-,又当n2时,由an+1-an=(2Sn+1)-(2Sn-1+1)=2an,得an+1=3an, 所以数列an的通项公式为an=3n-1,nN*. (7分),答题规范求数列|an|的前n项和问题 数列求和问题主要思路是识别通项类型,寻找合适的求和方法. 【典例】 (2016浙江高考文)设数列an的前n项和为Sn,已知S2=4,an+1=2Sn+1,nN*. (1)求通项公式an; (2)求数列|an-n-2
11、|的前n项和.,-30-,(2)设bn=|3n-1-n-2|,nN*,则b1=2,b2=1. 当n3时,由于3n-1n+2,故bn=3n-1-n-2,n3. (10分) 设数列bn的前n项和为Tn,则T1=2,T2=3,-31-,答题指导1.求数列|an|的前n项和的一般步骤如下: 第一步:求数列an的前n项和; 第二步:令an0(或an0)确定分类标准; 第三步:分两类分别求前n项和; 第四步:用分段函数形式下结论; 第五步:反思回顾,查看|an|的前n项和与an的前n项和的关系,以防求错结果. 2.本题求解用了分类讨论思想,求数列|an|的和时,因为an有正有负,所以应分两类分别求和. 3
12、.常出现的错误:当n11时,求|an|的和,有的学生认为就是S11=110;当n12时,求|an|的和,有的学生不能转化为2(a1+a2+a11)-(a1+a2+an),导致出错.,-32-,对点训练(15分)在公差为d的等差数列an中,已知a1=10,且a1,2a2+2,5a3成等比数列. (1)求d,an; (2)若d0,求|a1|+|a2|+|a3|+|an|.,解:(1)由题意得5a3a1=(2a2+2)2, (2分) 即d2-3d-4=0,故d=-1或d=4. (4分) 所以an=-n+11,nN*或an=4n+6,nN*. (6分),-33-,(2)设数列an的前n项和为Sn. 因为d0,由(1)得d=-1,an=-n+11.,-34-,高分策略1.数列求和,一般应从通项入手,若通项未知,先求通项,然后通过对通项变形,转化为与特殊数列有关或具备某种方法适用特点的形式,从而选择合适的方法求和. 2.解决非等差、非等比数列的求和,主要有两种思路 (1)转化的思想,即将一般数列设法转化为等差或等比数列,这一思想方法往往通过通项分解或错位相减来完成; (2)不能转化为等差或等比数列的数列,往往通过裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等来求和.,
