1、1内蒙古开来中学 2018-2019 学年高二上学期期末考试数学（理）试卷第卷（选择题 共 70 分）一、选择题（本大题共 14 道小题，每小题 5 分，共 70 分） 1.在等比数列 中，如果公比 ，那么等比数列 是 ( )A. 递增数列 B. 递减数列 C. 常数列 D. 无法确定数列的增减性【答案】D【解析】【分析】表示出 ，从差值的正负来判断即可。【详解】 无法判断正负与 的大小无法比较，故选：D。【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式及数列的增减性判断。2.若 则下列不等关系中不一定成立的是 ( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】试题分析：由同向不等式的相加性可知 ，由
2、可得 ，由a+cb+dabdc ab acbc，因此 正确cdc0A. B. a+b2 ab a2+b22 a+b2 a2+b22 abC. D. aba2+b22 a+b2 aba+b2 a2+b22【答案】D【解析】【分析】由基本不等式得 ，由 即可判断三个数的大小关系。a+b2 ab (a+b2)2a2+b22【详解】 ，又 ，a+b2 ab (a+b2)2=a2+2ab+b24 a2+a2+b2+b24 =a2+b22 aba+b2 a2+b22故选：D【点睛】本题主要考查了基本不等式及等价转化思想，属于基础题。6.设 是递增等差数列，前三项的和为 12，前三项的积为 48，则它的首项
3、是（ ）an3A. 1 B. 2 C. 4 D. 6【答案】B【解析】试题分析：设 的前三项为 ，则由等差数列的性质，可得 ，所以an a1,a2,a3 a1+a3=2a2，a1+a2+a3=3a2解得 ，由题意得 ，解得 或 ，因为 是递增的等差数列，所a2=4 a1+a3=8a1a3=12 a1=2a3=6 a1=6a3=2 an以，故选 Ba1=2,a3=6考点：等差数列的性质7.等比数列 中， ， ，则 （ ）an a1+a2=40a3+a4=60 a7+a8=A. B. C. D. 135 100 95 80【答案】A【解析】分析：由等比数列的性质求解较方便详解： 是等比数列， 也是
4、等比数列，an a1+a2,a3+a4,a5+a6,a7+a8 a7+a8=40(6040)3=135故选 A点睛：本题考查等比数列的性质，本题可以用基本量法求解，即求出首项和公比后，再计算 ，当然应用性质求解更应提倡本题所用性质为：数列 是等比数列，则a7+a8 an（ 为常数）仍是等比数列ankk+1+ankk+2+ank k8.不等式 的解集为 ( )x22x+10A. R B. R，且 C. D. x|x x1 x|x1 x|x0 (x1)20【详解】 ， ， x2-2x+10 (x1)20 x1所以不等式 的解集为： R，且 x2-2x+10 x|x x1故选：B【点睛】本题主要考查
5、了一元二次不等式得解法，属于基础题9.当 时，函数 的最小值为 ( )x3 y=x+1x3A. B. C. D. 3 4 5 6【答案】C【解析】【分析】对 变形为 ，利用基本不等式求解。y=x+1x-3 y=(x3)+1x3+3【详解】 可化为 ，y=x+1x-3 y=(x3)+1x3+3又 y=(x3)+1x3+32(x3) 1(x3)+3=5当且仅当 时，x=4 ymin=5故选：C【点睛】本题主要考查了基本不等式的应用，注意一正二定三相等，属于基础题。10.设变量 满足 ，则 的最大值为 ( )x,yx+y2xy0x2 z=x+2yA. B. C. D. 4 5 6 7【答案】C【解析
6、】【分析】作出 表示的平面区域，求出区域的顶点坐标，分别代入 即可求得最大值。x+y2x-y0x-2 z=x+2y【详解】作出 表示的平面区域，如图：x+y2x-y0x-2 5将 A,B,C 三点坐标分别代入得： ， ， ，z1=1+21=3 z2=2+24=6 z3=2+2(2)=6所以 ，zmax=6故选：C【点睛】本题考查了线性规划问题，作出可行域，当不等式组为线性约束条件，目标函数是线性函数，可行域为多边形区域时（或有顶点的无限区域） ，直接代端点即可求得目标函数的最值。11.双曲线 的渐近线方程为 ( )x24y29=1A. B. C. D. 4x9y=0 9x4y=0 2x3y=0
7、 3x2y=0【答案】D【解析】【分析】由双曲线 的渐近线方程公式直接求解。x24-y29=1【详解】 双曲线 的渐近线方程为：x24-y29=1 y=bax=32x双曲线 的渐近线方程为： 。x24-y29=1 3x2y=0故选：D。【点睛】本题主要考查了双曲线的简单性质，属于基础题。12.已知向量 ，a=(1,2,3),b=(1,1,1) |a+b|=A. B. C. D. 25 29 5 29【答案】D【解析】【分析】6求出 的坐标，利用向量的模的公式求解即可。a+b【详解】 ， =a=(1,2,3),b=(1,1,1) a+b(2,3,4)|a+b|= 22+32+42= 29故选：D
8、【点睛】本题主要考查了向量的坐标运算及模的计算，属于基础题。13.已知正方体 中， 分别为棱 的中点，则直线 与 所成角的余ABCDA1B1C1D1 E,F AB,CC1 EF BD1弦值为 ( ) A. B. C. D. 23 23 23 23【答案】D【解析】【分析】如图建立空间直角坐标系，求出 E,F,B,D1点的坐标，利用直线夹角的向量求法求解。【详解】如图，以 D 为原点建立空间直角坐标系，设正方体的边长为 2，则 ， , ，E(2,1,0) F(0,2,1) B(2,2,0) D1(0,0,2), ,EF=(2,1,1) BD1=(2,2,2)7直线 与 所成角的余弦值为： . E
9、F BD1|cos|=|EFBD1|EF|BD1|=| (2)(2)+1(2)+12(2)2+12+12(2)2+(2)2+22|=23故选：D【点睛】本题主要考查了空间向量的应用及向量夹角的坐标运算，属于基础题。14.直线 l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到 l 的距离为其短轴长的 ，14则该椭圆的离心率为 ( )A. B. 13 12C. D. 23 34【答案】B【解析】试题分析：不妨设直线 ，即 椭圆中心到的距离l:xc+yb=1 bx+cybc=0 |bc|b2+c2=2b4，故选 B.e=ca=12考点：1、直线与椭圆；2、椭圆的几何性质.【方法点晴】本题考查直线与椭圆
10、、椭圆的几何性质，涉及方程思想、数形结合思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性较强，属于较难题型. 不妨设直线 ，即 椭圆中心到的距离 ，利用l:xc+yb=1 bx+cybc=0 |bc|b2+c2=2b4e=ca=12方程思想和数形结合思想建立方程 是本题的关键节点 .|bc|b2+c2=2b4【此处有视频，请去附件查看】第卷（非选择题 共 80 分）二、填空题(本大题共 4 道小题，每小题 5 分,共 20 分) 15.不等式 解集为_.x1x23 f(x)6 x32x46得： 或 或 ，综上：1a3要使得 恒成立，则 ，即：f(x)a f(x)mina
11、 a2【点睛】 （1）考查了绝对值不等式得解法去绝对值，转化成一元一次不等式组求解即可。（2）考查了恒成立问题，还考查了转化思想，把问题转化成函数 的最值问题解决即可。f(x)21.已知：双曲线 .C:x216y29=1（1）求双曲线 的焦点坐标、顶点坐标、离心率；C（2）若一条双曲线与已知双曲线 有相同的渐近线，且经过点 ，求该双曲线的方C A(23,3)程.【答案】(1) ，焦点 ，顶点 ，离心率 ；(2)a=4,b=3,c=5 (5,0) (4,0) e=54 4y29-x24=1【解析】【分析】11（1）由双曲线 可得： ，从而求得： ，问题得解。C:x216-y29=1 a=4,b=
12、3 c=5（2）设所求双曲线的方程为： ，将 代入即可求得，问题得解。x216-y29= A(23,-3)【详解】 双曲线 ，所以 ， ， C:x216-y29=1 a=4,b=3 c= a2+b2=5双曲线 的焦点坐标 ， ，顶点坐标 ， ，离心率 。 C (5,0) (5,0) (4,0) (4,0) e=ca=54（2）设所求双曲线的方程为： ，x216-y29=将 代入上式得： ，解得：A(23,-3)(23)216(3)29= =14所求双曲线的方程为： 。4y29-x24=1【点睛】 （1）主要考查了双曲线的简单几何性质，属于基础题。（2）主要考查了共渐近线的双曲线方程的特征-若双
13、曲线方程为： x2a2y2b2=1(a0,b0)则与它共共渐近线的双曲线方程可设为： ，属于基础题。x2a2y2b2=22.如下图所示，在四棱锥 中， 底面四边形 ，四边形 是直角梯形，SOABC SO OABC OABC且 ， ，点 是棱 的中点， 是 上的点，且COA=OAB=90 OA=OS=AB=1,OC=4 M SB N OC.ON:NC=1:3(1)求异面直线 与 所成的角的余弦值；MN BC(2)求 与平面 所成的角的正弦值MN SBC【答案】 （1） ； （2） .23015 63【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出 各点的坐标，从而求出 的坐标，利用向量M,N,B,
14、C,S MN,BC夹角的坐标运算公式求解。12（2）求出平面 的法向量 ，求出 与 的夹角余弦值，从而求出 与SAB n=(1,0,1) MN n=(1,0,1) MN平面 所成的角的正弦值。SBC【详解】(1)建系以 为原点，如图， ，o S(0,0,1),B(1,1,0),M(12,12,12),N(0,1,0),C(0,4,0)所以 MN=(-12,12,-12),BC=(-1,3,0)cos=|cosMN,BC|=| MNBC|MN|BC|=23015(2） ， ，设 是平面 的法向量，A(1,0,0) SA=(1,0,-1),AB=(0,1,0) n=(x,y,z) SAB则 ，即
15、，取nSA=0nAB=0 x-z=0y=0 n=(1,0,1)cosn,MN=nMN|n|MN|=- 63所以 与平面 所成的角的正弦值 .MN SBC63【点睛】 （1）主要考查了空间向量的应用-空间直线夹角问题转化成空间向量夹角问题，还考查了向量的坐标运算。（2）主要考查了空间向量的应用-空间线面角问题转化成向量夹角问题求解，还考查了向量的坐标运算。23.已知椭圆 且与过焦点的直线 相交于 两点， 是 的中点，E:x2a2+y2b2=1(ab0) x+y1=0 A,B C AB的斜率为 .OC1213（1）求椭圆 的方程；E（2）求 的面积.OAB【答案】 （1） ； （2） .【解析】【分析】（1）由直线 过焦点求得： ，联立直线与椭圆方程得：，表示出 ，再由 是 的中点， 的斜率为列方程即可解决问题。（2）联立直线与椭圆方程，求得 .从而求得 ，再利用两点距离公式求得 ，求出点 到直线 的距离 ，利用三角形面积公式求解。【详解】(1)因直线 过椭圆 的焦点， 所以， ， 又由 得， 代入椭圆方程得，即设 ，则 ，所以，而 ，所以椭圆(2）联立 消去 得 ，解得 .， 又点 到直线 的距离 ，所以【点睛】 （1）本题主要考查了设而不求方法，考查了方程思想，两点斜率公式及韦达定理，14计算量一般，属于中档题。（2）考查了方程思想，两点距离公式及三角形面积公式，属于中档题。
