1、1集宁一中 2018-2019 学年第一学期期末考试高二年级文科数学试题一选择题（125 分=60 分）1.一元二次不等式 的解集是 ( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】将不等式左边因式分解，然后利用一元二次不等式的解法，求得不等式的解集.【详解】不等式可因式分解为 ，对应一元二次方程的两个根为 ，故不等式的解集为 .故选 C.【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查二次三项式的因式分解，属于基础题.2.已知函数 ， 为 的导函数，则 的值为（ ）A. 1 B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用乘法的求导法则对函数进行求导，将 代入导函数，求得正确选项.x
2、=1【详解】依题意 ，故 ，所以选 B.f(x)=exlnx+exx f(1)=e【点睛】本小题主要考查两个函数相乘的导数的运算，考查基本初等函数的导数，属于基础题.3.等比数列 的前 项和为 ，且 ， ， 成等差数列，若 ，则 （ ）an n Sn 4a1 2a2 a3 a1=1 s4=A. 7 B. 8 C. 15 D. 16【答案】C【解析】试题分析：设等比数列 的公比为 ， 成等差数列，则 即an q 4a1,2a2,a3 4a1+a3=4a22，解得 ， ，则 ；4a1+a1q2=4a1q q=2 a1=1 S4=12412=15考点：等比数列；等差中项；4. 的内角 ， ， 的对边
3、分别为， ， ，已知 ， ， ，则 的面积为ABC A B C b b=2 B=6 C=4 ABC（ ）A. B. C. D. 2+23 3+1 232 31【答案】B【解析】试题分析：根据正弦定理， ，解得 ， ，并且，所以考点：1正弦定理；2面积公式【此处有视频，请去附件查看】5.设 ，则下列各不等式一定成立的是 ( )aabb2C. D. a2b2ab【答案】B【解析】【分析】令 ，计算 的值，由此得出正确选项.a=2,b=1 a2,ab,b2【详解】令 ，则 故 ，所以选 B.a=2,b=1 a2=4,b2=1,ab=2 a2abb2【点睛】本小题主要考查不等式的基本性质，考查利用特殊
4、值解法比较大小，属于基础题.6.已知 为等差数列，且 ， ，则公差 （ ）an a72a4=1 a3=0 d=A. -2 B. C. D. 212 12【答案】B【解析】3【分析】利用等差数列的通项公式，结合已知条件列出关于 a1，d 的方程组，求解即可【详解】设等差数列a n的首项为 a1，公差为 d，由等差数列的通项公式以及已知条件得，即 ，a1+6d-2(a1+3d)=-1a1+2d=0 a1=1a1+2d=0 解得 d= ，12故选：B【点睛】本题考查了等差数列的通项公式，熟记公式是解题的关键，同时注意方程思想的应用7.设 是椭圆的两个焦点，点 P 在椭圆上，且 , ,则 面积F1,F
5、2 |F1F2|=8|PF1|+|PF2|=10 PF1F2的最大值为 ( )A. 6 B. 12 C. 15 D. 20【答案】B【解析】【分析】根据 , ，以及 ，计算出 的值.由于 底边 长|F1F2|=8|PF1|+|PF2|=10 a2=b2+c2 a,b,c PF1F2 |F1F2|度一定，故高最高的时候取得最大值，高最高为 ，由此求得三角形面积的最大值.b【详解】根据 , 可知 ，故 ，所以 .由|F1F2|=8|PF1|+|PF2|=10 2c=8,2a=10 b2=a2c2=9 b=3于 底边 长度一定，故高最高的时候取得最大值，高最高为 ，所以三角形面PF1F2 |F1F2
6、| b=3积的最大值为 .故选 B.12|F1F2|b=12【点睛】本小题主要考查椭圆的几何性质，考查椭圆的定义，考查三角形面积的最大值的求法.属于基础题.在椭圆的有关概念中，椭圆的定义理解为椭圆上的点到两个焦点的距离之和为定值，也即是 ，焦距为 ，并且椭圆里面 ，这个条件经常用在求椭圆标2a 2c b2=a2c2准方程的题目上.8.已知数列 为等差数列, 为等比数列，且满足： ， ，an bn a2+a2018= b1b2019=2, 为 的导函数，则 （ ）f(x)=cosxf(x) f(x) f( a1+a20191+b2b2018)=A. B. C. D. 32 12 32 124【答
7、案】A【解析】【分析】根据等差数列的性质求得 ，根据等比数列的性质求得 ，求得函数的导函数a1+a2019 b2b2018后，计算出相应的导数值.【详解】根据等差数列的性质由 ，根据等比数列的性质有a1+a2019=a2+a2018=. . .故本题选 A.b2b2018=b1b2019=2f(x)=sinxf( a1+a20191+b2b2018)=f(3)=sin3=32【点睛】本小题主要考查等差数列的性质，考查等比数列的性质，考查基本初等函数的导函数以及导数的计算，属于基础题. 等差数列的性质是：若 ，则m+n=p+q，若 ，则 .如果数列是等比数列，则数列的性质为：am+an=ap+a
8、q m+n=2q am+an=2aq若 ，则 ，若 ，则m+n=p+q aman=apaq m+n=2q aman=aq29.已知双曲线 的离心率为 ，则点 到 的渐近线的距离为C： x2a2y2b2=1(a0 ， b0) 2 (4,0) CA. B. C. D. 2 2322 22【答案】D【解析】分析：由离心率计算出 ，得到渐近线方程，再由点到直线距离公式计算即可。ba详解： e=ca= 1+(ba)2= 2ba=1所以双曲线的渐近线方程为 xy=0所以点（4，0）到渐近线的距离 d=41+1=22故选 D点睛：本题考查双曲线的离心率，渐近线和点到直线距离公式，属于中档题。10.若 x，
9、y 满足 则 x + 2y 的最大值为x3，x+y2，yx，A. 1 B. 3C. 5 D. 95【答案】D【解析】试题分析：如图，画出可行域，表示斜率为 的一组平行线，当 过点 时，目标函数取得最大值z=x+2y 12 z=x+2y C(3,3)，故选 D.zmax=3+23=9【名师点睛】本题主要考查简单的线性规划解决此类问题的关键是正确画出不等式组表示的可行域，将目标函数赋予几何意义.求目标函数的最值的一般步骤为：一画、二移、三求常见的目标函数类型有：（1）截距型：形如 .求这类目标函数的最值时常将z=ax+by函数 转化为直线的斜截式： ，通过求直线的截距 的最值间接求出的最z=ax+
10、by y=abx+zb zb值；（2）距离型：形如 ；（3）斜率型：形如 ，而本题属于截距形z=(xa)2+(yb)2 z=ybxa式.11.以下判断正确的是 （ ）A. 函数 为 上的可导函数，则 是 为函数 极值点的充要条件y=f(x) R f(x0)=0 x0 f(x)B. 若命题 为假命题，则命题 与命题 均为假命题pq p qC. 若 ，则 的逆命题为真命题ab1ab sinAsinB【答案】D6【解析】【分析】根据极值点的定义，判断 A 选项是否正确.根据含有简单逻辑联结词命题的真假，判断 B 选项是否正确.写出原命题的逆命题并判断真假，由此得出 C 选项是否正确.根据三角形大角对
11、大边以及正弦定理，判断 D 选项是否正确.【详解】对于 A 选项，由于导数为零的点不一定是极值点，故 A 选项错误.对于 B 选项，由于 为假命题，则 至少有一个为假命题，故 B 选项错误.对于 C 选项，原命题的逆命pq p,q题为“若 ，则 ”，显然 ，但是 ，故逆命题为假命题，所以 C 选项错误.1ab 11b2RsinA2RsinBsinAsinB【点睛】本小题主要考查极值点的概念，考查含有简单逻辑联结词命题真假性判断，考查逆命题真假性的判断，考查正弦定理以及充要条件等知识，属于中档题.12.已知抛物线 ，圆 ，过点 作直线，自上而下顺次与上述两曲线交y2=4x F:(x1)2+y2=
12、1 F于点 （如图所示） ，则 的值正确的是 ( )A,B,C,D |AB|CD|A. 等于 B. 最小值是 C. 等于 D. 最大值是4 1 1 4【答案】C【解析】【分析】当直线斜率不存在时，直线方程为 ，代入抛物线和圆的方程，求得 A,B,C,D 四个点的x=1坐标，由此求得 的值.当直线斜率存在时，设出直线的方程，联立直线的方程和|AB|CD|抛物线的方程，利用抛物线的定义和圆的半径求得 的表达式，由此求得|AB|CD|的取值范围，进而得出正确选项.|AB|CD|【详解】当直线斜率不存在时，直线方程为 ，代入抛物线方程和圆的方程，求得x=1的纵坐标分别为 ，故 .当直线的斜率不存在时，
13、设直A,B,C,D 2,1,1,2 |AB|CD|=11=17线的方程为 ，代入抛物线方程并化简得 ， .根据y=k(x1) k2x22(k2+4)x+k2=0 xAxB=1抛物线的定义以及圆的半径可知 .故选|AB|CD|=|xA+p2r|xB+p2r| |x1|x2|=|x1x2|=1C.【点睛】本小题主要考查直线和抛物线的位置关系，考查抛物线的几何性质以及圆的性质，考查化归与转化的数学思想方法.属于中档题.由于题目所给直线没有说明直线斜率是否存在，所以首先要对直线斜率分成斜率存在和斜率不存在两种情况来讨论.抛物线的定义在解有关过抛物线焦点的弦问题时，要重点考虑.二填空题（45=20 分）
14、13.命题“ , ”的否定是_.x01x02+x020190【答案】 x1,x2+x20190【解析】【分析】根据特称命题的否定是全称命题，写出原命题的否定.【详解】原命题是特称命题，故其否定是全称命题，为“ ”x-1,x2+x-20190【点睛】本小题主要考查全称命题与特称命题，考查特称命题的否定是全称命题.属于基础题.14.若双曲线 的离心率为 ，则实数 _x2y2m=1 3 m=【答案】2【解析】， .渐近线方程是 .a2=1,b2=m,e2=c2a2=a2+b2a2 =1+m=3 m=2 y= mx= 2x15.若直线 过点（1,2）,则 2a+b 的最小值为_.xa+yb=1(a 0
15、，b 0)【答案】 8【解析】，当且仅当 时取等号.1a+2b=12a+b=(2a+b)(1a+2b)=4+ba+4ab4+2ba4ab=8 b=2a点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、 “定”(不等式的另一边必须为定值)、 “等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.816.已知直线 与曲线 相切于点 ，则 的值为_.y=kx+b y=ax2+2019lnx P(1,2020) b【答案】2019【解析】【分析】将切点代入曲线方程求得，将切点代入直线方程，将切点横坐标代入曲线对应函数的导函数，求得切
16、线的斜率，由此列方程组，解方程组求得 的值.k,b【详解】将点 坐标代入曲线方程得 ，曲线方程为 ，P 2020=a+2019,a=1 y=x2+2019lnx对应函数的导数为 .依题意得 ，解得 ， .f(x)=2x1x 2020=k+b211=k k=1 b=2019【点睛】本小题主要考查函数导数与切线方程，考查待定系数法求曲线的解析式，属于中档题.三解答题（70 分）17.已知 是公差不为零的等差数列, 成等比数列.an a1=1,a1,a3,a9（1）求数列 的通项; an（2）求数列 的前 n 项和.bn=1anan+1【答案】(1) (2) an=nnn+1【解析】分析：（1）由题
17、设知公差 ，由 成等比数列，可得 ，解出d0 a1=1，a1，a3，a91+2d1 =1+8d1+2d即可得出(2) ，利用 “裂项求和”即可求得 1anan+1= 1n(n+1)=1n- 1n+1 Sn详解： (1)由题设知公差 ，d0由 成等比数列得 , a1=1, a1, a3, a9 1+2d1 =1+8d1+2d解得 d1， d0(舍去)， 故 的通项 . an an=1+(n-1)1=n(2) , 1anan+1= 1n(n+1)=1n- 1n+19.Sn=(11-12)+(12-13)+(1n- 1n+1)=1- 1n+1= nn+1点睛：本题考查了“裂项求和”方法、等差数列与等
18、比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题18. 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 ABC 2cosC(acosB+bcosA)=c.（1）求 C；（2）若 ，求 c.a=1,b=2【答案】 （1） （2）3 3【解析】【分析】（1）利用正弦定理化简已知条件，求得 的值，由此求得 的大小.（2）利用余弦定理cosC C求得的值.【详解】由正弦定理得 ，即 ，即2cosC(sinAcosB+sinBcosA)=sinC 2cosCsin(A+B)=sinC，由于在三角形中 ，故 .（2）由余弦定理2cosCsinC=sinC sinC0 2cosC=1,cosC=1
19、2,C=3得 .c= a2+b22abcosC= 1+42= 3【点睛】本小题主要考查利用正弦定理解三角形，考查两角和的正弦公式以及余弦定理解三角形，属于基础题.19.设 A，B 为曲线 C：y= 上两点，A 与 B 的横坐标之和为 4.x24（1）求直线 AB 的斜率；（2）设 M 为曲线 C 上一点，C 在 M 处的切线与直线 AB 平行，求 M 点的坐标及切线方程.【答案】 （1）1（2） M(2,1),y=x1【解析】【分析】（1）设出直线 的方程，代入抛物线方程，化简后写出韦达定理，利用 横坐标和为AB A,B列方程，求得直线 的斜率.（2）令导数等于直线 的斜率，解方程求得切点的横
20、坐标，4 AB AB进而求得切点坐标以及切线方程.【详解】 （1）由于直线和开口向上的抛物线相交于两点，故直线 的斜率存在，设直线方AB程为 ，代入抛物线方程并整理得 ，所以 ，即直y=kx+b x24kx4b=0 xA+xB=4k=4,k=110线 斜率为 .（1）依题意 ，代入抛物线方程求得 ，故切点坐标为AB 1 f(x)=x2=1,x=2 y=1，且斜率为 ，由点斜式得 ，即 .(2,1) 1 y1=x2 y=x1【点睛】本小题主要考查直线和抛物线的位置关系，考查利用导数求曲线的切点坐标以及切线方程，属于中档题.20.设函数 .f(x)=x3+ax212x（1）当 时，求 的极值 ;a
21、=0 f(x)（2）是否存在，使 在 上恒为增函数，如存在，求出的范围，如不存在，说明理由 .f(x) R【答案】 （1）当 时取极小值-16，当 时取极大值 16， （2）不存在x=2 x=2【解析】【分析】（1）当 时，利用导数求得函数的单调区间，由此求得函数的极值.（2）求得函数的导a=0数，利用判别式判断函数导数必定有减区间，由此判断出不存在相应的值.【详解】 （1）当 时， ， ，故函数在区间a=0 f(x)=x312x f(x)=3x212=3(x+2)(x2)上递增，在 上递减，所以当 时取得极小值为 ，当(,2),(2,+) (2,2) x=2 f(2)=16时取得极大值 .（
22、2）由于 ，其判别式 ，x=2 f(2)=16 f(x)=3x2+2ax12 =4a2+1440故导函数图像与 轴有两个交点，原函数必有减区间，故不存在，使得 为 上递增函数.x f(x) R【点睛】本小题主要考查利用函数导数求函数的单调区间以及极值，考查存在性问题的判断，属于中档题.21.已知椭圆 的离心率为 ，焦距为 斜率为 的直线与椭圆 有两M:x2a2+y2b2=1(ab0) 63 22 k M个不同的交点 A,B（1）求椭圆 的方程；M（2）若过椭圆左焦点且 ，求 .k=1 |AB|【答案】 （1） ， （2）x23+y2=1 3【解析】【分析】（1）利用离心率和焦距列方程组，结合
23、，解方程组求得 的值，即求得椭圆方a2=b2+c2 a,b程.（2）求得直线的方程，联立直线的方程和椭圆的方程，化简后写出韦达定理，利用弦11长公式求得弦长 .|AB|【详解】 （1）依题意得 ，解得 ，所以椭圆方程为 .a2=b2+c2ca=632c=22 a2=3,b2=1,c2=2 x23+y2=1（2）由（1）知，椭圆左焦点坐标为 ，故直线的方程为 ，代入椭圆方程并(2,0) y=x+ 2化简得 ， ，故 .4x2+62x+3=0 x1+x2=322,x1x2=34 |AB|= 1+12 (322)2434= 3【点睛】本小题主要考查椭圆标准方程的求法，考查直线和椭圆相交所得弦长公式的求法，属于中档题.22.已知函数 f(x)=lnxx（1）求 在 处的切线方程；（2）求 的单调区间.【答案】 （1） （2）在 上递增，在 上递减【解析】【分析】（1）对函数求导后求得函数在点 处切线的斜率，根据点斜式写出切线方程.（2）求导后，根据导函数的正负，求得函数的递减区间.【详解】函数的定义域为 ， .（1） ，由点斜式得切线方程为.（2）当 时， ，当 时 .故函数在 上递增，在 上递减.【点睛】本小题主要考查除法的导数，考查切线方程的求法，考查利用导数求函数的单调区间，属于基础题.
