1、1集宁一中西校区高二年级 20182019 学年第一学期期末考试数学文科试题一、选择题：（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。 ）1.已知集合 ，则A. B. C. D. 【答案】D【解析】试题分析：由 得 ，所以 ，因为 ，所以，故选 D.【考点】 一元二次不等式的解法，集合的运算【名师点睛】对于集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或韦恩图处理.【此处有视频，请去附件查看】2.已知抛物线的焦点坐标是（0，-3） ，则抛物线的标准方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据焦点的坐标，确定抛物线的开口方向，同时求得 的值，进而求得抛
2、物线的方程.2p【详解】由于焦点坐标为 ，故焦点在 轴负半轴上，且 ，故抛物线方程为(0,3) yp2=3,2p=12.x2=12y【点睛】本小题主要考查已知抛物线的焦点坐标，求抛物线的方程，属于基础题.3.若 ，则下列不等式中错误的是（ ）a1a 1a1b |a|b| a2b2【答案】A【解析】2由不等式的性质可得选项 B,C,D 正确对于选项 A，由于 ，所以 ，a2 x23x+20【答案】C【解析】【分析】根据特称命题的否定是全称命题的知识判断 A 选项是否正确，根据逆否命题的知识判断 B选项是否正确，根据含有简单逻辑联结词命题真假的知识判断 C 选项是否正确，根据充分必要条件的知识判断
3、 D 选项是否正确.【详解】对于 A 选项， 为特称命题，其否定为全称命题，叙述正确.对于 B 选项，逆否命p题是交换条件和结论，并同时进行否定，叙述正确.对于 C 选项， 为假命题，则 中pq p,q至少有一个假命题，故 C 选项叙述错误.对于 D 选项.由 解得 或 ，故x23x+20 x2是 的充分不必要条件.综上所述，本题选 C.x2 x23x+20【点睛】本小题主要考查特称命题的否定、考查逆否命题，考查含有逻辑连接词命题真假性判断，考查充分、必要条件的判断以及考查一元二次不等式的解法等知识.全称命题和特称命题互为否定.逆否命题是交换条件和结论，并同时进行否定. 为假命题，则 中pq
4、p,q至少有一个假命题. 为真，则 都是真命题.pq p,q49.若变量 满足约束条件 ，则 的最大值为x，y x+y30xy+10y1 z=2xyA. B. C. D. 1 0 3 4【答案】C【解析】试题分析：画出可行域为一个三角形，再画出目标函数，通过平移可知，在点 处取得(2,1)最大值，最大值为 3.考点：本小题主要考查利用线性规划知识求目标函数的最值，考查学生画图、用图的能力.点评：对于线性规划知识，关键是正确画出可行域和目标函数.10.已知正数， 是方程 的两个根，则 的最小值是（ ）b x2+mx+8=0 a+bA. B. C. D. 8 42 22 82【答案】B【解析】【分
5、析】根据韦达定理可得 ，再根据基本不等式求得 的最小值.ab=8 a+b【详解】根据题意可得 ，且 为正数，由基本不等式得 ，当且仅当ab=8 a,b a+b2ab=42时等号成立，故选 B.a=b=22【点睛】本小题主要考查韦达定理，考查利用基本不等式求和式的最小值.属于基础题.11.在抛物线 上，横坐标为 4 的点到焦点的距离为 5，则 的值为（ ）y2=2px pA. B. 1 C. 2 D. 412【答案】C【解析】试题分析：抛物线的准线方程为 x=- ，p2由抛物线的定义知 4+ =5，解得 P=2故选 Cp2考点：本题主要考查抛物线的标准方程及几何性质。点评：简单题，运用抛物线焦半
6、径公式。12.过抛物线 的焦点 作斜率为 的直线，交抛物线于 两点,若 ，y2=4x F 1 A,B AF=FB(1)则等于（ ）5A. B. C. D. 2+1 3+22 5+1 3+1【答案】B【解析】【分析】求出 的坐标，根据点斜式写出直线的方程，联立直线方程和抛物线方程，解得 两点的F A,B坐标，根据 ，求得的值.AF=FB【详解】依题意可知，抛物线的焦点为 ，由点斜式得直线的方程为 ，代入抛F(1,0) y=x1物线方程得 ，解得 ，故 ,(x1)2=4x A(3+22,2+22),B(322,222) AF=(222,222,)，由于 ，即 ，解得 .故选 B.FB=(222,2
7、22) AF=FB 222=(222) =3+22【点睛】本小题主要考查抛物线的几何性质，考查抛物线的焦点坐标，考查直线的点斜式方程，考查了求解直线和抛物线交点坐标的方法，考查向量共线的坐标表示，属于中档题.对于抛物线 来说，其焦点坐标为 .直线的点斜式方程为 .y2=2px (p2,0) yy0=k(xx0)二、填空题：（本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分）13.某观察站 C 与两灯塔 A、B 的距离分别为 300 米和 500 米，测得灯塔 A 在观察站 C 北偏东 30，灯塔 B 在观察站 C 南偏东 30处，则两灯塔 A、B 间的距离为_【答案】700 米【解析】【分析
8、】先求得 的值，然后利用余弦定理求得 两点间的距离.ACB A,B【详解】依题意可知 ，由于 ，根据余弦ACB=1803030=120 AC=300,BC=500定理得 ，解得 米.AB2=AC2+BC22ACBCcos120 AB=700【点睛】本小题主要考查利用余弦定理解三角形，属于基础题，要注意的是，填空题要写单位.14.过抛物线 y2=2x 的焦点作直线交抛物线于 P（x 1，y 1） ，Q（x 2，y 2）两点，若 x1+x2=3，则|PQ|=_【答案】4【解析】【分析】6根据过抛物线焦点的弦长公式，求得 的值.|PQ|【详解】依题意，抛物线 ，由于过抛物线焦点的弦长公式为 ，故p=
9、1 x1+x2+p.|PQ|=x1+x2+p=3+1=4【点睛】本小题主要考查过抛物线焦点的弦长公式，考查抛物线的几何性质，属于基础题.15.点 P 是双曲线 上一点， F1， F2分别是其左、右焦点，若| PF1|10，则x29y216=1|PF2|=_【答案】4 或 16【解析】【分析】根据双曲线的定义列方程，解方程求得 的值.|PF2|【详解】根据双曲线的定义可知 ，即 ， ，解|PF1|PF2|=2a=6 |10|PF2|=6 10|PF2|=6得 或 .|PF2|=4 16【点睛】本小题主要考查双曲线的定义，考查含有绝对值的方程的解法，属于基础题.16.椭圆 的左焦点为 ， ， 是两
10、个顶点，如果 到直线 的x2a2+y2b2=1(ab0) F A(a,0) B(0,b) F AB距离等于 ，则椭圆的离心率为_.b7【答案】12【解析】试题分析：设 到 的垂足为 ，因为 为公共角，所以F1 AB D F1DA=BOA=900,A，所以 ，所以 ，因为 ，所以 ，化简得ADF1AOBAF1AB=DF1OB aca2+b2=b7b=77 b2=a2c2 (ac)22a2c2=17到 ，解得 或 （舍去） ，所以 .5a214ac+8c2=0 a=2c a=45c e=ca=12考点：椭圆的几何性质.7【方法点晴】本题主要考查了椭圆的几何性质，其中解答中涉及到椭圆的标准方程、三角
11、形相似与相似比的应用，以及椭圆中 等知识点的综合考查，本题的解答中利用左b2=a2c2焦点 到 的距离建立等式是解得的关键，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，F1 AB以及推理与运算能力，属于中档试题.三、解答题（本大题共 6 小题，17-21 每题 12 分，22 题 10 分，共 70 分）17.记 为等差数列 的前 项和，已知 ， Sn an n a1=7 S3=15（1）求 的通项公式；an（2）求 ，并求 的最小值Sn Sn【答案】 （1） an=2n9， （2） Sn=n28n，最小值为16【解析】分析：（1）根据等差数列前 n 项和公式，求出公差，再代入等差数列通项公式得结
12、果，（2）根据等差数列前 n 项和公式得 的二次函数关系式，根据二次函数对称轴以及自变量Sn为正整数求函数最值.详解：（1）设 an的公差为 d，由题意得 3a1+3d=15由 a1=7 得 d=2所以 an的通项公式为 an=2n9（2）由（1）得 Sn=n28n=（ n4） 216所以当 n=4 时， Sn取得最小值，最小值为16点睛：数列是特殊的函数，研究数列最值问题，可利用函数性质，但要注意其定义域为正整数集这一限制条件.18. ABC 中 D 是 BC 上的点, AD 平分 BAC,BD=2DC.（1）求 ；sinBsinC（2）若 ,求 .BAC=60 B【答案】 （1） ；（2）
13、12 30【解析】试题分析：（1）由角平分线定理可将 BD=2DC 转化为 AB=2AC，在三角形 ABC 中利用正弦定理可求得 的比值；（2）由内角和定理可得 ，将 用 表示，代入（1）的sinBsinC B+C=120 C B8结论中可得到关于 的三角函数值，求得 角B B试题解析：（1）由正弦定理得 因为 AD 平分 BAC，BD=2DC，所ADsinB= BDsinBAD, ADsinC= DCsinCAD, 以 sinBsinC=DCBD=12.（2）因为 C=180(BAC+B),BAC=60,所以 由（1）知 ，sinC=sin(BAC+B)=32cosB+12sinB. 2si
14、nB=sinC所以 tanB=33,B=30.考点：1正弦定理解三角形；2同角间的三角函数公式19.已知椭圆 的离心率为 ，点 在 上C:x2a2+y2b2=1(ab0) 22 (2, 2) C（1）求 的方程C（2）直线不过原点 且不平行于坐标轴，与 有两个交点 ，线段 的中点为 .证明：O C A,B AB M直线 的斜率与直线的斜率的乘积为定值.OM【答案】 （1） （2）x28+y24=1 kOMk=12【解析】试题分析：（）由 求得 ,由此可得 C 的方程.（II）把直线a2b2a =22,4a2+2b2=1, a2=8,b2=4方程与椭圆方程联立得 ,所以(2k2+1)x2+4kb
15、x+2b28=0.于是 .xM=x1+x22 =2kb2k2+1,yM=kxM+b= b2k2+1, kOM=yMxM=12k, kOMk=12试题解析：解：（）由题意有 解得 ,所以椭圆 C 的方程为 .a2b2a =22,4a2+2b2=1, a2=8,b2=4 x282+y242=1（）设直线 , ,把 代入l:y=kx+b(k0,b0) A(x1,y1),B(x2,y2),M(xM,yM) y=kx+b得x282+y242=1 (2k2+1)x2+4kbx+2b28=0.故 于是直线 OM 的斜率 即 ,所xM=x1+x22 =2kb2k2+1,yM=kxM+b= b2k2+1, kO
16、M=yMxM=12k, kOMk=12以直线 OM 的斜率与直线 l 的斜率乘积为定值.考点：本题主要考查椭圆方程、直线与椭圆及计算能力、逻辑推理能力.【此处有视频，请去附件查看】920.已知直线 ，抛物线 ， l:y=x+m C:y2=4x（1）当 l 与 C 有两个公共点时，求 的取值范围；（2） l 与 C 相交于 A、B 两点，线段 AB 的中点的横坐标为 5，求 m 的值。【答案】 （1） （2）m0.（2）设 两点的横坐标分别为 ，由（1）知 ，依题意 ，m0 q a2+8a200为真命题， 为假命题，求实数的取值范围pq pq【答案】 .10 a 0或 2a 4【解析】试题分析：根据已知求出两个简单命题 中参数的取值范围，命题 ，命题p,q p:0a 4；再根据复合命题的真假，判断简单命题的真假，分两种情况进行讨论， （1） 当 真 假时；（2）当 假 真时，从而得到实数的取值范围 .试题解析：解：命题 ：ax 2+ax+10 恒成立当 a=0 时，不等式恒成立，满足题意）当 a0 时， ，解得 0a40a4命题 ：a 2+8a200 解得10a2 为真命题， 为假命题 有且只有一个为真，当 真 假时 得当 假 真时 得所以10a0 或 2a4考点：复合命题的真假判断.11
