1、1天津市部分区 2018-2019 学年高二上学期期末考试数学试卷一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.双曲线 y21 的焦点坐标为（ ）A. （3，0） ， （3，0） B. （0，3） ， （0，3）C. （ ，0） ， （ ，0） D. （0， ） ， （0， ）【答案】C【解析】【分析】利用双曲线的标准方程直接计算。【详解】由双曲线 y21 可得： ，则所以双曲线 y21 的焦点坐标为：（ ，0） ， （ ，0）故选：C【点睛】本题主要考查了双曲线的简单性质，属于基础题。2.命题“ x0 （0，+） ，使得 ”的否定是（ ）A. x0 （0， +） ，使得 e
2、x0 x0B. x0 （0， +） ，使得 ex0 x0C. x（0，+） ，均有 exxD. x（0，+） ，均有 exx【答案】D【解析】【分析】由特称命题的否定直接写出结果即可判断。【详解】命题“x 0（0，+） ，使得 ”的否定是：ex0 x02“ x（0，+） ，使得 ” ex x故选：D【点睛】本题主要考查了特称命题的否定，属于基础题。3.若复数 （为虚数单位） ，则的共轭复数 （ ）z=1ii z=A. B. C. D. 1+i 1+i 1i 1i【答案】B【解析】因为 ，所以 ，应选答案 B。z=1ii =i+1i2=1i z=1+i4.设 R，则“ 1”是“ 1”的（ ）x
3、x x2A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【详解】试题分析：由 可得 成立，反之不成立，所以 “ ”是“ ”的充分x1 x21 x1 x21不必要条件考点：充分条件与必要条件5.设公比为2 的等比数列 an的前 n 项和为 Sn，若 S5 ，则 a4等于（ ）112A. 8 B. 4 C. 4 D. 8【答案】C【解析】【分析】由 S5 求出 ，再由等比数列通项公式求出 即可。112 a1 a4【详解】由 S5 得： ，又112 a1(1q5)1q =112 q=2解得： ，所以a1=12 a4=a1q3=4故选：C3【点睛】本题
4、主要考查了等比数列的前 n 项和公式及等比数列通项公式，考查计算能力，属于基础题。6.已知函数 f（ x） lnx ，则 f（ x） （ ）12x2A. 有极小值，无极大值B. 无极小值有极大值C. 既有极小值，又有极大值D. 既无极小值，又无极大值【答案】B【解析】【分析】求出 ，对 的正负分析，即可判断函数的极值情况。f(x) f(x)【详解】由题可得： ，f(x)=1xx=1x2x(x0)当 时，x1 f(x)0所以 f（ x）在 处取得极大值，无极小值。x=1故选：B【点睛】本题主要考查了利用导数判断极值的方法，属于基础题。7.在数列 an中， a13， an+12 an1（nN*）
5、，则数列 an的通项公式为（ ）A. an2 n+1 B. an4 n1 C. an2 n+1 D. an2 n1 +2【答案】C【解析】【分析】构造新的等比数列 ，求出 ，从而求出an1 an1 an【详解】由 an+12 an1 得： ，an+11=2(an1)所以数列 是以 为首项，公比为 2 的等比数列。an1 a11=2所以 ，所以an1=22n1=2n an=2n+1故选：C【点睛】本题主要考查了转化思想，等比数列的通项公式，考查了构造法，属于基础题。48.在空间四边形 ABCD 中，向量 （0，2，1） ， （1，2，0） ， （02，0） ，AB AC AD则直线 AD 与平面
6、 ABC 所成角的正弦值为（ ）A. B. C. D. 13 223 13 223【答案】A【解析】【分析】求出平面 ABC 的一个法向量 ，再求出 与 夹角的余弦即可。n AD n【详解】设 是平面 ABC 的一个法向量，则 且 ，即：n=(x,y,z) nAB=0 nAC=0，不妨令 ，解得：0x+2y+(1)z=01x+2y+0z=0 y=1 x=2,z=2所以 n=(2,1,2)与 夹角的余弦为：AD nADn|AD|n|=02+(2)1+0202+(2)2+0222+12+22=13所以直线 AD 与平面 ABC 所成角的正弦值为 。13故选：A【点睛】本题主要考查了平面向量法向量的
7、求法及利用向量求直线与平面所成角，考查了转化思想及计算能力，属于基础题。9.已知双曲线 1（ a0， b0）的两条渐近线与抛物线 y28 x 的准线分别交于 M， Nx2a2-y2b2两点， A 为双曲线的右顶点，若双曲线的离心率为 2，且 AMN 为正三角形，则双曲线的方程为（ ）A. B. x28-y224=1 x216-y248=1C. D. x224-y272=1 x264-y2192=1【答案】B【解析】【分析】由双曲线的离心率为 2 求得其渐近线方程，再由抛物线的准线与渐近线方程求得交点 M,N坐标，利用 AMN 为正三角形列方程即可求得，从而求得双曲线的方程。5【详解】由双曲线的
8、离心率为 2 可得： ，所以e=ca=2 ba= c2-a2a2= 3所以双曲线 1（ a0， b0）的渐近线方程为： ，x2a2-y2b2 y=bax= 3x又抛物线 y28 x 的准线方程为： ，x=-2由 得： 或 ，所以 ,y= 3xx=-2 y=23x=-2 y=-23x=-2 M(-2,23) N(-2,-23)A 为双曲线的右顶点，且 AMN 为正三角形，则： ，解得：2+a= 323 a=4所以 ，b=43所以双曲线的方程为 。x216-y248=1故选：B【点睛】本题主要考查了双曲线的简单性质及抛物线的简单性质，考查了转化思想及计算能力，属于中档题。10.已知 f（ x）是定
9、义在 R 上的函数， f（ x）是 f（ x）的导函数，且满足 f（ x）+f（ x）0，设 g（ x） exf（ x） ，若不等式 g（1+ t2） g（ mt）对于任意的实数 t 恒成立，则实数 m 的取值范围是（ ）A. （，0）（4，+） B. （0，1）C. （，2）（2，+） D. （2，2）【答案】D【解析】【分析】由 f（ x）+ f（ x）0 确定函数 g（ x） exf（ x）为单调递减函数，转化不等式g（1+ t2） g（ mt）为： 对于任意的实数 t 恒成立，变形成： 对于任1+t2mt t2mt+10意的实数 t 恒成立，利用 即可求得实数 m 的取值范围。mt即：
10、 对于任意的实数 t 恒成立，t2mt+106所以 ，解得：=m240 解得 ， -20 q=2 bn=2n-1（）由（1）可知， ， cn=(3n-2)2n-1 Tn=c1+c2+cn，=1+42+722+(3n-5)2n-2+(3n-2)2n-12Tn=12+422+(3n-5)2n-1+(3n-2)2n由得，10-Tn=1+3(2+22+2n-1)-(3n-2)2n=1+32-2n-121-2 -(3n-2)2n .Tn=5+(3n-5)2n【点睛】 （1）本题主要考查了赋值法及 法求通项公式，即 ,还考查了Snan= S1(n=1)Sn-Sn-1(n2) 等比数列的通项公式。（2）利用
11、错位相减法求和，注意相减时项的符号，求和时项数的确定，最后不要忘记除1-q，在写出“ ”与“ ”的表达式时应特别注意将两式 “错项对齐”以便下一步准确Sn qSn写出“ ”的表达式。Sn-qSn18.如图，已知多面体 ABC A1B1C1中， AA1， BB1， CC1均垂直于平面ABC， AB AC， AA14， CC11， AB AC BB12（）求证： A1C平面 ABC1；（）求二面角 B A1B1 C1的余弦值【答案】 （）见证明；（）31717【解析】【分析】（）建立空间直角坐标系，求出 ， ， 的坐标，利用数量积来确定 ,BC1 A1C AB BC1A1C，从而得证。ABA1C（
12、）求得平面 的一个法向量 坐标，再利用数量积求得平面 的一个法向量 坐ABB1 AC A1B1C1 n标，利用向量夹角公式即可求得二面角 B A1B1 C1的余弦值11【详解】以 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，A则 ， ， ， ， ， . A(0,0,0) B(2,0,0) C(0,2,0) A1(0,0,4) B1(2,0,2) C1(0,2,1)（）证明： ， ，BC1=(-2,2,1) A1C=(0,2,-4) AB=(2,0,0) ，BC1A1C=0+4-4=0，ABA1C=0+0+0=0所以 , .BC1A1CABA1C ,ABBC1=B 平面 . A1C ABC1（）由题意
13、可知， 平面 ， 平面 ，AA1 ABC AC ABC AA1AC又 ， ,ABAC ABAA1=A 平面 .AC ABB1平面 的一个法向量为 .ABB1 AC=(0,2,0) ， ,A1B1=(2,0,-2) A1C1=(0,2,-3)设平面 的一个法向量为 ，A1B1C1 n =(x,y,z)则 ，取 ,A1B1n=2x-2z=0A1C1n=2y-3z=0 x=2所以平面 的一个法向量为 A1B1C1 n =(2,3,2)12 .cosAC,n=ACn|AC|n|=31717显然二面角 为锐二面角,B-A1B1-C1二面角 的余弦值为B-A1B1-C131717【点睛】 （1）本题主要考
14、查了线面垂直的判定及向量数量积的应用，向量的坐标运算及向量数量积的坐标运算。（2）本小题主要考查了转化思想及向量夹角公式，还考查了平面法向量的求法，考查计算能力，属于基础题。19.已知椭圆 C： +y21x22（）求 C 的离心率；（）若直线 l： y x+m（ m 为常数）与 C 交于不同的两点 A 和 B，且 ，其中 OOAOB=23为坐标原点，求线段 AB 的长【答案】 （） （）e=22 43【解析】【分析】（）由题可得： ，求出即可求得离心率。a,b（）联立直线与椭圆方程，整理，利用 可求得 ，再利用弦长公式求得线段 ABOAOB=23 m的长【详解】 （）由题意可知： ， ,a2=
15、2 b2=1 ,c2=a2-b2=1 . e=ca=22（）设 ，A(x1,y1) B(x2,y2)由 ,y=x+mx22+y2=1 消去 得y 3x2+4mx+2m2-2=0.=16m2-12(2m2-2)=24-8m2013 . - 3m 3则 ， ,x1+x2=-4m3 x1x2=2m2-23. y1y2=(x1+m)(x2+m)=x1x2+m(x1+x2)+m2=m2-23又 .OAOB=23因为： ,所以 .y1y2+x1x2=m2-43 m2-43=23 满足式,m= 2 |AB|= 2(x1+x2)2-4x1x2= 216m29-8m2-83.=43线段 的长为 .AB43【点睛
16、】 （1）本小题主要考查了椭圆的简单性质，属于基础题。（2）考查了直线与椭圆相交知识及方程思想，考查了韦达定理及数量积的坐标表示，弦长公式，还考查了计算能力，属于中档题。20.已知函数 f（ x） x3 x2+x， aR23 a+22（）当 a1 时，求 f（ x）在1，1上的最大值和最小值；（）若 f（ x）在区间 ，2上单调递增，求 a 的取值范围；12（）当 m0 时，试判断函数 g（ x） - 其中 f（ x）是 f（ x）的导函数）f(x)+(a+2)x-1xlnx mx2x-1是否存在零点，并说明理由【答案】 （） , （） （ ）见解析f(x)min=196f(x)max=524
17、 a222【解析】【分析】（）求出 ，对 的正负判断，从而确定函数的单调性，即可求得函数的最值。f(x) f(x)（）转化成 在区间 ，2恒成立，再参变分离，转化成函数最值问题，利用基本f(x)012不等式求最值即可。（）将所求问题化简转化成方程 在 内是否有解，利用导数说mlnx-2(x-1)x =0 (0,1)(1,+)14明函数 的单调性，再由 即可判断原函数不存在零点。h(x)=mlnx-2(x-1)x h(1)=0【详解】 （）当 时， ,a=1 f(x)=23x3-32x2+x, f(x)=2x2-3x+1令 得 或 .f(x)=0 x=12 x=1当 x 变化时， ，f(x)的变
18、化情况如下表:f(x)x -1 (-1,12) 12 (12,1) 1f(x) + 0f(x) -196单调递增 极大值524单调递减16 ,f(x)min=f(-1)=-196.f(x)max=f(12)=524（） f(x)=2x2-(a+2)x+1 在 上是单调递增函数 ,f(x) 12,2 在 上恒成立.f(x)=2x2-(a+2)x+10 x12,2即： .a+2(2x+1x)min ，x12,2当且仅当 时， 成立.x=22 2x+1x22 a22-2（）由题意可知， ， g(x)=2xlnx-mx2x-1=x(2lnx-mxx-1) x(0,1)(1,+)要判断 是否存在零点，只
19、需判断方程 在 内是否有解，g(x)2lnx-mxx-1=0 (0,1)(1,+)即要判断方程 在 内是否有解. mlnx-2(x-1)x =0 (0,1)(1,+)设 , h(x)=mlnx-2(x-1)x15,h(x)=mx-2x2=mx-2x2 x(0,1)(1,+)可见，当 时， 在 上恒成立.m0 h(x)0 (0,1)(1,+) 在 上单调递减，在 上单调递减. , 在 和 内均无零点。故函数 g（ x） - 无零点【点睛】 （1）主要考查了利用导数求函数的最值，还考查了转化思想。（2）考查了导数与函数单调性关系及转化思想，还考查了基本不等式的应用。（3）考查了导数计算及转化思想，考查了函数零点判断及利用导数判断函数的单调性知识、计算能力，属于中档题。
