1、1昌吉市第九中学 2018-2019 学年第一学期期末考试试卷高二年级数学试题注意事项1答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2请将答案正确填写在答题卡上1.已知 ， ，则 的元素个数共有( )A. 0 B. 1 C. 2 D. 0 或 1 或 2【答案】A【解析】【分析】利用集合交集的定义即可得到答案.【详解】 ， ，集合 A,B 中无公共元素，故 的元素个数为 0，故选：A.【点睛】本题考查集合交集的定义，是基础题.2. 的值为( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先利用诱导公式化简角，然后利用正弦的两角差公式即可得到答案.【详解】 sin45cos15+cos225s
2、in15=sin45cos15-cos45sin15=sin(45-15).=sin30=12故选：C.【点睛】本题考查两角差的正弦公式和诱导公式的应用，属于基础题.3.三个数 ， ， 的大小关系是( )log215 20.120.2A. B. log2150,0,|0原式 .=sin2-cos2故选：C.5【点睛】本题考查诱导公式和二倍角公式以及三角函数在各个象限中的符号的应用，属于基础题.8.圆 上的点到直线 的最大距离与最小距离的差是( )x2+y24x4y10=0 x+y14=0A. 36 B. 18 C. D. 62 52【答案】C【解析】圆 x2 y24 x4 y100 的圆心为(
3、2,2)，半径为 3 ，圆心到直线 x y140 的距离2为 5 3 ，圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是 2R6 .选 C.|2+214|2 2 2 2点睛：与圆有关的最值问题的常见类型及解题策略(1)与圆有关的长度或距离的最值问题的解法一般根据长度或距离的几何意义，利用圆的几何性质数形结合求解(2)与圆上点 有关代数式的最值的常见类型及解法 形如 型的最值问题，可转(x,y) u=ybxa化为过点 和点 的直线的斜率的最值问题；形如 型的最值问题，可转化(a,b) (x,y) t=ax+by为动直线的截距的最值问题；形如 型的最值问题，可转化为动点到定点(xa)2+(yb)2的距离平
4、方的最值问题(a,b)9.记等差数列的前 项和为 ，若 ，则该数列的公差 （ ）n Sn S2=4,S4=20 d=A. 2 B. 3 C. 6 D. 7【答案】B【解析】,S4S2S2=4d=12d=310.设 是不等式组 表示的平面区域，则 中的点 到直线 的距离Dx+2y102x+y30x4y1 D P(x,y) x+y=10的最大值是( )A. B. C. D. 2 22 32 42【答案】D【解析】【分析】6根据题意做出可行域，欲求区域 D 中点到直线 x+y10 的距离最大值，观察图可知区域 D中的点 A（1,1）到直线 x+y10 的距离即为所求【详解】画出可行域，观察图可知区域
5、 D 中的点 A 到直线 x+y10 的距离最大，解方程组 即得点 A(1,1)，2x+y=3y=1 故 到 的距离为 .A（1,1） x+y=10 d=42故选:D.【点睛】本题主要考查简单的线性规划，以及利用几何意义求最值,属于基础题.11.现要完成下列 3 项抽样调查：从 10 盒酸奶中抽取 3 盒进行食品卫生检查科技报告厅有 32 排，每排有 40 个座位，有一次报告会恰好坐满了听众，报告会结束后，为了听取意见，需要请 32 名听众进行座谈高新中学共有 160 名教职工，其中一般教师 120 名，行政人员 16 名，后勤人员 24 名为了了解教职工对学校在校务公开方面的意见，拟抽取一个
6、容量为 20 的样本较为合理的抽样方法是（ ）A. 简单随机抽样，系统抽样，分层抽样B. 简单随机抽样，分层抽样，系统抽样C. 系统抽样，简单随机抽样，分层抽样D. 分层抽样，系统抽样，简单随机抽样【答案】A【解析】总体和样本容量都很小，用简单随机抽样；容量较大，且有均衡的几部分构成，用系统抽样；有差异较明显的三部分构成，用分层抽样。12.若直线 y=x+b 与曲线 有公共点，则 b 的取值范围是y=34xx2A. 1,1+22B. 122,1+227C. 122,3D. 12,3【答案】C【解析】试题分析：如图所示：曲线 即 （x-2） 2+（ y-3） 2=4（-1y3） ，y=34xx2
7、表示以 A（2，3）为圆心，以 2 为半径的一个半圆，由圆心到直线 y=x+b 的距离等于半径 2，可得 =2，|23+b|2b=1+2 ，b=1-22 2当直线过点（4，3）时，直线与曲线有两个公共点，此时 b=-1结合图象可得 -1b3122故答案为 C考点：本试题主要考查了直线与圆的位置关系，主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，体现了数形结合的数学思想，属于中档题点评：解决该试题的关键是曲线即 （x-2） 2+（y-3） 2=4（y3） ，表示以 A（2，3）为圆心，以 2 为半径的一个半圆，由圆心到直线 y=x+b 的距离等于半径 2，解得 b=1+2 ，b=1-2 当直线
8、过点（4，3）时，直线与曲线有两个公共点，此时 b=-1，结合2 2图象可得 b 的范围13.已知 ， ，则 _(2,) sin=55 tan2=【答案】【解析】8略【此处有视频，请去附件查看】14.数列 满足 ， ，则 _.an a1=1 an=an1+n(n2) a5=【答案】15【解析】【分析】根据递推关系式，利用累加法即可得数列的第 5 项.【详解】由 ，得 ，则 ， ， ，an=an-1+n(n2) an-an-1=n a2-a1=2 a3-a2=3 a4-a3=4，把各式相加，得 ，a5-a4=5 a5-a1=2+3+4+5=14 .a5=14+a1=14+1=15故答案为：15.
9、【点睛】本题考查数列的递推关系式的应用，考查累加法求数列通项或求数列的某一项，属基础题.15.将二进制数 化为八进制数，结果为_101101(2)【答案】55【解析】101101（2） 转化为十进制为 101101（2） = ，而 ，故1+22+23+25=45 45=581+58045（10） 转化为八进制可得 故答案为： 55(8) 55(8)16.一个等腰三角形的顶点 ，一底角顶点 ，另一顶点 的轨迹方程是_A(3,20) B(3,5) C【答案】 (x3)2+(y20)2=225(x3)【解析】【分析】设出点 C 的坐标，利用| AB| AC|，建立方程，根据 A， B， C 三点构成
10、三角形，则三点不共线且 B， C 不重合，即可求得结论【详解】设点 的坐标为 ，C (x,y)则由 得|AB|=|AC|9，(x-3)2+(y-20)2= (3-3)2+(20-5)2化简得 .(x-3)2+(y-20)2=225 A， B， C 三点构成三角形三点不共线且 B， C 不重合因此顶点 的轨迹方程为 .C (x-3)2+(y-20)2=225(x3)故答案为： (x-3)2+(y-20)2=225(x3)【点睛】本题考查轨迹方程，考查学生的计算能力，属于基础题17.计算：（1） ；2lg2+lg31+12lg0.36+13lg8（2） .23612332【答案】(1) (2)1
11、6【解析】试题分析：（1）利用对数的运算公式进行运算；（2）利用根指转化进行运算。试题解析：（1） ；2lg2+lg31+12lg0.36+13lg8= lg4+lg3lg10+lg0.6+lg2=lg12lg12=1（2） 。23612332=2312(223)16313213=23=618.如图所示， 是正三角形，线段 和 都垂直于平面 ，设 ，ABC EA DC ABC EA=AB=2a，且 为 的中点DC=a F BE（1）求证： 平面 ；DF/ ABC（2）求证： ；AFBD（3）求平面 与平面 所成的较小二面角的大小BDE ABC【答案】 （1）见证明（2）见证明 （3）45【解析
12、】10【分析】（1）利用三角形的中位线定理、平行四边形的判定和性质定理、线面平行的判定定理即可证明；（2）利用线面、面面垂直的判定和性质定理即可证明；（3）延长 ED 交 AC 延长线于 G，连 BG，只要证明 BG平面 ABE 即可得到 ABE 为所求的平面 BDE 与平面 ABC所成二面角，在等腰直角三角形 ABE 中即可得到【详解】 （1）如图所示，取 的中点 ，连接 、 . AB G CG FG ， ，EF=FB AG=GB .FG/12EA又 ，DC/12EA .FG/DC四边形 为平行四边形CDFG故 .DF/CG 平面 ， 平面 ，DF ABC CG ABC 平面 .DF/ AB
13、C（2） 平面 ， .EA ABC AECG又 是正三角形， .ABC CGAB 平面 .CG AEB又 ， 平面 .DF/CG DF AEB平面 平面 .AEB BDE ， ， .AE=AB EF=FB AFBE 平面 ， .AF BED AFBD（3）延长 交 的延长线于 ，连 .ED AC G BG由 ， 知， 为 的中点，CD=12AE CD/AE D EG又 为 的中点，F BE .FD/BG11又 平面 ， ，CG ABE FD/CG 平面 .BG ABE 为所求二面角的平面角EBA在等腰直角三角形 中，易求 .AEB ABE=45故所求二面角的大小为 .45【点睛】熟练掌握三角形
14、的中位线定理、平行四边形的判定和性质定理、线面平行的判定定理与线面、面面垂直的判定和性质定理及二面角的求法是解题的关键19.某城市 100 户居民的月平均用电量（单位：度） ，以 ， ， 160,180) 180,200) 200,220)， ， ， 分组的频率分布直方图如图示220,240) 240,260) 260,280) 280,300（）求直方图中 的值；x（）求月平均用电量的众数和中位数；（）在月平均用电量为 ， ， 的三组用户中，用分层抽样的方220,240) 240,260) 260,280)法抽取 10 户居民，则月平均用电量在 的用户中应抽取多少户？220,240)【答案】
15、 （）0.0075 ()众数 230，中位数 224 ()5 户【解析】【分析】（）根据频率和为 1，即直方图中的矩形的面积和为 1 即可求出 x 的值；（）频率分布直方图中，最高矩形底边中点的横坐标为数据的众数，由中位数两边的频率相等，可求出中位数；（）求出抽取比例数，计算应抽取的户数【详解】 （）由直方图的性质，可得得： ，所以直方图中(0.002+0.0095+0.011+0.0125+x+0.005+0.0025)20=1 x=0.0075的值是 0.0075x（）月平均用电量的众数是 220+2402 =230因为 ，(0.002+0.0095+0.011)20=0.452 f(x)
16、(m+2)xm15 m【答案】 （1） x|22) y=x24x+7x1 (x2) x24x+7x1 =(x1)+4x12基本不等式求最值，即得实数 m 的取值范围【详解】解：(1) g(x)2 x24 x162 时， f(x)( m2) x m15 恒成立， x22 x8( m2) x m15，即 x24 x7 m(x1)对一切 x2，均有不等式 成立mx24x+7x1而 ( x1) 22 22(当 x3 时等号成立)实数 m 的取值范围是(，2【点睛】含参数的不等式存在性问题以及恒成立问题，都可转化为最值问题，即 恒f(x)f(x)maxf(x)a af(x)min23. （本小题满分 1
17、2 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，侧面 PAD底面 ABCD，侧棱 PA PD= ,底面 ABCD 为直角梯2形，其中 BC AD,AB AD,AD=2AB=2BC=2， O 为 AD 中点.()求证: PO平面 ABCD；()求异面直线 PB 与 CD 所成角的余弦值；()求点 A 到平面 PCD 的距离.【答案】(1)同解析（2）异面直线 PB 与 CD 所成的角的余弦值为 .（3）点 A 到平面PCD 的距离 d【解析】解法一：（）证明：在 PAD 卡中 PA PD， O 为 AD 中点，所以 PO AD.15又侧面 PAD底面 ABCD，平面 PAD平面 ABCD AD， PO
18、平面 PAD，所以 PO平面 ABCD.（）连结 BO，在直角梯形 ABCD 中， BC AD,AD=2AB=2BC，有 OD BC 且 OD BC，所以四边形 OBCD 是平行四边形，所以 OB DC.由（）知 PO OB， PBO 为锐角，所以 PBO 是异面直线 PB 与 CD 所成的角.因为 AD2 AB2 BC2，在 Rt AOB 中， AB1， AO1，所以 OB ，在 Rt POA 中，因为 AP ， AO1，所以 OP1，在 Rt PBO 中， PB ,cos PBO= ,所以异面直线 PB 与 CD 所成的角的余弦值为 .()由（）得 CD OB ，在 Rt POC 中， P
19、C ，所以 PC CD DP， SPCD = 2= .又 S=设点 A 到平面 PCD 的距离 h，16由 VP-ACD=VA-PCD，得 S ACDOP S PCDh，即 11 h，解得 h .解法二：（）同解法一，（）以 O 为坐标原点， 的方向分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴的正方向，建立空间直角坐标系 O-xyz.则 A（0，-1，0） ， B（1，-1，0） ， C（1，0，0） ，D（0，1，0） ， P（0，0，1）.所以 （-1，1，0） ， （ t，-1，-1） ， 、 = ，所以异面直线 PB 与 CD 所成的角的余弦值为 ，（）设平面 PCD 的法向量为 n（ x0,y0,x0） ，由（）知 =（-1，0，1） ， （-1，1，0） ，则 n 0，所以 - x0+ x0=0,17n 0， - x0+ y0=0， 即 x0=y0=x0, 取 x0=1，得平面的一个法向量为 n=(1,1,1).又 =(1,1,0).从而点 A 到平面 PCD 的距离 d
