1、1河北省武邑中学 2019 届高三数学上学期期末考试试卷 理（含解析）第卷一：选择题。1.已知集合 ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】试题分析：解 得 ，又 ，则 ，则 ，故选 A.考点：一元二次不等式的解法，集合中交集运算.2.已知复数满足 ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】试题分析：复数 z 满足 ，则 ，故选 D考点：复数运算.3.在 中， ， ，那么 等于（ ）ABC a=3,b= 3 A=60 BA. B. C. 或 D. 或30 60 30 150 60 120【答案】A【解析】【分析】由正弦定理列出关系式，把 a， b， 的值代入求出 的值
2、，结合大边对大角的性质即sinA sinB可确定出 B 的度数【详解】 中， ， ， ，ABC a=3 b= 3 A=60由正弦定理 得： ，asinA= bsinB sinB=bsinAa =3323 =12， ，b0,b0) (x2)2+y2=4 2 C离心率为（ ）A. B. C. D. 3 2 2233【答案】B【解析】【分析】通过圆的圆心与双曲线的渐近线的距离，列出关系式，然后求解双曲线的离心率即可【详解】双曲线 的一条渐近线不妨为： ，C:x2a2-y2b2=1(a0,b0) bx+ay=0圆 的圆心(2,0)，半径为：2，(x-2)2+y2=45双曲线 的一条渐近线被圆 所截得的
3、弦长为 2，C:x2a2-y2b2=1(a0,b0) (x-2)2+y2=4可得圆心到直线的距离为： ，|2b|a2+b2= 22-12= 3解得： ,可得 e2=4，即 e=2.4c2-4a2c2 =3故选 B.【点睛】本题主要考查了双曲线的几何性质，属于基础题.10.已知直三棱柱 中， ， ， ，则异面直线C11C1 C=120 =2 C=CC1=1与 所成角的余弦值为（ ）1 C1A. B. C. D. 32 155 105 33【答案】C【解析】如图所示，补成直四棱柱 ，ABCDA1B1C1D1则所求角为 ，BC1D,BC1= 2,BD= 22+1221cos60= 3,C1D=AB1
4、= 5易得 ，因此 ，故选 CC1D2=BD2+BC12 cosBC1D=BC1C1D=25=105平移法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面问题化归为共面问题来解决，具体步骤如下：平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；计算：求该角的值，常利用解三角形；取舍：由异面直线所成的角的取值范围是 ，当所作的角为钝角时，应取它的补(0,2角作为两条异面直线所成的角求异面直线所成的角要特别注意异面直线之间所成角的范围11.已知函数 ，则 的极大值为（ ）f(x)=2ef(e)lnxxe f(x)A. B. C. D.
5、 2e1 1e 1 2ln26【答案】D【解析】分析：求函数的导数，令 ，先求出 的值再求 的极大值为即可得x=e f(e) f(x)详解：函数 的定义域为 ， ，则f(x)=2ef(e)1nx-xe (0,+) f(x)=2ef(e)x1e, x=ef(e)=2ef(e)e1e,f(e)=1e,f(x)=21nxxe,f(x)=2x1e,令 ，得f(x)0 02e, f(x) (0,2e) (2e,+) f(x)出 uqude 极大值，极大值为 x=2e f(2e)=21n2e2=2ln2,故选 D.点睛：本题考查导数的运用：求单调区间和求极值，考查运算能力，属于基础题12.已知双曲线 （
6、）的左、右焦点分别为 ， 是双曲线 上的两C：x2a2y2b2=1 a0,b0 F1,F2 A,B C点，且 , ，则该双曲线的离心率为（ ）AF1=3F1BcosAF2B=35A. B. C. D. 10102 52 5【答案】B【解析】如图，设 ， 是双曲线 左支上的两点， A B C令 ，由双曲线的定义可得 |AF1|=3|F1B|=3m(m0) |BF2|=2a+m,|AF2|=2a+3m在 中，由余弦定理得 ，F2AB (4m)2=(2a+m)2+(2a+3m)22(2a+m)(2a+3m)35整理得 ，解得 或 （舍去） 3m22ama2=0 m=a m=13a7 ，|AB|=4a
7、,|BF2|=3a,|AF2|=5a 为直角三角形，且 F2AB ABF2=90在 中， ，RtF1BF2 |F1B|2+|BF2|2=|F1F2|2即 ，a2+(3a)2=(2c)2 ，e2=c2a2=52 即该双曲线的离心率为 选 Be=102 102点睛：(1)求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量 的方程a,b,c或不等式，利用 和 转化为关于 e 的方程或不等式，通过解方程或不等式求得b2=c2a2 e=ca离心率的值或取值范围（2）对于焦点三角形，要注意双曲线定义的应用，运用整体代换的方法可以减少计算量第 II 卷二、填空题。13.曲线 恒过定点_.y=
8、loga(x3)+3(a0且 a1)【答案】(4,3)【解析】【分析】由 即可得解.loga1=0【详解】由 ，loga1=0知曲线 恒过定点(4,3).y=loga(x-3)+3(a0且 a1)故答案为：(4,3).【点睛】本题主要考查了对数型函数恒过定点问题，属于基础题.14.已知 是定义在 上的奇函数，则 _；f(x) R 31f(x2)+1xdx=【答案】 ,ln38【解析】31f(x2)+1xdx=31f(x2)dx+311xdx=11f(t)dt+lnx|31 =ln315.【2018 年全国卷文】已知点 和抛物线 ，过 的焦点且斜率为 的M(-1 ， 1) C： y2=4x C
9、k直线与 交于 ， 两点若C A B，则 _AMB=90 k=【答案】2【解析】分析：利用点差法进行计算即可。详解：设 A(x1,y1),B(x2,y2)则y12=4x1y22=4x2所以 y12-y22=4x1-4x2所以 k=y1-y2x1-x2= 4y1+y2取 AB 中点 ,分别过点 A,B 作准线 的垂线，垂足分别为M(x0，y0) x=-1 A,B因为 ,AMB=90|MM|=12|AB|=12(|AF|+|BF|)=12(|AA|+|BB|)因为 M为 AB 中点，所以 MM平行于 x 轴因为 M(-1,1)所以 ，则 即y0=1 y1+y2=2 k=2故答案为 2.点睛：本题主
10、要考查直线与抛物线的位置关系，考查了抛物线的性质，设 ，A(x1,y1),B(x2,y2)利用点差法得到 ，取 AB 中点 , 分别过点 A,B 作准线 的垂线，k=y1-y2x1-x2= 4y1+y2 M(x0，y0) x=-1垂足分别为 ，由抛物线的性质得到 ，进而得到斜率。A,B |MM|=12(|AA|+|BB|)16.当 时，不等式 恒成立，则实数 a 的取值范围是_x-2,1 ax3-x2+4x+309【答案】 6,2【解析】试题分析：不等式 变形为 当 时， ，故实数 a 的ax3x2+4x+30 ax3x24x3 x=0 03取值范围是 ；当 时， ，记 ，R x(0,1 ax
11、24x3xx3 f(x)=x24x3xx3，故函数 递增，则 ，故 ；当f(x)=x2+8x+9x4 =(x9)(x+1)x4 0 f(x) f(x)max=f(1)=6 a6时， ，记 ，令 ，得 或 （舍去） ，当x2,0) ax24x3xx3 f(x)=x24x3xx3 f(x)=0 x=1 x=9时， ；当 时， ，故 ，则 综上x(2,1) f(x)0 f(x)min=f(1)=2 a2所述，实数 的取值范围是 6,2考点：利用导数求函数的极值和最值三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 ）17.ABC 的内角 A、B、C 所对的边分别为 且a、b、c， acosCbc
12、osA=(bc)cosA.(1)求角 A 的值；(2)若ABC 的面积为 且 求ABC 外接圆的面积。33， b+c=7，【答案】 （1） ；（2）3 133【解析】【分析】（1）利用正弦定理、和差公式即可得出 sinB2sin BcosA，结合 sinB0，可得cosA ，由范围 A（0，） ，可求 A =12 =3（2）利用三角形的面积公式可求 bc12，由余弦定理可得 a 的值，设三角形的外接圆半径为 R，由正弦定理可得 R，进而根据圆的面积公式求解即可【详解】 （1） .acosC-bcosA=(b-c)cosA由正弦定理得 sinAcosC-sinBcosA=(sinB-cosC)c
13、osA ， sin(C+A)=2sinBcosA A+B+C= sin(C+A)=sinB0 ，又 ，cosA=12 A(0,) A=3（2）由（1）知 ，由余弦定理 ，A=3 a2=b2+c2-2bccosA=(b+c)2-3bc又 ， ，又 ，SABC=12bcsinA=33 bc=12 b+c=7 a= 1310又 ， ， .asinA=2R R= 133 S=133【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理、和差公式、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题18.设 为等差数列 的前 项和， ， .Sn an n a2+a3=8 S9=81（1）求 的通项公式；an（2）若
14、成等比数列，求 .S3,a14,Sm S2m【答案】 （1） ； （ 2） .an=2n1 324【解析】【分析】（1）根据等差数列 中， ， ,利用等差数列的求和公式以及通项公式列an S9=81a2+a3=8出关于首项 、公差 的方程组，解方程组可得 与 的值，从而可得数列 的通项公式；a1 d a1 d an（2）由（1）可得 ，根据 ， ， 成等比数列列方程求得 ，从而可得结果.Sn=n2 S3 a14Sm m=9【详解】 （1） ， ，S9=9a5=9(a1+4d)=81a2+a3=2a2+3d=8 a1=1d=2 故 .an=1+(n+1)2=2n-1（2）由（1）知， .Sn=n
15、(1+2n-1)2 =n2， ， 成等比数列， ，S3 a14Sm S3Sm=a214即 ，解得 ，故 .9m2=272 m=9 S2m=182=324【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式、等差数列的前 项和公式，属于中档题. 等n差数列基本量的运算是等差数列的一类基本题型，数列中的五个基本量 一般可a1,d,n,an,Sn,以“知二求三” ，通过列方程组所求问题可以迎刃而解，另外，解等差数列问题要注意应用等差数列的性质 （ ）与前 项和的关系.ap+aq=am+an=2ar p+q=m+n=2r n19.有编号为 1，2，3n 的 n 个学生，入座编号为 1，2，3n 的 n 个座位，每个
16、学生规定坐一个座位, 设学生所坐的座位号与该生的编号不同的学生人数为 , 已知 时, 共有x x=26 种坐法.11（1）求 的值；n（2）求随机变量 的概率分布列及数学期望 x E(x)【答案】 （1） ；（2）分布列详见解析， .n=4 E=3【解析】试题分析：（1）解题的关键是 =2 时，共有 6 种坐法，写出关于 n 的表示式，解出未知量，把不合题意的舍去（2）学生所坐的座位号与该生的编号不同的学生人数为 ，由题意知 的可能取值是0，2，3，4，当变量是 0 时表示学生所坐的座位号与该生的编号都相同，当变量是 2 时表示学生所坐的座位号与该生的编号有 2 个相同，理解变量对应的事件，写
17、出分布列和期望解：（1）当 =2 时，有 Cn2种坐法，C n2=6，即 ，n2n12=0，n=4 或 n=3（舍去） ，n=4（2）学生所坐的座位号与该生的编号不同的学生人数为 ，由题意知 的可能取值是 0，2，3，4，当变量是 0 时表示学生所坐的座位号与该生的编号都相同，当变量是 2 时表示学生所坐的座位号与该生的编号有 2 个相同，当变量是 3 时表示学生所坐的座位号与该生的编号有 1 个相同，当变量是 4 时表示学生所坐的座位号与该生的编号有 0 个相同， ， 的概率分布列为：12 0 2 3 4P 考点：离散型随机变量及其分布列20.抛物线 的焦点为 ，过点 的直线交抛物线于 ，
18、两点y2=4x F F A B（1） 为坐标原点，求证： ；O OAOB=3（2）设点 在线段 上运动，原点 关于点 的对称点为 ，求四边形 面积的最小M AB O M C OACB值【答案】 （）见解析；（） 时，四边形 的面积最小，最小值是 m=0 OACB 4【解析】试题分析：（1）先利用已知条件设出直线 AB 的方程，与抛物线联立方程组，然后结合韦达定理表示出向量的数量积，进而证明。（2）根据由点 与原点 关于点 对称，得 是线段 的中点，从而点 与点 到直线C O M M OC O C的距离相等，得到四边形 的面积等于 ，结合三角形面积公式得到。AB OACB 2SAOB（）解：依题
19、意 ，设直线 方程为 1 分F(1,0) AB x=my+1将直线 的方程与抛物线的方程联立，消去 得 3 分AB x y24my4=0设 ， ，所以 ， A(x1,y1) B(x2,y2) y1+y2=4m y1y2=4=1，故 6 分（）解：由点 与原点 关于点 对称，得 是线段 的中点，从而点 与点 到直线C O M M OC O C的距离相等，所以四边形 的面积等于 8 分AB OACB 2SAOB13因为 9 分2SAOB=212|OF|y1y2| ，11 分= (y1+y2)24y1y2=41+m2所以 时，四边形 的面积最小，最小值是 12 分m=0 OACB 4考点：本试题主要
20、是考查了直线与抛物线爱你的位置关系的运用。点评：对于几何中的四边形的面积一般运用转换与化归的思想来求解得到。21.在直角坐标系 中， 曲线 的参数方程为 为参数） ，若以直角xOy C1x=22sin+22cosy=sincos12 (坐标系中的原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系， 曲线 的极坐标方程为x C2为实数 sin(4)=22t(t（1）求曲线 的普通方程和曲线 的直角坐标方程；C1 C2（2）若曲线 与曲线 有公共点， 求的取值范围 C1 C2【答案】 （1） ， ， （2）y=x21 x1,1 yx=t t54,1【解析】试题分析：（1）先根据三角函数平方关系消参数得曲线
21、 的普通方程，注意参数对自变量C1范围的限制，再根据 将曲线 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）联x=cos,y=sin C2立直线方程与抛物线段方程，求出相切时以及过端点时的取值，结合图像确定的取值范围.试题解析：解：（）因为 ，所以 x=22sin+22cos=sin(+4) x-1,1由 x=22sin+22cos平方得： x2=12(1+2sincos)=12+sincos又 y=sincos-12两式相减得 ，x2-y=1故曲线 的普通方程为 ， C1 y=x2-1 x-1,1另由 得 的直角坐标方程为 sin(-4)=22t C2 y-x=t（）如图，当直线 过点 时， ；y-x
22、=t (-1,0) t=114当直线 与 相切时，y-x=t y=x2-1由 得y=x2-1y-x=t x2-x-1-t=0由 得 ，=1+4(1+t)=0 t=-54从而，曲线 与曲线 有公共点时， C1 C2 t-54,122.在直角坐标系 中,曲线 的参数方程为 (为参数),曲线 的直角坐标方xoy C1 x=costy=1+sint C2程为 .以平面直角坐标系的原点 为极点, 轴非负半轴为极轴建立直角坐标系,x2+(y2)2=4 O x射线的极坐标方程为 =(0)（1）求曲线 ， 的极坐标方程；C1 C2（2）设点 分别为射线与曲线上 ， 除原点之外的交点，求 的最大值.A,B C1
23、 C2 |AB|【答案】 （1） ， .（2）2.=2sin =4sin【解析】试题分析：（1）将曲线 的参数方程 （为参数）消去参数化为普通方程，再C1 x=costy=1+sint 根据 ，可得曲线 、 的极坐标方程；（2）联立 得 ，求2=x2+y2y=sin C1 C2 =2sin A(2sin,)得 ，再联立 ，得 ，求得 ，进而可求得 的最|OA|=2sin =4sin B(4sin,) |OB|=4sin |AB|大值.试题解析：（1）由曲线 的参数方程 （为参数）消去参数得C1 x=costy=1+sint ，即 ，x2+(y-1)2=1 x2+y2-2y=0曲线 的极坐标方程为 .C1 =2sin由曲线 的直角坐标方程 ， ，C2 x2+(y-2)2=4 x2+y2-4y=0曲线 的极坐标方程 .（2）联立 ，得15联立 ，得 . . ，当 时， 有最大值 2.
