1、1湖南省师大附中 2019 届高三数学月考试题（六）文（含解析）本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分，共 8 页。时量 120 分钟。满分150 分。第卷一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1设集合 MError!，NError!，则集合 MN(B)A. B.( ，12 1， ) (12， 1)C. D.( ，12 1， )【解析】由 MError!得：M ，NError! 得 N ，则x| 10 故 f(0) (x)f 4，选 B.( ln 5) (ln 5) (eln 5 1)8如图，正方形 ABCD
2、 的边长为 1，延长 BA 至 E，使 AE1，连接 EC、ED，则3sinCED(B)A. B.31010 1010C. D.510 515【解析】由图象知DEA ，tanCEB ，所以有 tanCEDtan(DEACEB) 4 12tan ，再根据同角三角函数关系式，可求出( 4 CEB) 1 tan CEB1 tan CEB 13sinCED ，选 B.10109若实数数列：1，a 1，a 2，a 3，81 成等比数列，则圆锥曲线 x2 1 的离心率y2a2是(D)A. 或 B. 或 C. D.13 10 10 223 223 10【解析】因为1，a 1，a 2，a 3，81 成等比数列
3、，所以 a 1(81)281，a 29(等比数列的奇数项同号)，所以圆锥曲线的方程为 x2 1，其中y29a1，b3，c ，离心率为 e ，故选 D.1 9 10ca 1010若函数 f(x) 为奇函数，g(x) 则不等式 g(x)1 的解集2x a2x 1 aln x， x0，eax， x 0， )是(A)A(，0) B. (0，1)(0，1e) ( 1e， 0)C. D.(1e， 1) (1e， )【解析】因为函数 f(x) 为奇函数，f(0)0，a1，g(x)2x a2x 1所以不等式 g(x)1 的解集为 x(，0) .故答案选 A. ln x， x0，e x， x 0， ) (0，
4、1e)11四棱锥 PABCD 的三视图如图所示，四棱锥 PABCD 的五个顶点都在一个球面上，E、F 分别是棱 AB、CD 的中点，直线 EF 被球面所截得的线段长为 2 ，则该球表面积为(A)2A12 B24 C36 4D48【解析】由三视图可知，该三视图所表示几何体的直观图如下图所示的四棱锥PABCD，其中，底面 ABCD 为正方形，PA底面 ABCD，PAABa，该四棱锥外接球的球心为 PC 的中点 O，由直观图可知 O 到线段 EF 的距离为 ，球的半径 R ，所以，直线 EFa2 3a2被球面所截得的线段长为 2 a2 ，即 a2，R ，所以该球的表面R2 (a2)2 2 2 3a2
5、 3积为 S4R 212，故选 A.12已知 a，b 是实数，1 和1 是函数 f(x)x 3ax 2bx 的两个极值点，设 h(x)f(f(x)c，其中 c(2，2)，函数 yh(x)的零点个数(D)A8 B11 C10 D9【解析】f(x)3x 22axb，由题意，1 和1 是方程 3x22axb0 的两根，所以有 1(1) ，1(1) ，求得 a0，b3，所以 f(x)x 33x，若令 f(x)2a3 b3t，则 h(x)f(t)c，考查方程 f(x)d，d(2，2)的根的情况，因为 f(2)d2d0，函数 f(x)的图象是连续不断的，所以 f(x)d 在(2，1)内有唯一零点，同理可以
6、判断 f(x)d 在(1，1)，(1，2)内各有唯一的零点，所以得到方程 f(x)d，d(2，2)的根有 3 个；再看函数 yh(x)的零点，当c(2，2)时，f(t)c 有三个不同的根 x1，x 2，x 3，且 x1，x 2，x 3(2，2)，而 f(x)t 有三个不同的根，所以函数 yh(x)有 9 个零点故选 D.第卷本卷包括必考题和选考题两部分第 1321 题为必考题，每个试题考生都必须作答第 2223 题为选考题，考生根据要求作答二、填空题：本大题共 4 个小题，每小题 5 分，满分 20 分请把答案填在答题卷对应题号后的横线上13有三张卡片，分别写有 1 和 2，1 和 3，2 和
7、 3，甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是 2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是 1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是 5”，则甲的卡片上的数字是_1 和 3_【解析】先从丙说可得丙拿的是 1 和 2，或 1 和 3，再由乙说的可得乙拿的是 2 和 3，再从甲说的可得甲拿的是 1 和 3.14圆心在直线 2xy70 上的圆 C 与 y 轴交于两点 A(0，4)、B(0，2)，则圆C 的方程为_(x2) 2(y3) 25_【解析】圆 C 与 y 轴交于 A(0，4)，B(0，2)，由垂径定理得圆心在 y3 这条直线上又已知圆心在直
8、线 2xy70 上，联立 解得 x2，圆y 3，2x y 7 0， )5心 C 为(2，3)，半径 r|AC| .所求圆 C 的方程为(x2)22 3 （ 4） 2 52(y3) 25.故答案为(x2) 2(y3) 25.15已知锐角ABC 的外接圆半径为 BC，且 AB3，AC4，则 BC_ _33 13【解析】设ABC 的外接圆半径为 R， 2R，sin A ，又 A 为锐角，BCsin A BC2R 32A ，BC 23 24 2234cos 13，BC . 3 3 1316已知 O 为三角形 ABC 的外心，AB2a，AC ，BAC120，若 x y ，2a AO AB AC 则 3x
9、6y 的最小值为_62 _2【解析】 x y ， x 2y 4a 2x2y2a 2，同AO AB AC AO AB AB AB AC 理 x y 2 2x y ，联立，可得 3x6yAO AC AB AC AC 4a2 2a2 x 2a2 13a2 ，y a2 23 ， )2a 2462a 2 62 62 ，当且仅当 2a2 a 时，等2a2 1a2 1a2 2a21a2 2 1a2 (12)14 号成立，即 3x6y 的最小值是 62 .2三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17(本题满分 12 分)在等比数列 中，已知 a48a 1，且 a1，a 21，a 3成等差数列an(
10、1)求数列 的通项公式；an(2)求数列 的前 n 项和 Sn.|an 4|【解析】(1)设数列 的公比为 q，则 a4a 1q38a 1.q2，2 分an又 a1，a 21，a 3成等差数列，即 2 a 1a 3，a 12，4 分(a2 1)a n2 n.6 分(2)当 n1 时，a 14210 时， 0，此时函数为单调递增函数，故当 x(20，36)时，时段投入保z 护性成本的预报值随着温度的升高而增大.12 分20(本题满分 12 分)8如图，设双曲线 C1： 1(a0，b0)的上焦点为 F，上顶点为 A，点 B 为双曲线y2a2 x2b2虚轴的左端点已知 C1的离心率为 ，且ABF 的
11、面积 S1 .233 32(1)求双曲线 C1的方程；(2)设抛物线 C2的顶点在坐标原点，焦点为 F，动直线 l 与 C2相切于点 P，与 C2的准线相交于点 Q.试推断以线段 PQ 为直径的圆是否恒经过 y 轴上的某个定点 M？若是，求出定点M 的坐标；若不是，请说明理由【解析】(1)由已知 ，即 2a c，则 4a23c 2，ca 233 3即 4a23(a 2b 2)，得 a b，c2b.2 分3又 (ca)b1 ，则(2b b)b2 ，得 b1.4 分12 32 3 3从而 a ，c2，所以双曲线 C1的方程为 x 21.5 分3y23(2)由题设，抛物线 C2的方程为 x28y，准
12、线方程为 y2.7 分由 y x2，得 y x.设点 P ，则直线 l 的方程为 y x x0(xx 0)，18 14 1820 14即 y x0x x .联立 y2，得 Q .9 分14 1820假设存在定点 M(0，m)满足题设条件，则 0 对任意点 P 恒成立MP MQ 因为 ， ，MP MQ 则 (m2)( x m)0，1820即 x m(m2)80 对任意实数 x0恒成立.11 分2 m8 20所以 即 m2.故以 PQ 为直径的圆恒经过 y 轴上的定点 M(0，2).122 m 0，m（ m 2） 8 0， )分21(本题满分 12 分)已知 f(x)e x，g(x)x 22xa，
13、aR.(1)讨论函数 h(x)f(x)g(x)的单调性；(2)记 (x) 设 A(x1，(x 1)，B(x 2，(x 2)为函数 (x)图象上f（ x） ， x0， )的两点，且 x10 时，若 (x)在 A，B 处的切线相互垂直，求证：x 2x 11；若在点 A，B 处的切线重合，求 a 的取值范围【解析】(1)h(x)e x(x 22xa)，则 h(x)e xx2(a2)2 分当 a20 即 a2 时，h(x)0，h(x)在 R 上单调递减；3 分当 a20 即 a2 时，h(x)e xx2(a2)e x(x )(x )，a 2 a 2此时 h(x)在(， )及( ，)上都是单调递减的，在
14、( ， )上a 2 a 2 a 2 a 2是单调递增的；5 分9(2)g(x)2x2，据题意有(2x 12)(2x 22)1，又 00 且2x 220 在(，0)上恒成立，则 q(x)在(，0)上单调递增q(x)0，p(x) 在(，0)上单调递增，则 p(x)0，r(x) 在(，0)上单调递增，r(x)0 在(，0)恒成立，即当 x(，0)时 p(x)的值域是(0，7)故 4a4(0，7) 1a ，即为所求.12 分34请考生在第 2223 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。做答时请写清题号。22(本题满分 10 分)选修 44：极坐标与参数方程已知直线 l 的参数方程为 (
15、t 为参数)，以坐标原点为极点， x 轴的正半轴x m 22t，y 22t )为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 2cos23 2sin212，且曲线 C 的左焦点 F 在直线 l 上(1)若直线 l 与曲线 C 交于 A，B 两点，求|FA|FB|的值；(2)求曲线 C 的内接矩形的周长的最大值【解析】(1)已知曲线 C 的标准方程为 1，则其左焦点为(2 ，0)，则x212 y24 2m2 ，210将直线 l 的参数方程 与曲线 C 的方程 1 联立，x 22 22t，y 22t ) x212 y24得 t22t20，则|FA|FB|t 1t2|2.5 分(2)由曲线 C 的方程
16、为 1，可设曲线 C 上的动点 P(2 cos ，2sin )，x212 y24 3则以 P 为顶点的内接矩形周长为 4(2 cos 2sin )16sin3 ( 3)，(0 2)因此该内接矩形周长的最大值为 16.10 分23(本题满分 10 分)选修 45：不等式选讲设 f(x)|x1|x1|.(1)求 f(x)x2 的解集；(2)若不等式 f(x) 对任意实数 a0 恒成立，求实数 x 的取值范围|a 1| |2a 1|a|【解析】(1)由 f(x)x2 得：或 或x 2 0，x 1，1 x x 1 x 2) x 2 0， 1x1，1 x x 1 x 2) x 2 0，x 1，x 1 x 1 x 2.)解得 0x2，f(x)x2 的解集为x|0x2.5 分(2) 3|a 1| |2a 1|a| | |1 1a| |2 1a| |1 1a 2 1a|当且仅当 0 时，取等号(11a)(2 1a)由不等式 f(x) 对任意实数 a0 恒成立，可得|x1|x1|3，|a 1| |2a 1|a|解得：x 或 x .32 32故实数 x 的取值范围是 .10 分( ， 32 32， )
