1、1长安一中 20182019 学年度第一学期期末考试高二数学试题(文科)一、选择题：(本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的.)1.复数 在复平面内对应的点位于( )A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】C【解析】【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简求出坐标得答案【详解】解： ，复数 在复平面内对应的点的坐标为（ ） ，位于第三象限故选： C【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题2.已知集合A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】求出集合的等价
2、条件，根据集合的基本运算进行求解即可【详解】集合 ,A=x|14 1 x(0,+),2x1命题“若 ，则 ”的逆否命题是真命题；sinx=siny x=y若命题 为真，命题 为真，则命题 且 为真；p q p q命题“若 ，则 ”的否命题是“若 ，则 ”.x=3 x22x3=0 x3 x22x30A. 个 B. 个 C. 个 D. 个0 1 2 3【答案】B【解析】【分析】根据含有量词的命题的否定进行判断，根据逆否命题的等价性进行判断，根据复合命题真假关系进行判断，根据否命题的定义进行判断【详解】命题“任意 x（0，+） ，2 x1”的否定是“存在 x（0，+） ，2 x1” ；故错误；命题“
3、若 ，则 ”为假命题，故其逆否命题也为假命题，故错误；sinx=siny x=y若命题 p 为真，命题 q 为真，则 q 为假命题，则命题 p 且 q 为假命题故错误；命题“若 ，则 ”的否命题是“若 ，则 ”正确，故正确；x=3 x2-2x-3=0 x3 x2-2x-30故选：B【点睛】本题主要考查命题的真假判断，涉及四种命题之间的关系，复合命题，含有量词的命题的否定，综合性较强，但难度不大6.曲线 在点 处的切线方程是（ ）y=x2x1 (1,1)A. B. C. D. xy2=0 x+y2=0 x+4y5=0 x4y5=0【答案】B【解析】试题分析： ，当 时， ，所以切线方程是，整理为
4、 ，故选 B.考点：导数的几何意义4【此处有视频，请去附件查看】7.秦九韶是我国南宋时期的数学家，他在所著的数书九章中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法.如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求多项式值的一个实例，若输入 n，x 的值分别为 3，2，则输出 v 的值为( ) A. 35 B. 20 C. 18 D. 9【答案】C【解析】【分析】由题意，模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的 i， v 的值，当 i1 时，不满足条件 i0，跳出循环，输出 v 的值为 18【详解】解：初始值 n3， x2，程序运行过程如下表所示：v1i2， v12+24i1， v42+19i0，
5、 v92+018i1，不满足条件，跳出循环，输出 v 的值为 18故选： C【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图的应用，正确依次写出每次循环得到的 i， v5的值是解题的关键，属于基础题8.已知 表示两条不同直线， 表示平面，下列说法正确的是（ ）m,n A. 若 ， ，则 B. 若 ， ，则m mn n/ m/ mn nC. 若 ，则 D. 若 ， ，则m/,n/ m/n m n mn【答案】D【解析】【分析】画一个正方体，利用正方体中的线线、线面关系说明 ABC 都不对【详解】在正方体 ABCD ABCD 中：令底面 ABCD A、令 m AA， n A B，满足 m ， m n，但
6、n 不成立， A 错误； B、令 m AB， n AD，满足 m ， m n，但 n 不成立， B 错误； C、令 m AB， n BC，满足 m ， n ，但 m n 不成立， C 错误； 故选： D【点睛】本题主要考查立体几何的线面平行、线面垂直的关系，画图处理这方面的选择题，可以说是事半功倍，本题属于基础题9.“ ”是“ ”的（ ）log12(x+2)1A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】根据不等式之间的关系结合充分条件和必要条件的定义即可得到结论【详解】解：由 ，解得 x1，此时 “ ”不成立，即充分性不成立，
7、log12(x+2)16若“ ”，则“ ”成立，即必要性成立，x1 x-1故“ ”是“ ”的必要不充分条件，log12(x+2)1故选： C【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式之间的关系是解决本题的关键10.在同一直角坐标系中，函数 f（ x） （ x0） ， g（ x） 的图象可能是（ ）xa logaxA. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】实数 a0 且 a1，函数 f（ x） xa（ x0）是上增函数；当 a1 时，函数 f（ x） xa（ x0）是下凹增函数， g（ x）log ax 的是增函数；当 0 a1 时，函数 f（ x） xa（ x0）是增函数
8、， g（ x）log ax 是减函数【详解】解：实数 a0 且 a1，函数 f（ x） xa（ x0）是上增函数，故排除 A；当 a1 时，在同一直角坐标系中，函数 f（ x） xa（ x0）是下凹增函数， g（ x）log ax 的是增函数，观察四个选项，没有符合条件选项；当 0 a1 时，在同一直角坐标系中，函数 f（ x） xa（ x0）是增函数， g（ x）log ax 是减函数，由此排除 B 和 C，符合条件的选项只有 D7故选： D【点睛】本题考查函数图象的判断，考查函数的图象和性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题11.从区间 随机抽取 个数 , ， ， ， ， ，构成 n
9、个数对 ，0,1 2n x1x2 xn y1 y2 yn (x1,y1)， ，其中两数的平方和小于 1 的数对共有 个，则用随机模拟的方法得到(x2,y2) (xn,yn) m的圆周率 的近似值为（ ）A. B. C. D. 4nm 4mn 2nm 2mn【答案】B【解析】【分析】以面积为测度，建立方程，即可求出圆周率 的近似值【详解】由题意，两数的平方和小于 1，对应的区域的面积为 1 2，从区间0，1】随机14抽取 2n 个数 x1， x2， xn， y1， y2， yn，构成 n 个数对（ x1， y1） ， （ x2， y2） ， （ xn， yn） ，对应的区域的面积为 12mn=1
10、41212 =4mn故选： B【点睛】古典概型和几何概型是我们学习的两大概型，古典概型要求能够列举出所有事件和发生事件的个数，而不能列举的就是几何概型，几何概型的概率的值是通过长度、面积和体积的比值得到12.已知 是定义域为 的奇函数，满足 若 ，则 f(x) R f(1x)=f(1+x) f(1)=2( )f(1)+f(2)+f(3)+f(2019)=8A. -2019 B. 0 C. 2 D. 2019【答案】B【解析】【分析】由题意可得函数 f（ x）为周期为 4 的周期函数， f （1）2， f（2）0， f（3）2， f（4）0，由此能求出 f （1）+ f （2）+ f （3）+
11、f （2019）的值【详解】解： f（ x）是定义在 R 上的奇函数，满足 f(1-x)=f(1+x)函数 f（ x）的图象关于直线 x1 对称，则有 f（ x） f（ x+2） ，又由函数 f（ x）为奇函数，则 f（ x） f（ x） ，则有 f（ x） f（ x+4） ，则函数 f（ x）为周期为 4 的周期函数， f （0）0， f （1）2， f（2） f（0+2） f（0）0，f（3） f（1+2） f（1）2， f（4） f（0）0， f （1）+ f （2）+ f （3）+ f （2019）504 f（1）+ f（2）+ f（3）+ f（4）+ f（1）+ f（2）+ f（3）
12、5040+2+020故选： B【点睛】本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题13.已知 0，椭圆 的方程为 ，双曲线 的方程为 ， 与 的离心率之b C1x2a2+y2b2=1 C2 x2a2y2b2=1 C1 C2积为 ，则 的渐近线方程为（ ）32 C2A. B. x 2y=0 2xy=0C. D. x2y=0 2xy=0【答案】A【解析】【分析】利用离心率乘积为 ，利用 将离心率表示出来，构造一个关于 的方程，然后解出 的32 a,b a,b ba值，从而得到双曲线渐近线方程。9【详解】设椭圆和双曲线的半焦距为 ，c1,c2则 ，e1
13、e2=c1ac2a=a2b2a a2+b2a =a4b4a2 =32所以 ，所以双曲线 的渐近线方程为：ba=22 C2，即 ，故选 A.y=bax=22x x 2y=o【点睛】本题考查椭圆与双曲线的离心率即双曲线的渐近线方程求离心率直接构造出关于的方程从而求出 e，求双曲线渐近线方程则只需构造 的方程，从而解出 ，便可得到渐a,c a,bba近线方程。14.设直线 分别是函数 图象上点 处的切线， 垂直相交于点 ，l1,l2f(x)=lnx,01. P1,P2 l1与 l2 P且 分别与 轴相交于点 A，B，则PAB 的面积的取值范围是( )l1,l2 yA. (1,+) B. (0,2)
14、C. (0,+) D. (0,1)【答案】D【解析】【分析】设出点 P1， P2的坐标，求出原分段函数的导函数，得到直线 l1与 l2的斜率，由两直线垂直求得 P1， P2的横坐标的乘积为 1，再分别写出两直线的点斜式方程，求得 A， B 两点的纵坐标，得到| AB|，联立两直线方程求得 P 的横坐标，然后代入三角形面积公式，利用基本不等式求得 PAB 的面积的取值范围【详解】解：设 P1（ x1， y1） ， P2（ x2， y2） （0 x11 x2） ，当 0 x1 时， f（ x） ，当 x1 时， f（ x） ，=-1x =1x l1的斜率 ， l2的斜率 ，k1=-1x1 k2=1
15、x2 l1与 l2垂直，且 x2 x10， ，即 x1x21k1k2=-1x11x2=-1直线 l1： ， l2： y=-1x1(x-x1)-lnx1 y=1x2(x-x2)+lnx2取 x0 分别得到 A（0，1 lnx1） ， B（0，1+ lnx2） ，|AB|1 lnx1（1+ lnx2）|2（ lnx1+lnx2）|2 lnx1x2|210联立两直线方程可得交点 P 的横坐标为 x ，=2x1x2x1+x2 |AB|xP| SPAB=12 =1222x1x2x1+x2= 2x1+x2= 2x1+1x1函数 y x 在（0，1）上为减函数，且 0 x11，+1x ，则 ，x1+1x1
16、1+1=2 0 1x1+1x1 12 0 2x1+1x1 1 PAB 的面积的取值范围是（0，1） 故选： D【点睛】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，训练了利用基本不等式求函数的最值，考查了数学转化思想方法，属中档题二.填空题：（本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分.请把答案填写在答题纸的相应横线上.）15.一组数据的平均数是 28，方差是 4，若将这组数据中的每一个数据都加上 20，得到一组新数据，则所得新数据的平均数是_，方差是_【答案】 (1). 48 (2). 4【解析】【分析】设该组数据为 x1， x2， xn；则新数据为 x1+20， x2+20， xn+
17、20；从而分别求平均数与方差，比较即可【详解】设该组数据为 x1， x2， xn；则新数据为 x1+20， x2+20， xn+20； 28，x=x1+x2+xnn = 20+2848，x=x1+20+x2+20+xn+20n = S2 （ x1 ） 2+（ x2 ） 2+（ xn ） 2，=1n -x -x -xS 2 （ x1+20 （ 20） ） 2+（ x2+20（ 20） ） 2+（ xn+20（ 20） ） 2，=1n x+ x+ x+ S24，故答案为：48,4【点睛】本题考查了平均数与方差的性质，考查了计算能力，属于基础题.1116. 甲、乙两套设备生产的同类产品共 4800
18、件，采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为80 的样本进行检测.若样本中有 50 件产品由甲设备生产，则乙设备生产的产品总数为_件.【答案】1800【解析】试题分析：由题共有产品 4800 名，抽取样本为 80，则抽取的概率为； ，再由 50P=804800=160件产品由甲设备生产，则乙设备生产有 30 件，则乙设备在总体中有； 。3060=1800考点：抽样方法的随机性.【此处有视频，请去附件查看】17.某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是 0.8，连续两天为优良的概率是 0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是_【答案】 0.75【解析】【分
19、析】设随后一天的空气质量为优良的概率为 p，则由题意可得 0.8p0.6，由此解得 p 的值【详解】解：设随后一天的空气质量为优良的概率为 p，则由题意可得 0.8p0.6，解得 p ，0.75故选： 0.75【点睛】本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式的应用，属于基础题18.已知正方体的棱长为 1,则以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为_.【答案】16【解析】【分析】由题意可得，以正方体所有面的中心为顶点的多面体为正八面体，也可以看作是两个正四棱锥的组合体，每一个正四棱锥的侧棱长与底面边长均为 ，求出一个正四棱锥的高，再22由棱锥体积公式求解【详解】解：如图，以正方体所有面的中心为顶点的
20、多面体为正八面体，12也可以看作是两个正四棱锥的组合体，每一个正四棱锥的侧棱长与底面边长均为 22则其中一个正四棱锥的高为 h = (22)2-(12)2=12该多面体的体积 V =213222212=16故答案为： 16【点睛】本题考查多面体体积的求法，考查空间想象能力与思维能力，是中档题19.做一个无盖的圆柱形水桶，若要使其体积是 27 dm 3，且用料最省，则圆柱的底面半径为_ dm.【答案】3【解析】试题分析：设圆柱的高为 h，半径为 r 则由圆柱的体积公式可得，r 2h=27，即 ，要使用料最省即求全面积的最小值，而 S 全面积 =r 2+2rh= =（法一）令 S=f（r） ，结合
21、导数可判断函数 f（r）的单调性，进而可求函数取得最小值时的半径（法二）：S 全面积 =r 2+2rh= = ，利用基本不等式可求用料最小时的 r解：设圆柱的高为 h，半径为 r则由圆柱的体积公式可得，r 2h=2713S 全面积 =r 2+2rh= =（法一）令 S=f（r） ， （r0）=令 f（r）0 可得 r3，令 f（r）0 可得 0r3f（r）在（0，3）单调递减，在3，+）单调递增，则 f（r）在 r=3 时取得最小值（法二）：S 全面积 =r 2+2rh= = =27当且仅当 即 r=3 时取等号当半径为 3 时，S 最小即用料最省故答案为：3点评：本题主要考查了圆柱的体积公式
22、及表面积的最值的求解，解答应用试题的关键是要把实际问题转化为数学问题，根据已学知识进行解决20.【2018 年全国卷文】已知点 和抛物线 ，过 的焦点且斜率为 的M(-1 ， 1) C： y2=4x C k直线与 交于 ， 两点若C A B，则 _AMB=90 k=【答案】2【解析】分析：利用点差法进行计算即可。详解：设 A(x1,y1),B(x2,y2)则y12=4x1y22=4x2所以 y12-y22=4x1-4x2所以 k=y1-y2x1-x2= 4y1+y2取 AB 中点 ,分别过点 A,B 作准线 的垂线，垂足分别为M(x0， y0) x=-1 A,B14因为 ,AMB=90|MM|
23、=12|AB|=12(|AF|+|BF|)=12(|AA|+|BB|)因为 M为 AB 中点，所以 MM平行于 x 轴因为 M(-1,1)所以 ，则 即y0=1 y1+y2=2 k=2故答案为 2.点睛：本题主要考查直线与抛物线的位置关系，考查了抛物线的性质，设 ，A(x1,y1),B(x2,y2)利用点差法得到 ，取 AB 中点 , 分别过点 A,B 作准线 的垂线，k=y1-y2x1-x2= 4y1+y2 M(x0， y0) x=-1垂足分别为 ，由抛物线的性质得到 ，进而得到斜率。A,B |MM|=12(|AA|+|BB|)三、解答题：（本大题共 4 小题，共 50 分.解答应写出文字说
24、明、证明过程或演算步骤.）21.一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字 1,2,3 这三张卡片除标记的数字外完全相同。随机有放回地抽取 3 次，每次抽取 1 张，将抽取的卡片上的数字依次记为 a,b,c（1）求“抽取的卡片上的数字满足 ”的概率；a+b=c（2）求“抽取的卡片上的数字 不完全相同”的概率.a,b,c【答案】 （1） （2）19 89【解析】【分析】（1）所有的可能结果（ a， b， c）共有 33327 种，一一列举即可，而满足 a+b c 的（ a， b， c）有 3 个，由此求得“抽取的卡片上的数字满足 a+b c”的概率；（2）所有的可能结果（ a， b， c）共有 33
25、3 种，用列举法求得满足“抽取的卡片上的数字 a， b， c 完全相同”的（ a， b， c）共计三个，由此求得“抽取的卡片上的数字a， b， c 完全相同”的概率，再用 1 减去此概率，即得所求【详解】解：（1）由题意， （ a， b， c）所有的可能为：（1，1，1） ， （1，1，2） ， （1，1，3） ， （1，2，1） ， （1，2，2） ， （1，2，3） ，（1，3，1） ， （1，3，2） ， （1，3，3） ， （2，1，1） ， （1，1，2） ， （2，1，3） ，（2，2，1） ， （2，2，2） ， （2，2，3） ， （2，3，1） ， （2，3，2） ， （2，
26、3，3） ，15（3，1，1） ， （3，1，2） ， （3，1，3） ， （3，2，1） ， （3，2，2） ， （3，2，3） ，（3，3，1） ， （3，3，2） ， （3，3，3） ，共 27 种 设“抽取的卡片上的数字满足 a+b c”为事件 A，则事件 A 包括（1，1，2） ， （1，2，3） ，（2，1，3） ，共 3 种，所以 P（ A） =327=19因此， “抽取的卡片上的数字满足 a+b c”的概率为 19（2）设“抽取的卡片上的数字 a， b， c 不完全相同”为事件 B，则事件包括（1，1，1） ， （2，2，2） ， （3，3，3） ，共 3 种所以 P（ B）1
27、 P（ ）1 B -327=89因此， “抽取的卡片上的数字 a， b， c 不完全相同”的概率为 89【点睛】有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数：1基本事件总数较少时，用列举法把所有基本事件一一列出时，要做到不重复、不遗漏，可借助“树状图”列举；2注意区分排列与组合，以及计数原理的正确使用22.如图，在三棱锥 中，侧棱垂直于底面， 分别是ABCA1B1C1 ABBC,AA1=AC=2,BC=1,E,F的中点A1C1,BC（1）求证: 平面 平面 ；ABE B1BCC1（2）求证: 平面 ；C1F ABE（3）求三棱锥 体积EABC【答案】 （1）证明
28、见解析；（2）证明见解析；（3） 33【解析】试题分析：（1）由直线与平面垂直证明直线与平行的垂直；（2）证明直线与平面平行；16（3）求三棱锥的体积就用体积公式.（1）在三棱柱 中， 底面 ABC，所以 AB，ABCA1B1C1 BB1 BB1又因为 ABBC，所以 AB平面 ，因为 AB 平面 ，所以平面 平面 .B1BCC1 ABE ABE B1BCC1（2）取 AB 中点 G，连结 EG，FG，因为 E，F 分别是 、 的中点，所以 FGAC，且 FG= AC，A1C1 BC12因为 AC ，且 AC= ，所以 FG ，且 FG= ，A1C1 A1C1 EC1 EC1所以四边形 为平行
29、四边形，所以 EG，FGEC1 C1F/又因为 EG 平面 ABE， 平面 ABE， C1F所以 平面 .C1F/ ABE（3）因为 =AC=2，BC=1，ABBC，所以 AB= ，AA1 AC2BC2= 3所以三棱锥 的体积为： = = .EABC V=13SABCAA11312 312 33考点：本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直与平行的证明；考查几何体的体积的求解等基础知识，考查同学们的空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力、逻辑推理能力，考查数形结合思想、化归与转化思想【此处有视频，请去附件查看】23.已知椭圆 ： （ ）的离心率为 ， ， ， ， 的面积为Cx2
30、a2+y2b2=1 ab0 32 A(a,0) B(0,b) O(0,0) OAB1.（1）求椭圆 的方程；C（2）设 是椭圆 上一点，直线 与 轴交于点 ，直线 与 轴交于点 ，求证：P C PA y M PB x N为定值 .|AN|BM|【答案】 （1） ；（2 ）详见解析.x24+y2=1【解析】试题分析：（）根据离心率为 ，即 ， OAB 的面积为 1，即 ，椭圆中32 ca=32 列方程组进行求解；（）根据已知条件分别求出 的值，求其乘17积为定值.试题解析：（）由题意得 解得 .所以椭圆 的方程为 .（）由（）知， ，设 ，则 .当 时，直线 的方程为 .令 ，得 ，从而 .直线
31、 的方程为 .令 ，得 ，从而 .所以.当 时， ，所以 .综上， 为定值.【考点】椭圆方程、直线与椭圆的位置关系、运算求解能力【名师点睛】解决定值、定点的方法一般有两种：(1)从特殊入手，求出定点、定值、定线，18再证明定点、定值、定线与变量无关；(2)直接计算、推理，并在计算、推理的过程中消去变量，从而得到定点、定值、定线.应注意到繁难的代数运算是此类问题的特点，设而不求方法、整体思想和消元思想的运用可有效地简化运算.【此处有视频，请去附件查看】24.已知函数 .f(x)=(x+1)lnxx+1（）若 ，求的取值范围；xf(x)x2+ax+1（）证明： .(x1)f(x)0【答案】 （）
32、， 2 分xf（x）=xlnx+1，题设 xf（x）x 2+ax+1 等价于 lnx-xa，令 g（x）=lnx-x，则 g（x）= 。 4 分当 00；当 x1 时，g （x）0，x=1 是 g（x）的最大值点，g（x）g（1）=-1。 6 分综上，a 的取值范围是-1,+） 。 7 分（）由（）知，g（x）g（1）=-1，即 lnx-x+10；当 0x1 时，f（x）=（x+1）lnx-x+1=xlnx+（lnx-x+1）0；10 分当 x1 时，f（x）=lnx+（xlnx-x+1）=lnx+x（lnx+ -1）0所以（x-1）f（x）0【解析】本试题主要考查了导数在研究函数中的运用，以及利用导数求解不等式，或者参数范围的运用。解：（） ，f(x)=x+1x +lnx1=lnx+1,xf(x)=xlnx+119题设 等价于 .xf(x)x2+ax+1 lnxxa令 ，则 g(x)=1x1当 ， ；当 时， ， 是 的最大值点，0 x 1 g(x) 0 x1 g(x)0 x=1 g(x)g(x)g(1)=1综上，的取值范围是 .()由（）知， 即 .当 时， ；当 时，所以【此处有视频，请去附件查看】
