1、1课时跟踪检测（二十） “专题五”补短增分（综合练）A 组易错清零练1(2018浙江嘉兴校级期中)已知直线 l1：ax(a2)y10，l 2：xay20，其中 aR，则“a3”是“l 1l 2”的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析：选 A 若 l1l 2，则 aa(a2)0，即 a(a3)0，解得 a0 或 a3，所以“a3”是“l 1l 2”的充分不必要条件故选 A.2已知双曲线 ： 1(a0，b0)，过双曲线 的右焦点 F，且倾斜角为 的x2a2 y2b2 2直线 l 与双曲线 交于 A，B 两点，O 是坐标原点，若AOBOAB，则双曲线 的离心
2、率为( )A. B.3 72 11 332C. D.3 396 1 174解析：选 C 由题意可知 AB 是通径，根据双曲线的对称性和AOBOAB，可知AOB 为等边三角形，所以 tanAOF ，整理得 b2 ac，由 c2a 2b 2，得b2ac 33 33c2a 2 ac，两边同时除以 a2，得 e2 e10，解得 e .故选 C.33 33 3 3963(2019 届高三西安八校联考)过点 P(2,1)作直线 l，使 l 与双曲线 y 21 有且x24仅有一个公共点，这样的直线 l 共有( )A1 条 B2 条C3 条 D4 条解析：选 B 依题意，双曲线的渐近线方程是 y x，点 P
3、在直线 y x 上12 12当直线 l 的斜率不存在时，直线 l 的方程为 x2，此时直线 l 与双曲线有且仅有一个公共点(2,0)，满足题意当直线 l 的斜率存在时，设直线 l 的方程为 y1k(x2)，即 ykx12k，由Error! 消去 y 得 x24(kx12k) 24，2即(14k 2)x28(12k)kx4(12k) 240，(*)若 14k 20，则 k ，12当 k 时，方程(*)无实数解，因此 k 不满足题意；12 12当 k 时，方程(*)有唯一实数解，因此 k 满足题意12 12若 14k 20，即 k ，此时 64k 2(12k) 216(14k 2)(12k) 21
4、0 不12成立，因此满足题意的实数 k 不存在综上所述，满足题意的直线 l 共有 2 条4已知椭圆 1 的离心率等于 ，则 m_.x24 y2m 32解析：当椭圆的焦点在 x 轴上时，则 a24，即 a2.又 e ，ca 32所以 c ，mb 2a 2c 24( )21.3 3当椭圆的焦点在 y 轴上时，椭圆的方程为 1.则 b24，即 b2.y2m x24又 e ，故 ，解得 ，即 a2b，ca 32 1 b2a2 32 ba 12所以 a4.故 ma 216.综上，m1 或 16.答案：1 或 165已知圆 C1：(x3) 2y 21 和圆 C2：(x3) 2y 29，动圆 M 同时与圆
5、C1及圆 C2外切，则动圆圆心 M 的轨迹方程为_解析：如图所示，设动圆 M 与圆 C1及圆 C2分别外切于 A 和 B 两点连接 MC1，MC 2.根据两圆外切的条件，得|MC1|AC 1|MA|，|MC2|BC 2|MB|.因为|MA|MB|，所以|MC 1|AC 1|MC 2|BC 2|，即|MC 2|MC 1|BC 2|AC 1|312.所以点 M 到两定点 C1，C 2的距离的差是常数3又根据双曲线的定义，得动点 M 的轨迹为双曲线的左支(点 M 与 C2的距离比与 C1的距离大)，可设轨迹方程为 1(a0，b0，x0，b0)的右支x2a2 y2b2与焦点为 F 的抛物线 x22py
6、(p0)交于 A，B 两点若|AF|BF|4|OF|，则该双曲线的渐近线方程为_解析：设 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，由抛物线的定义可知|AF|y 1 ，|BF|y 2 ，|OF| ，p2 p2 p2由|AF|BF|y 1 y 2 y 1y 2p4|OF|2p，得 y1y 2p.p2 p2kAB .y2 y1x2 x1 x22p x212px2 x1 x2 x12p由Error! 得 kAB ，则 ，y2 y1x2 x1 b2 x1 x2a2 y1 y2 b2a2 x1 x2p b2a2 x1 x2p x2 x12p ，故 ，b2a2 12 ba 22双曲线的渐近线方程为 y x
7、.22答案：y x22C 组创新应用练1在平面直角坐标系 xOy 中，设直线 yx2 与圆 x2y 2r 2(r0)交于 A，B 两点，O 为坐标原点，若圆上一点 C 满足 ，则 r( )OC 54OA 34OB A2 B.10 10C2 D.5 5解析：选 B 已知 ，OC 54OA 34OB 两边平方化简得 r2，OA OB 35所以 cosAOB ，所以 cos ，35 AOB2 55又圆心 O(0,0)到直线的距离为 ，|2|2 2所以 ，解得 r .2r 55 102(2018贵阳模拟)双曲线 1(a0，b0)的两条渐近线将平面划分为“上、x2a2 y2b26下、左、右”四个区域(不
8、含边界)，若点(2,1)在“右”区域内，则双曲线离心率 e 的取值范围是( )A. B.(1，52) (52， )C. D.(1，54) (54， )解析：选 B 依题意，注意到题中的双曲线 1 的渐近线方程为 y x，且x2a2 y2b2 ba“右”区域是由不等式组Error!所确定，又点(2,1)在“右”区域内，于是有 1 ，即 2ba ba，因此题中的双曲线的离心率 e .12 1 (ba)2 (52， )3(2018武汉调研)已知双曲线 1(a0，b0)的两条渐近线分别为x2a2 y2b2l1，l 2，经过右焦点 F 垂直于 l1的直线分别交 l1，l 2于 A，B 两点若|OA|，|
9、AB|，|OB|成等差数列，且 与 反向，则该双曲线的离心率为( )AF FB A. B.52 3C. D.552解析：选 C 设实轴长为 2a，虚轴长为 2b，令AOF，则由题意知 tan ，在baAOB 中，AOB1802，tanAOBtan 2 .|OA|，|AB|，|OB|成等差|AB|OA|数列，设|OA|md，|AB|m，|OB|md.OABF，(md) 2m 2(md) 2，整理得 d m，tan 2 ，解得 2 或 (舍去)，14 2tan 1 tan2 |AB|OA| m34m 43 ba ba 12b2a，c a，e .4a2 a2 5ca 54已知 F1，F 2分别为椭圆
10、 1(ab0)的左、右焦点，P 为椭圆上的一点x2a2 y2b2F1PF2中，F 1PF2的外角平分线为 l，点 F2关于 l 的对称点为 Q，F 2Q 交 l 于点 R.当点 P 在椭圆上运动时，求点 R 的轨迹方程解：如图，直线 l 为F 1PF2的外角平分线且点 F2与点 Q 关于直线l 对称，由椭圆的光学性质知，F 1，P，Q 三点共线根据对称性，7|PQ|PF 2|，所以|F 1Q|PF 1|PF 2|2a.连接 OR，因为 O 为 F1F2的中点，R 为 F2Q 的中点，所以|OR| |F1Q|a.设 R(x，y)，则 x2y 2a 2(y0)，故点 R 的轨迹方程为12x2y 2
11、a 2(y0)5(2019 届高三西安八校联考)已知椭圆 C： 1(ab0)经过(1,1)与x2a2 y2b2两点(62， 32)(1)求椭圆 C 的方程；(2)过原点的直线 l 与椭圆 C 交于 A，B 两点，椭圆 C 上一点 M 满足|MA|MB|.求证： 为定值1|OA|2 1|OB|2 2|OM|2解：(1)将(1,1)与 两点代入椭圆 C 的方程，(62， 32)得Error! 解得Error!椭圆 C 的方程为 1.x23 2y23(2)证明：由|MA|MB|，知 M 在线段 AB 的垂直平分线上，由椭圆的对称性知 A，B 关于原点对称若点 A，B 是椭圆的短轴顶点，则点 M 是椭
12、圆的一个长轴顶点，此时 1|OA|2 1|OB|2 2|OM|2 1b2 1b2 2a22 2.(1a2 1b2)同理，若点 A，B 是椭圆的长轴顶点，则点 M 在椭圆的一个短轴顶点，此时 1|OA|2 1|OB|2 2|OM|2 1a2 1a2 2b22 2.(1a2 1b2)若点 A，B，M 不是椭圆的顶点，设直线 l 的方程为 ykx(k0)，则直线 OM 的方程为 y x，1k设 A(x1，y 1)，则 B(x 1，y 1)，由Error!解得 x ，y ，2131 2k2 21 3k21 2k28|OA| 2|OB| 2x y ，21 213 1 k21 2k2同理|OM| 2 ，3 1 k22 k2 1|OA|2 1|OB|2 2|OM|22 2，1 2k23 1 k2 2 2 k23 1 k2故 2 为定值1|OA|2 1|OB|2 2|OM|2
