1、12018-2019 学年北京市东城区高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共 8 小题，共 40.0 分）1.若集合 A=x|-2 x0， B=-2，-1，0，1，2，则 A B=（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】直接利用交集运算得答案【详解】集合 表示 到 0 的所有实数，集合 表示 5 个整数的集合， ，故选 C【点睛】本题主要考查了交集的概念及其运算，是基础题2.下列复数为纯虚数的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】直接利用复数的运算对每个选项逐一求解即可得答案.【详解】 ， ， ， ，1+i2=11=0 i+i2=i1 11i=1
2、(ii2)=1+i (1i)2=12i+i2=2i为纯虚数的是 ，故选 D(1i)2【点睛】本题主要考查了复数的基本运算及基本概念，是基础题3.下列函数中，是奇函数且存在零点的是（ ）A. B. C. D. y=x3+x y=log2x y=2x2-3 y=2x【答案】A【解析】【分析】由函数的奇偶性及函数的零点可判断 为奇函数，且存在零点为 ， 为y=x3+x x=0 y=log2x2非奇非偶函数， 为偶函数， 不存在零点，故得解y=2x2-3 y=2x【详解】对于选项 A： 为奇函数，且存在零点为 x=0，与题意相符；y=x3+x对于选项 B： 为非奇非偶函数，与题意不符；y=log2x对
3、于选项 C： 为偶函数，与题意不符；y=2x2-3对于选项 D： 不存在零点，与题意不符，故选：Ay=2x【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性及函数的零点，熟练掌握常见初等函数的性质是解题的关键，属于简单题4.执行如图所示的程序框图，如果输入 ，则输出 的等于（ ）n=5、m=3 pA. 3 B. 12 C. 60 D. 360【答案】C【解析】【分析】通过程序框图，按照框图中的要求将几次的循环结果写出，得到输出的结果【详解】模拟执行程序，可得 ， ， ， ， ， n=5 m=3 k=1 p=1 p=3满足条件 ，执行循环体， ， ， kr=1 cos=2在 B 中， 是圆，不是直线，故 B 错
4、误； =2cos在 C 中， 即 ， cos=-1 x=-1圆心 到 的距离 ，故 是圆的切线，故 C 正确； (0,1) x=-1 d=1=r=1 cos=-1在 D 中， 即 ， sin=-1 y=-1圆心 到 的距离 ，故 不是圆的切线，故 D 错误 (0,1) y=-1 d=2r=1 sin=-1故选 C【点睛】本题考查圆的切线方程的判断，考查直角坐标方程、参数方程、极坐标方程的互5化等基础知识，考查运算求解能力，是基础题8.地震里氏震级是地震强度大小的一种度量地震释放的能量 E（单位：焦耳）与地震里氏震级 M 之间的关系为 lgE=4.8+1.5M已知两次地震的里氏震级分别为 8.0
5、 级和 7.5 级，若它们释放的能量分别为 E1和 E2，则 的值所在的区间为（ ）E1E2A. B. C. D. (1,2) (5,6) (7,8) (15,16)【答案】B【解析】【分析】先把数据代入已知解析式，再利用对数的运算性质即可得出【详解】 ，lgE=4.8+1.5M ， ，lgE1=4.8+1.58=16.8lgE2=4.8+1.57.5=16.05 ， ， ，E1=1016.8E2=1016.05E1E2=100.75 ， ， ，100.7590.75=31.5=3 35 (100.75)4=100064=1296 ，100.751 若 f（x）= ，则 Ff（1）=_；x21
6、+x2若 f（x）=e a-|x|-1，且对任意 xR，F f（x）=f（x） ，则实数 a 的取值范围为_【答案】 (1). (2). 12 (,ln2【解析】【分析】通过 的范围，可得 ，代入可得所求值；由题意可得 恒成立，运|f(x)| Ff(x)=f(x) |f(x)|1用绝对值不等式的性质和参数分离，以及函数的最值求法，可得的范围【详解】若 ，由 ，可得 ，成立，即有 ，则f(x)=x21+x2 |f(x)|1 x21+x2 Ff(x)=f(x)= x21+x2；Ff(1)=12若 ，且对任意 ， ，可得 恒成立，即为 ，f(x)=ea|x|1 xR Ff(x)=f(x) |f(x)
7、|1 1ea|x|11即有 ，可得 ，即 ，0ea|x|2 a|x|ln2 a|x|+ln2由 的最小值为 ，则 ，故答案为 ， |x|+ln2 ln2 aln212 (-,ln2【点睛】本题主要考查分段函数的运用：求函数值和解析式，考查变形能力和转化思想，9注意运用参数分离和绝对值不等式的性质，将问题转化为 恒成立是解决的关a|x|+ln2键，属于中档题三、解答题（本大题共 6 小题，共 80.0 分）15.在 ABC 中， 2csinAcosB=asinC（1）求 B 的大小；（2）若 ABC 的面积为 a2，求 cosA 的值【答案】 （1） ；（2）4 31010【解析】【分析】（1）
8、由正弦定理可得 ，结合范围 ，可求 的值；（2）利用三角形的面cosB=22 0x+1ex，求出 的导数，由函数的导数与函数单调性的关系分析可得其最大值，分析g(x)=x+1ex g(x)可得答案【详解】 （1）当 时， ，其导数 ， a=1 f(x)=xexx22x f(x)=ex(x+1)2x2 f(0)=1又因为 ，f(0)=0所以曲线 y=f（x）在点（0，f（0） ）处的切线方程为 ；y=x（2）根据题意，当 时，x0“曲线 y=f（x）在直线 的上方”等价于“ 恒成立” ，y=-x axexx22xx又由 x0，则 ，axexx22xxaexx10ax+1ex14则原问题等价于 恒
9、成立；ax+1ex设 ，则 ，g(x)=x+1ex g(x)=xex又由 ，则 ，则函数 在区间 上递减，x0 g(x)x+1ex a1即的取值范围为 1,+)【点睛】本题考查利用导数分析函数的切线方程以及最值，考查恒成立问题，正确分离参数是关键，也是常用的一种手段通过分离参数可转化为 或 恒成立，即ah(x) ahmax(x) ahmin(x) hmax(x) hmin(x)档题.19.已知椭圆 过点 P（2，1） C：x2a2+y22=1（1）求椭圆 C 的方程，并求其离心率；（2）过点 P 作 x 轴的垂线 l，设点 A 为第四象限内一点且在椭圆 C 上（点 A 不在直线 l 上），点
10、A 关于 l 的对称点为 A，直线 AP 与 C 交于另一点 B设 O 为原点，判断直线 AB 与直线 OP 的位置关系，并说明理由【答案】 （1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）将点 代入椭圆方程，求出，结合离心率公式即可求得椭圆的离心率；（2）设直线P， ，设点 的坐标为 ， ，分别求出 ，PA:y1=k(x2) PB:y1=k(x2) A (x1，y1) B(x2，y2) x1x2，根据斜率公式，以及两直线的位置关系与斜率的关系即可得结果.y1y2【详解】 （1）由椭圆方程椭圆 过点 P（2，1） ，可得 C：x2a2+y22=1 a2=8所以 ，c2=a22=82=6所以椭圆
11、 C 的方程为 + =1，离心率 e= = ，x28y22 622 32（2）直线 AB 与直线 OP 平行证明如下：15设直线 ， ，PA:y1=k(x2) PB:y1=k(x2)设点 A 的坐标为（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，由 得 ，x28+y22=1y=kx-2k+1 (4k2+1)x2+8k(12k)x+16k216k4=0 ，2x1=16k216k+44k2+1 x1=8k28k21+4k2同理 ，所以 ，x2=8k2+8k24k2+1 x1x2=16k4k2+1由 ，y1=kx12k+1 y2=kx1+2k+1有 ，y1y2=k(x1+x2)4k=8k4k2+1因
12、为 A 在第四象限，所以 ，且 A 不在直线 OP 上k0 ，kAB=y1y2x1x2=12又 ，故 ，kOP=12 kAB=kOP所以直线 与直线 平行AB OP【点睛】本题考查椭圆的简单性质，考查了直线与椭圆位置关系的应用，训练了斜率和直线平行的关系，是中档题20.对给定的 d N*，记由数列构成的集合 (d)=an|a1=1，|an+1|=|an+d|，nN*（1）若数列 an（2） ，写出 a3的所有可能取值；（2）对于集合 （ d） ，若 d2求证：存在整数 k，使得对 （ d）中的任意数列 an，整数 k 不是数列 an中的项；（3）已知数列 an， bn（ d） ，记 an， b
13、n的前 n 项和分别为 An， Bn若|an+1| bn+1|，求证： An Bn【答案】 （1）见解析；（2）见解析；（3）见解析【解析】【分析】（1）推导出 ， ， ， ，由此能求出 的所有可能取值；d=2 a1=1 a2=3 |a3|=|a2+d|=|a2+2| a3（2）先应用数学归纳法证明数列 ，则 具有 ， （ ）的形式，由此能an(d) an md1 mZ16证明取整数 ，则整数 均不是数列 中的项；（3）由 ，得：k=d k an |an+1|=|an+d|，从而 ，由此利用累加法得a2n+1=a2n+2and+d2 a 2n+1=a2n+2and+d2，从而 ，同理 ，由此能
14、证明 a2n+11=d2n+2Sn+2Snd An=a2n+12dnd2+12d Bn=b2n+12dnd2+12d AnBn【详解】 （1）由于数列a n（2） ，即 d=2，a 1=1由已知有|a 2|=|a1+d|=|1+2|=3，所以 a2=3，|a3|=|a2+d|=|a2+2|，将 a2=3 代入得 a3的所有可能取值为-5，-1，1，5 证明：（2）先应用数学归纳法证明数列：若a n（d） ，则 an具有 md1， （mZ）的形式当 n=1 时，a 1=0d+1，因此 n=1 时结论成立假设当 n=k（kN *）时结论成立，即存在整数 m0，使得 ak=m0d01 成立当 n=k
15、+1 时，|a n+1|=|m0d01+d0|=|（m 0+1）d 01|，ak+1=（m 0+1）d1，或 ak+1=-（m 0+1）1，所以当 n=k+1 时结论也成立由可知，若数列a n（d）对任意 nN *，a n具有 md1（mZ）的形式由于 an具有 md1（mZ）的形式，以及 d2，可得 an不是 d 的整数倍故取整数 k=d，则整数 k 均不是数列a n中的项（3）由|a n+1|=|an+d|，可得： = ，a2n+1a2n+2and+d2所以有 = +2and+d2，a2n+1a2n= +2an-1d+d2，a2na2n-1，a2n-1=a2n-2+2an-1d+d2= ，a22a21+2a1d+d2以上各式相加可得 ，a2n+1-1=d2n+2Sn+2Snd即 An= - ，同理 Bn= - ，17当 时，有 ，dN *， ， - ，【点睛】本题考查数列的第 项的所有可能取值的求法，考查数列不等式的证明，考查数学归纳法、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是难题
