1、- 1 -湖北省咸宁市 2018-2019 学年高二数学上学期期末考试试题 理考生注意: 考试时量为分钟,满分为分. 答题前,考生务必将自己的学校、姓名 、班级、准考证号填写在答题卡上.同时阅读答题卡上面注意事项. 所有题目答案均写在答题卡上.一、选择题(本大题共小题,每小题分,共分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的把正确的答案填在答题卡相应的位置上) x x已知命题 p: x ,总有( x)ex ,则 p 为( )A B x使得(x )ex使得(x )eC D x ,总有( x)ex x ,总有( x)ex已知空间向量 a (,),b (x, ,),且 a b,则 x (
2、)- 2 - A B C D 袋中装有红球个、 、 , , ( )白球 个黑球 个从中任取 个则互斥而不对立的两个事件是A 至少有一个白球;都是白球 B 至少有一个白球;至少有一个红球C 至少有一个白球;红、黑球各一个 D 恰有一个白球;一个白球一个黑球已知直线 l 过定点 P( ,),且与以 A( , ),B( , )为端点的线段(包含端点) 有交点,则直线 l 的斜率 k 的取值范围是( ) , ( ,)A B ( , , ) ( , ) (, )C D 某单位为了落实“绿水青山就是金山银山”理念,制定节能减排的目标,先调查了用电量 y (单位:度)与气温 x(单位: )之间的关系,随机选
3、取了天的用电量与当天气温,由表中: , : , ( )y x a 数据得线性回归方程 则由此估计 当气温为时 用电量约为x(单位: ) A y(单位:度) - 3 -B C D 度 度 度 度 已知圆C :x y x y,圆C :x y x y ,则圆 C与圆 C 的位置关系是( )A B C D相离 相交外切内切咸宁市高二理数期末试卷 第页 (共页 ) 某赛季甲、乙两名篮球运动员场比赛得分的茎叶图如右图所示,已知甲得分的极差为,乙得分的平均值为,则下列结论错误的是( )A xB 甲得分的方差是C 乙得分的中位数和众数都为乙得分的方差小于甲得分的方差如右图, A(,),B(,), P(,) A
4、B OB , D已知从点射出的光线经直线反射后再射到直线 上最后经直线 OB 反射后又回到 点, ( )- 4 -P则光线所经过的路程是ABCD 公元年左右,我国数学家刘徽发现,当圆内接多边形的边数无限增加时,多边形面积可无限逼近圆的面积,由此创立了割圆术,利用割圆术得到了圆周率精确到小数点后面两位的近似值,这就是著名的徽率如图是利用刘徽的割圆术设计的程序框图,则输出n 的值为( )sin sin (参考数据: , , )ABC - 5 -D x y a b 已知F, F 是双曲线 C: (a ,b )的左、右焦点,若直线 y x 与双曲线 C 交于 P,Q 两点,且四边形 PF QF 是矩形
5、,则双曲线的离心率为( )ABC D x y , , (, ) ,x y 满足约束条件 x y 若目标函数 z ax by a b 的最大值为 则 x ya b ( ) 的最小值为A , B p ( ) C , D , ,如图所示 过抛物线 x p 的焦点 F 的直线 l 交抛物线于点 A B 交其准线| | | | |l 于点 C,若 BC BF ,且 AF ,则此抛物线的方程为( )- 6 -A y xB y xC y xD y x咸宁市高二理数期末试卷 第页 (共页 )二、填空题(本大题共有小题,每小题分,共分把答案填在答题卷相应的位置上)x y x y 已知椭圆 与双曲线 m 有共同的
6、焦点 F, F,则 m 若“ x a”是“x x”成立的充分不必要条件,则实数 a 的取值范围是 从 , 中任取两个不同的数,则取出的个数之差的绝对值小于或等于的概率为 设集合 A( x,y)|m (x) y m, x,y R,B( x,y)| mx y m- 7 -, x,y R,若 A B ,则实数 m 的取值范围是 三、解答题(本大题共小题,共分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)(本小题满分分)已知 p:x R,ax x ,q:x, a x ()若 p 为真命题,求实数 a 的取值范围; ()若 p q 为真命题,且 p q 为假命题,求 a 的取值范围(本小题满分分)已知直线 x
7、 y与直线 x y交于点 P()求过点 P 且平行于直线 x y的直线方程;(结果写成直线方程的一般式) ()求过点 P 并且在两坐标轴上截距相等的直线方程(结果写成直线方程的一般式)(本小题满分分)某同学为了计算函数 yln x 图象与 x 轴,直线 x, x e 所围成形状 A 的面积,采用“随机模拟方法”,用计算机分别产生个在, e上的均匀随机数 xi( i)和个在,上的均匀随机数 yi( i),其数据记录为如下表的前两行- 8 -xi yi lnxi ()依据表格中的数据回答,在图形 A 内的点有多少个,分别是什么? ()估算图形 A 的面积(本小题满分分)某工厂有工人名,其中名工人参
8、加过短期培训(称为 A 类工人),另外名工人参加过长期培训(称为 B 类工人)现用分层抽样方法(按 A 类, B 类分两层)从该工厂的工人中共抽查 名工人,调查他们的生产能力 (生产能力指一天加工的零件数)从 A 类工人中抽查结果和从 B 类工人中的抽查结果分别如下表和表:咸宁市高二理数期末试卷 第页 (共页 )表:生产能力分组 , ) , ) , ) , ) , ) x 人数表:生产能力分组 , ) , ) , ) , )- 9 - y 人数()求 x,y 的值;()在答题纸上完成频率分布直方图;并根据频率分布直方图,估计该工厂 B 类工人生产能力的平均数(同一组中的数据用该区间的中点值作代
9、表)和中位数(结果均保留一位小数)(本小题满分分)- 10 -在 ABC 中, D,E 分别为 AB,AC 的中点, AB BC CD,如图以 DE 为折痕将ADE 折起,使点 A 到达点 P 的位置,如图()证明:平面 BCP平面 CEP; ()若平面 DEP平面 BCED,求直线 DP 与平面 BCP 所成角的正弦值(本小题满分分)C: (a b ) , Pa b 已知椭圆 x y 的离心率为 椭圆上动点 到一个焦点的距离的最小值为 ()()求椭圆 C 的标准方程;()已知过点 M(,)的动直线 l 与椭圆 C 交于 A,B 两点,试判断以 AB 为直径的圆是否恒过定点,并说明理由咸宁市高
10、二理数期末试卷 第页 (共页 )- 11 -湖北省咸宁市学年度上学期高二期末考试数学(理科)参考答案、提示及评分细则一、选择题(本题共小题,每小题分,共 分.) 题号A C C A A B B D B C B C答案二、填空题(本大题共有小题,每小题分,共分.)a , 三、解答题 (本大题共小题,共 分.) ()当 a 时, x 不恒成立,不符合题意;当 时a解得 综上所述 分a , , a , :a ( ) a - 12 - () x ,a x 则 a ( 分) 因为 p q 为真命题,且 q q 为假命题,所以 p 真 q 假或 p 假 q 真, a当 真假 有 即 分p q , , a
11、( ) a 当 假 真 有 a 则 无解 分p q , , a ( ) - 13 -a 综上所述, a ( 分) 联立 x y 解得 x 分 , , P(,) ( ) x y y ()设平行于直线 x y的直线l 的方程为 x y m ,把 P(,)代入可得: m ,解得 m 过点 P 且平行于直线 x y的直线l 的方程为 x y ( 分)() , : ( ) 当直线 l 经过原点时 可得方程为 y x 分 , : , (,) , - 14 - 当直线 l 不过原点时 可设方程为 y x a 把 P代入可得 a 可得 a 直线l 的方程为 x y ( 分) 综上可得:直线l 的方程为 x y
12、 或 x y ( 分) ()根据题意,画出图形,如图所示:由 yiln xi 得表格中的数据满足条件的点,即在图形 A 内的点有个,分别是(,),(,),(,),(,),(,),(,); (分)()由()知,表中个点( xi,yi)满足 yi f(xi)的点有个,咸宁市高二理数期末测试卷参考答案 第页 共页- 15 -记 A 的面积为 S, S , e 即估计图形 A 的面积为 (e) (分)()由题意知 A 类工人中应抽查名, B 类工人中应抽查名故 x,得 x, y,得 y (分) ()频率分布直方图如下: (分) xB - 16 - 中位数为 即平均数为,中位数为 (分)()证明:在题图
13、中,因为 AB BC CD,且 D 为 AB 的中点由平面几何知识,得 ACB 又因为 E 为 AC 的中点,所以 DE BC ( 分) 在题图 中, CE DE,PE DE,且 CE PE E,所以 DE 平面 CEP, ( 分) 所以 BC 平面 CEP又因为 BC 平面 BCP,所以平面 BCP 平面 CEP ( 分) ()因为平面 DEP 平面 BCED,平面 DEP 平面 BCED DE,EP平面 DEP,EP DE- 17 -所以 EP平面 BCED又因为 CE平面 BCED,EP CE E , , ,所以 以 为坐标原点 分别以 ED EC EP 的方向为 x、 、 轴 y 轴
14、z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系 ( 分) 在题图 中,设 BC a, 则 AB a,AC a,AE CE a,DE a则 P(, a),D(a,),C(, a,),B(a, a,) ( , ), ( ,), (, , ) 所以 DP a a BC a CP a a 设 为平面 的法向量 则 n , 即 ,BC ax y( , ,) , , n x z BCP , n CP ay az - 18 -令 y ,则 z 所以 n (,) ( 分) 设 DP 与 BCP 平面所成的角为 ,咸宁市高二理数期末测试卷参考答案 第页 共页 DP a n n, ( )则sin cos DP DP
15、a 分n 所以直线 DP 与平面 BCP 所成角的正弦值为 (分)()由题意 ac ,故 a c,又椭圆上动点 P 到一个焦点的距离的最小值为(),所以 a c,解得 c, a,所以 b a c,所以椭圆 C 的标准方程为 x y (分)- 19 - ()当直线 l 的斜率为时,令 y,则 x,此时以 AB 为直径的圆的方程为 x ( y) 当直线 l 的斜率不存在时,以 AB 为直径的圆的方程为 x y ,联立 x( y) ,解得 x, y,即两圆过点 T(,) (分) x y 猜想以 AB 为直径的圆恒过定点 T(,)对一般情况证明如下:设过点 M(,)的直线 l 的方程为 y kx与椭圆 C 交于A( , ), ( , ),x y B x y则 整理得y kx , x y , ( k )x kx ,所以xxk ,xx k k ( )- 20 -(,)(,) 因为 TA TB x x xx y y yy y yx x(kx)(kx ) (kx kx )(k)x xk(x x) (k ) k ( k ) k k k, 所以 TA TB所以存在以 AB 为直径的圆恒过定点 T,且定点 T 的坐标为(,) (分)
