1、- 1 -三湘名校教育联盟 2019 届高三第一次大联考理科数学本试卷共 4 页。全卷满分 150 分，考试时间 120 分钟。注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合 A= 1,则 = 183|2x12|xBAA. (1,3
2、) B. (1,6) C. (2,3) D. (2,6)2.已知复数 z 满足 ，则其共轭复数 的虚部为iizA.-2 B.-1 C.1 D.23.设向量 ，则下列结论中正确的是 )21,(),0(baA.a/b B.(a+b)丄 b C.(a-b)丄 b D.|a-b|=|b|4.已知 x，y 满足约束条件 ,则的最小值为0123yxA. B. 1 C. D.2235.“ ”是“函数 为奇函数”的a )lg()2axxfA.充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D.既不充分也不必要条件6.如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为- 2
3、-A.8 B.16 C.24 D.487.设 ,则2ln1,)1(43,0221cdxbaA. ab0)的一个焦点 F 向其一条渐近线引垂线，垂足为 E，0 为12byax坐标原点，若OEF 的面积为 1，其外接圆面积为 ，则 C 的离心率为45A. B. C.2 D. 253510.设 0， 0,将函数 的图像向左平移 个单位长度得到图像 C1，将函数xfsin)(的图像向右平移 个单位长度得到图像 C2，若 C1与 C2重合，则)6cos()xgA. B. C. D. 232111.在正方体 ABCD-A1B1C1D1中，三棱锥 A1-BC1D 内切球的表面积为 ，则正方体外接球的体4积为
4、 - 3 -A. B. C. D. 683326412.已知函数 ，若 且 ，则 的最小值为0,12)(xexf nm)(nffmA. B. C. D. 212lglgl二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13.若 的展开式中 的系数为-20,则 a = .6)(ax3x14. 抛物线 (p0)上纵坐标为 4 的点 A 到其焦点 F 的距离为 5,则点 A 到原点的距py2离为 .15.函数 在区间 上的值域为 .xxfcossin)(,016.已知 a,b,c 分别为ABC 内角 A,B,C 的对边， ，则ABC 的BAba2sinco,362面积为 .三、解答题：共
5、 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。()必考题：共 60 分。17.(12 分）已知等比数列a n的各项均为正数，其前 n 项和为 Sn，且 .123nna(1)是否存在常数 ，使得 ?请说明理由；naa12)(2)求数列a n的通项公式及其前 n 项和.18. (12 分）如图，四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 为正方形，PA 丄底面 ABCD,且 PA=2AB，F 是 AB 的中点，点 E 在线段 PC 上，且 PE 丄 .PC31（1）证明：平面丄平面 ABCD;（2）
6、求二面角 B-AE-D 的余弦值.19.(12 分）随着生活节奏的加快以及智能手机的普及，外卖点餐逐渐成为越来越多用户的餐饮消费习惯，由此催生了一批外卖点餐平台。已知某外卖平台的送餐费用与送餐距离有关（该平台- 4 -只给 5 千米范围内配送），为调査送餐员的送餐收入，现从该平台随机抽取 80 名点外卖的用户进行统计，按送餐距离分类统计结果如下表：以这 80 名用户送餐距离位于各区间的频率代替送餐距离位于该区间的概率。（1）若某送餐员一天送餐的总距离为 80 千米，试估计该送餐员一天的送餐份数；（2）若该外卖平台给送餐员的送餐费用与送餐距离有关，规定 1 千米内为短距离，每份 3元， 2 千米
7、到 4 千米为中距离，每份 5 元，超过 4 千米为远距离，每份 9 元。(i)记 X 为送餐员送一份外卖的收入（单位：元），求 X 的分布列和数学期望；(ii)若送餐员一天的 0 标收入不低于 150 元，试估计一天至少要送多少份外卖？20.(12 分）已知椭圆 C: (ab0)的上顶点 E 与其左、右焦点 F1、F 2构成面积为 1 的直12byax角三角形。（1）求椭圆 C 的方程；（2）过点 F2的直线 交 C 于 A（ )，B( )两点，P 是 C 上的动点，当 吋，l1,yx2, 312x求PAB 面积的最大值。21.(12 分）设函数 ，曲线 在点（0, )处的切线方程为：)1l
8、n()(xbaexfx )(xfy0(f.12y（1）求 的值；,（2）若当 时， ,求 的取值范围.0xmxf1)(二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。22.选修 4-4:坐标系与参数方程(10 分）- 5 -在直角坐标系 中，曲线 C1: ，以 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，xOy42yx曲线 C2是圆心极坐标为（3， )，半径为 1 的圆。（1）求曲线 C1的参数方程和 C2的直角坐标方程；（2）设 M，N 分别为曲线 C1、C 2上的动点，求|MN|的取值范围.23.选修 4 一 5 :不等式选讲(10 分）已知函数 .|)(xxf（1）求不等式 0 的解集；（2）若关于 的不等式 有解，求实数 的取值范围.x |5|3)(|12| xfmm- 7 - 9 - 9 - 9 -
