1、第五章 一元一次方程,初中数学（北师大版）七年级 上册,知识点 行程问题,重要提示 在解有关行程问题时,可画线段示意图找出等量关系,从而 列出方程. 例 甲、乙两站的距离为360千米,一列快车从乙站开出,每小时行驶72 千米;一列慢车从甲站开出,每小时行驶48千米,请问: (1)两列火车同时开出,相向而行,经过多少小时两车相遇? (2)快车先开25分钟,两车相向而行,慢车行驶多少小时两车相遇?,解析 (1)设经过x小时两车相遇,则慢车行驶了48x千米,快车行驶了72x 千米, 依题意,得48x+72x=360, 合并同类项,得120x=360, 系数化为1,得x=3. 答:经过3小时两车相遇.
2、,题型一 错车问题 例1 在一段双轨铁道上,两辆火车迎头驶过,A列车车速为20米/秒,B列 车车速为25米/秒,若A列车全长200米,B列车全长160米,求两列车错车的 时间为多少秒.,解析 设两车错车的时间为x秒, 根据题意,得20x+25x=200+160, 解得x=8. 答:两列车错车时间为8秒. 点拨 错车问题: (1)迎面行驶:两车路程之和=两车身长之和; (2)同向行驶:快车路程-慢车路程=两车身长之和.,题型二 火车过桥(隧道)问题 例2 一座铁路桥长1 200 m,现有一列火车从桥上通过,测得火车从上桥 到完全通过桥共用时50 s,整个火车在桥上的时间为30 s,求火车的长度
3、和速度.,设火车长x m. 依题意得 = , 解得x=300. 则火车的速度为 =30(m/s). 答:火车的长度为300 m,速度为30 m/s.,知识点 行程问题 1.甲、乙两人练习赛跑,甲每秒跑7 m,乙每秒跑6.5 m,甲让乙先跑5 m,设 x s后甲可追上乙,则下列四个方程中不正确的是 ( ) A.7x=6.5x+5 B.7x+5=6.5x C.(7-6.5)x=5 D.6.5x=7x-5,答案 B 题中的相等关系为:甲x秒跑的路程=乙x秒跑的路程+5 m,根 据题意得7x=6.5x+5,故A正确;C、D选项都是通过A选项变形而来的,故 C、D正确.故选B.,2.(2016广东肇庆端
4、州西区期末)轮船沿江从A港顺流行驶到B港,比从B 港返回A港少用3小时,若船速为26千米/时,水速为2千米/时,求A港和B港 相距多少千米.设A港和B港相距x千米.根据题意,可列出的方程是 ( ) A. = -3 B. = +3 C. = +3 D. = -3,答案 A v顺流=v船+v水=28千米/时,v逆流=v船-v水=24千米/时,顺流时间: 小 时,逆流时间: 小时,两者时间差为3小时.故选A.,3.甲、乙两人相距22.5 km,分别以2.5 km/h,5 km/h的速度相向而行,同时 甲所带的小狗以15 km/h的速度奔向乙,遇到乙后立即掉头奔向甲,遇到 甲后又奔向乙,遇到乙后立即奔
5、向甲直到甲、乙相遇,求: (1)多长时间后两人相遇; (2)两人相遇时小狗所走的路程.,解析 (1)设甲、乙x小时后相遇,根据题意,得 2.5x+5x=22.5, 解得x=3. 答:3小时后两人相遇. (2)153=45(km). 答:两人相遇时小狗走了45 km.,4.某行军纵队以7千米/时的速度行进,队长200米.队尾的通信员以11千 米/时的速度赶到队伍的最前面送一封信,求他所用的时间是多少分钟.,解析 设通信员所用时间为x小时,根据题意,得 11x-7x= , x=0.05,0.0560=3. 答:通信员送信用了3分钟.,1.小明和小亮在长为400米的圆形跑道上练习长跑.小亮每分钟跑3
6、20米, 小明每分钟跑240米,如果两人同时由同一起点出发,同向跑步,经过 分钟两人首次相遇.,答案 5,解析 设经过x分钟两人首次相遇,根据题意得320x-240x=400,解得x=5.,2.一架飞机在两城之间飞行,顺风时用时5 h,逆风时用时6 h,已知风速是 24 km/h,求两城间的距离.,解析 设飞机在静风中的速度为x km/h,由题意,得 5(x+24)=6(x-24). 解得x=264. 故两城间的距离是(264+24)5=1 440(km).,3.甲、乙从相距110千米的两地同时相向而行,经10小时后相遇,甲的速 度比乙的速度每小时快1千米,求甲、乙的速度.,解析 设甲的速度为
7、x千米/时,则乙的速度为(x-1)千米/时,根据题意得1 0(x+x-1)=110,解得x=6,x-1=5. 答:甲的速度为6千米/时,乙的速度为5千米/时.,4.甲、乙两站相距180 km,一辆速度为40 km/h的货车从甲站开出,一辆 速度为48 km/h的客车从乙站开出. (1)若两辆车同时同向而行,客车在货车后方,则几小时后客车可以追上 货车? (2)若客车开出40分钟后货车开出,两车同向而行,客车在货车后方,则货 车开出几小时客车可以追上货车?,解析 (1)设x小时后客车追上货车. 根据题意得48x-40x=180, 解得x=22.5. 答:22小时30分钟后客车可以追上货车. (2
8、)设客车开出y小时追上货车. 根据题意得48y-40 =180, 解得y=19 , 又因为客车开出40分钟后货车才开出,所以货车开出18小时30分钟后客 车追上货车.,1.一对父子在同一个工厂工作,父亲从家走到工厂需用30分钟,儿子走这 段路只需20分钟,父亲比儿子早5分钟动身,儿子追上父亲需要的时间为 ( ) A.5分钟 B.10分钟 C.15分钟 D.20分钟,答案 B 设家到工厂的距离为s米,则父亲的速度为 米/分钟,儿子的 速度为 米/分钟,设儿子追上父亲需要的时间为 x分钟,则有(x+5) =x ,即 = ,解得x=10. 故儿子追上父亲需要的时间为10分钟.,2.汽车以每小时72千
9、米的速度在公路上行驶,开向寂静的山谷,驾驶员按 一声喇叭,4秒后听到回音,这时汽车离山谷多远?(声音的速度以340米/ 秒计算),解析 设听到回声时汽车距山谷x米, 单位换算72 km/h=20 m/s, 由已知可得3404-204=2x, 解得x=640. 答:汽车离山谷640米.,3.(2017北京房山终结性检测)如图5-6-1所示,已知数轴上有A、B、C三 点,分别表示有理数-26,-10,10,动点P从A点出发,以每秒1个单位长度的 速度向C移动.当点P运动到B点时,点Q从A点出发,以每秒3个单位长度 的速度向C点运动,问当点Q从A点出发几秒时,点P和点Q相距2个单位 长度?直接写出此
10、时点Q在数轴上表示的有理数.图5-6-1,解析 有两种情况: 点Q追上点P之前相距2个单位长度. 设此时点Q从A点出发t秒,依题意,得(16+t)-3t=2. 解得t=7. -26+37=-5. 此时点Q在数轴上表示的有理数为-5. 点Q追上点P之后相距2个单位长度. 设此时点Q从A点出发m秒,依题意,得3m-(16+m)=2,解得m=9. -26+39=1. 此时点Q在数轴上表示的有理数为1. 综上所述,当点Q从A点出发7秒或9秒时,点P和点Q相距2个单位长度,此 时点Q在数轴上表示的有理数分别为-5或1.,1.某行军纵队以8千米/时的速度行进,队尾的通信员以12千米/时的速度 赶到队伍的最
11、前面,再以同样的速度返回队尾,共用时18分钟,求队伍的长.,解析 设队伍长x千米,根据题意,得+ = , 解得x=1. 答:队伍长1千米.,2.隧道长300米,火车通过隧道用时25秒,全车都在隧道内的时间为5秒, 求车长和车速.,解析 设火车车身长x长,根据题意,得= , 300+x=5(300-x), x=200, 车速为 =20 m/s. 答:火车车身长200 m,车速为20 m/s.,解析 设经过t小时两车相距50千米. 当甲、乙两车未相遇时,两车相距50千米,根据题意,得 120t+80t=450-50, 解得t=2. 当两车相遇后,两车又相距50千米时,根据题意,得 120t+80t
12、=450+50, 解得t=2.5. 答:经过2小时或2.5小时两车相距50千米.,2.(2017江西抚州期末,19,)甲、乙两人同时从A地前往相距28千 米的B地,甲骑自行车,乙步行,甲的速度比乙的速度的2倍快2千米/时,甲 先到达B地后,立即由B地返回,在途中遇到乙,这时距他们出发已过4小 时,求两人的速度.,解析 设乙的速度为x千米/时,则甲的速度为(2x+2)千米/时. 根据题意得4x+(2x+2)=282, 解得x=4,则2x+2=10. 答:甲的速度为10千米/时,乙的速度为4千米/时.,3.(2017辽宁大石桥金桥管理区中学期末,23,)如图5-6-2所示,已 知数轴上点A表示的数
13、为8,B是数轴上一点,且AB=14,动点P从点A出发, 以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动,设运动时间为t(t0)秒. (1)数轴上点B表示的数为 ,点P表示的数为 (用含t的式 子表示); (2)动点H从点B出发,以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动, 若点P,H同时出发,问点P运动多少秒时追上点H?图5-6-2,解析 (1)-6;8-5t. (2)设点P运动x秒时追上点H,则3x+14=5x,解得x=7,所以点P运动7秒时 追上点H.,1.(2017安徽宿州埇桥期末,24,)从甲地到乙地,公共汽车原需行驶 7个小时,开通高速公路后,车速平均每小时增加了20千米,只需5个小时
14、即可到达,求甲、乙两地的路程.,解析 设甲、乙两地的路程为x千米, 根据题意得, - =20. 解得x=350. 答:甲、乙两地的路程为350千米.,2.(2017重庆石柱中学第二次月考,23,)由甲地到乙地前三分之二 的路是高速公路,后三分之一的路是普通公路,高速公路和普通公路交 界处是丙地.A车在高速公路和普通公路上的行驶速度都是80千米/时;B 车在高速公路上的行驶速度是100千米/时,在普通公路上的行驶速度是 70千米/时,A、B两车分别从甲、乙两地同时出发相向行驶,在高速公路 上距离丙地40千米处相遇,求甲、乙两地之间的距离是多少.(10分),解析 设甲、乙两地之间的距离是x千米,根
15、据题意得= + , 解得x=252. 答:甲、乙两地相距252千米.,答案 B 设小明乘出租车行驶的里程为x千米,根据题意得5+1.6(x-3)= 11.4,解得x=7.故符合条件的是B选项.,2.(2017湖南长沙中考,11,)中国古代数学著作算法统宗中有 这样一段记载:“三百七十八里关,初日健步不为难,次日脚痛减一半,六 朝才得到其关.”其大意是:有人要去某关口,路程为378里,第一天健步 行走,从第二天起,由于脚痛,每天走的路程都为前一天的一半,一共走了 六天才到达目的地,则此人第六天走的路程为 ( ) A.24里 B.12里 C.6里 D.3里,答案 C 设第一天走了x里,根据题意可得
16、x 1+ + + + + =37 8,解得x=192,故第六天走的路程为 192=6里.,1.(2017浙江台州中考,9,)滴滴快车是一种便捷的出行工具,其计 价规则如下表:,小王与小张各自乘坐滴滴快车,行车里程分别为6公里与8.5公里,如果下 车时两人所付车费相同,那么这两辆滴滴快车的行车时间相差 ( ) A.10分钟 B.13分钟 C.15分钟 D.19分钟,答案 D 设小王的行车时间为x分钟,小张的行车时间为y分钟,由题意 得1.86+0.3x=1.88.5+0.3y+0.8(8.5-7),10.8+0.3x=16.5+0.3y,0.3(x-y)=5.7, x-y=19,故选D.,2.(
17、2015广西柳州中考,20,)如图所示,小黄和小陈观察蜗牛爬行, 蜗牛在以A为起点沿直线匀速爬向B点的过程中,到达C点时用了6分钟, 那么还需要多长时间才能到达B点?,解析 由题图设A、B之间的距离为5个单位长度,并设蜗牛还需要x分 钟到达B点,由题意得 (6+x) =5,解得x=4. 答:蜗牛还需要4分钟到达B点.,1.王老师上班途中要经过一个只许单向通过的窄道口,通常情况下,这个 窄道口每分钟可以通过9人.一天,王老师到达道口时,发现由于拥挤,每 分钟只能3人通过道口,此时,他前面还有36个人等待通过(假定先到的 先过,王老师过道口的时间忽略不计),通过道口后,还需7分钟到达学校. (1)
18、此时,若绕道而行,要15分钟到达学校,从节省时间方面考虑,王老师应 选择绕道去学校,还是选择通过拥挤的道口去学校? (2)若在王老师等人的维持秩序下,几分钟后,秩序恢复正常(维持秩序期 间,每分钟仍有3人通过道口),结果王老师比拥挤的情况下提前了6分钟 通过道口,问维持秩序的时间是多少?,解析 (1)363=12(分钟),12+7=19(分钟),1915, 所以应该选择绕道去学校. (2)设维持秩序的时间为x分钟,根据题意得 3x+9(12-6-x)=36,解得x=3. 答:维持秩序的时间是3分钟.,解析 (1)AB,BC,DA三段用时为 (1.7+1.8+1.1)2=2.3(小时). 在景点
19、停留时间为0.42=0.8(小时), 所以CD段用时3.4-2.3-0.8=0.3(小时), 故C,D间的路程为0.32=0.6(千米). (2)由题意知1.7 23.5,所以小新有两种方案. 方案1:小新依着原路追赶, 设小新花了x小时, 则3x=20.8+2(x-0.4), 解得x=0.8.,方案2:小新走AC后,与小明相向而行, 设小新花了y小时,则3y+20.8+2(y-0.4)=1.7+1.8+1.4, 解得y=0.82. 因为0.820.8, 所以小新最快用0.8小时遇到小明. 答:小新最快用0.8小时遇到小明.,(2016山西太原五中阶段考试)某中学租用两辆汽车(设速度相同)同时
20、 送1名带队老师及7名九年级的学生到县城参加数学竞赛,每辆限坐4人 (不包括司机).其中一辆汽车在距离考场15 km的地方出现故障,此时离 截止进考场的时间还有42 min.这时唯一可利用的交通工具是另一辆汽 车,且这辆车的平均速度是60 km/h,人步行的速度是5 km/h(上、下车时 间忽略不计). (1)若用汽车送4人到达考场,然后回到出故障处接其他人,请你通过计算 说明他们能否在截止进考场的时间前到达考场; (2)假如你是带队的老师,请你设计一种运送方案,使他们能在截止进考 场的时间前到达考场,并通过计算说明方案的可行性.,解析 (1)t= = h=15 min. 故由距考场15 km的地方到达考场需15 min. 若用汽车送4人到达考场,再回出故障处接人,需152=30 min. 故最后到达考场时间共需15+30=45 min42 min. 故在截止进考场的时间前不能到达考场. (2)设计运送方案:汽车出故障后,车上的人先步行前往考场等另一辆汽 车来接,再坐汽车到达考场. 设汽车接到人需x小时. 由题意得(60+5)x=152, 解得x= .,此时,步行路程为5 = (千米), 接到人后回到考场需 = 小时. 故共用时间为 + = 小时= min42 min. 故此方案可行.,
