1、初中数学（北师大版）八年级 上册,第一章 勾股定理,1 探索勾股定理,知识点一 勾股定理的探索探索勾股定理的方法,1 探索勾股定理,1 探索勾股定理,答案 (1)16;16 (2)9;9 (3)25 (4)SA+SB=SC,1 探索勾股定理,知识点二 验证勾股定理,1 探索勾股定理,常见的几种验证方法如下表:,1 探索勾股定理,1 探索勾股定理,1 探索勾股定理,1 探索勾股定理,知识点三 勾股定理及其简单应用,1 探索勾股定理,例3 如图1-1-4所示,隔湖有A、B两点,ABBC于点B,测得AC=50米,BC =40米.求A、B两点间的距离.你能求出B点到直线AC的距离吗?图1-1-4,1
2、探索勾股定理,解析 由题意知ABC是直角三角形,由勾股定理知AC2=BC2+AB2, AC=50米,BC=40米, AB2=AC2-BC2,AB=30米. 如图1-1-5所示,过B点作BDAC于点D,图1-1-5 BD的长度即为B点到直线AC的距离. ABC的面积= ABBC= ACBD,1 探索勾股定理,ABBC=ACBD, BD= = =24(米). 答:A、B两点间的距离为30米,B点到直线AC的距离为24米.,1 探索勾股定理,题型 利用勾股定理求三角形边长 例 在ABC中,角A,B,C所对边的长分别为a,b,c,C=90. (1)若a=6,b=8,则c= ; (2)若a=5,c=13
3、,则b= ; (3)若c=34,ab=815,则a= ,b= .,1 探索勾股定理,解析 (1)已知两直角边长a、b,则由c2=a2+b2=62+82=100,得c=10(舍负). (2)已知直角三角形的斜边长c和一条直角边长a, 则由b2=c2-a2=132-52=144,得b=12(舍负). (3)因为ab=815,所以可设a=8k,b=15k(k0), 因为C=90,c=34,所以c2=a2+b2,即342=(8k)2+(15k)2. 所以k=2(舍负).所以a=16,b=30.,答案 (1)10 (2)12 (3)16;30,点拨 在直角三角形中,已知斜边长及两条直角边长的比,设出两条
4、直 角边长,用一个参数表示,结合勾股定理可求出两直角边长.,1 探索勾股定理,知识点一 勾股定理的探索 1.测量你的两块直角三角尺的三边的长度,并将各边的长度填入下表:,根据已经得到的数据,请猜想三边的长度a、b、c之间的关系.,解析 根据实际测量结果猜想a2+b2=c2,注意测量值均为近似值.,1 探索勾股定理,1 探索勾股定理,答案 C 大正方形的面积可以表示为c2, 也可以表示为 ab4+(b-a)2,c2= ab4+(b-a)2, 即c2=2ab+b2-2ab+a2,c2=a2+b2.,1 探索勾股定理,知识点三 勾股定理及其简单应用 3.如图1-1-2,阴影部分是一个正方形,该正方形
5、的面积为 ( )图1-1-2 A.25 cm2 B.5 cm2 C.313 cm2 D.20 cm2,答案 A 设正方形的边长为a cm,由勾股定理得a2=132-122=25,a=5, 即正方形的边长为5,故正方形的面积为55=25(cm2).,1 探索勾股定理,4.(2013四川资阳中考)如图1-1-3,点E在正方形ABCD内,满足AEB= 90,AE=6,BE=8,则阴影部分的面积是 ( )图1-1-3 A.48 B.60 C.76 D.80,1 探索勾股定理,答案 C AEB=90,AE=6,BE=8, 在RtABE中,AB2=AE2+BE2=100, S阴影=S正方形ABCD-SAB
6、E=AB2- AEBE=100- 68=76,故选C.,1 探索勾股定理,1.如图,已知三个正方形中的两个正方形的面积分别为S1=25,S3=169,则 另一个正方形的面积S2为 .,答案 144,解析 由S1+S2=S3得S2=S3-S1=169-25=144.,1 探索勾股定理,2.如图是一个外轮廓为长方形的机器零件平面示意图,根据图中的尺寸 (单位:mm)计算知两圆孔中心A和B的距离为 .,答案 100 mm,解析 在RtABC中,AC=120-60=60(mm),BC=140-60=80(mm),AB2 =AC2+BC2=10 000,AB=100 mm, 两圆孔中心A和B的距离为10
7、0 mm.,1 探索勾股定理,3.(2016江西宜春高安期中)已知RtABC中,C=90,a+b=14,c=10,则 RtABC的面积等于 .,答案 24,解析 在ABC中,C=90, a2+b2=c2,即(a+b)2-2ab=c2, a+b=14,c=10, 196-2ab=100,即ab=48, 则RtABC的面积为 ab=24.,1 探索勾股定理,1 探索勾股定理,答案 A 在RtABC中,AB2=AC2+BC2=42=16, S1= = AC2, S2= = BC2, S1+S2= (AC2+BC2)= 16=2.,1 探索勾股定理,2.(2017广西防城港期中)如图1-1-5,在Rt
8、ABC中,ACB=90,若AB=15, 则正方形ADEC和正方形BCFG的面积和为 ( )图1-1-5 A.225 B.200 C.250 D.150,答案 A 正方形ADEC的面积为AC2,正方形BCFG的面积为BC2.在 RtABC中,AB2=AC2+BC2,AB=15,则AC2+BC2=225.故选A.,1 探索勾股定理,3.一直角三角形的三边长分别为2、3、x,那么以x为边长的正方形的面 积为 .,答案 13或5,解析 以x为边长的正方形的面积为x2.当2和3都是直角边时,x2=4+9=1 3;当3是斜边时,x2=9-4=5.故答案为13或5.,1 探索勾股定理,1 探索勾股定理,答案
9、 (a-b)2;c2-2ab;a2+b2=c2,解析 由题意知,小正方形的边长为a-b,因此小正方形的面积=边长边 长=(a-b)2;小正方形的面积还可以表示为大正方形的面积-4个直角三角 形的面积.而4个直角三角形的面积=4 ab=2ab,大正方形的面积=c2,所 以小正方形的面积=c2-2ab.因此(a-b)2=c2-2ab,整理得a2+b2=c2.,1 探索勾股定理,1 探索勾股定理,答案 D 设正方形A,B,C围成的直角三角形的三条边长分别是a,b,c. 如图,根据勾股定理,得a2+b2=c2,一次“生长”后,SA+SB=SC=1.第二次“生 长”后,SD+SE+SF+SG=SA+SB
10、=SC=1,推而广之,“生长”了2 017次后形成的 图形中所有的正方形的面积和是2 0181=2 018.故选D.,1 探索勾股定理,2.(2015贵州遵义中考)我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理,创制了 一幅“弦图”,后人称其为“赵爽弦图”(如图(1),图(2)由弦图变化得 到,它是由八个全等的直角三角形拼接而成,记图中正方形ABCD、正方 形EFGH、正方形MNKT的面积分别为S1、S2、S3.若正方形EFGH的边 长为2,则S1+S2+S3= .,1 探索勾股定理,答案 12,解析 设AH=a,AE=b,EH=c,则c=2且a2+b2=c2,所以S1+S2+S3=(a+b)2+c2+(
11、a -b)2=2(a2+b2)+c2=3c2=322=12.,1 探索勾股定理,3.已知:如图,以RtABC的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形.若 AB=3,则图中阴影部分的面积为 .,答案,解析 因为ACH为直角三角形, 所以AH2+HC2=AC2. 又因为AH=HC,1 探索勾股定理,1 探索勾股定理,一、选择题 1.(2018云南文山广南月考,3,)已知一个直角三角形三边长的平 方和为800,则斜边长为 ( ) A.10 B.20 C.30 D.40,答案 B 设直角三角形的两直角边长分别为a,b,斜边长为c, 根据勾股定理得a2+b2=c2, a2+b2+c2=800,2c2=800
12、, c2=400,c=20.,1 探索勾股定理,2.(2018江苏张家港梁丰期中,2,)在RtABC中,斜边AB=2,则AB2+ BC2+AC2的值是 ( ) A.2 B.4 C.8 D.6,答案 C 因为AB2=BC2+AC2,所以AB2+BC2+AC2=AB2+AB2=2AB2=222= 8.,1 探索勾股定理,3.(2017天津武清期中,10,)如图1-1-7,“赵爽弦图”是由四个全 等的直角三角形和一个小正方形构成的大正方形,若直角三角形的两直 角边长分别为5和3,则小正方形的面积为 ( )图1-1-7 A.4 B.3 C.2 D.1,1 探索勾股定理,答案 A 解法一:3和5为两条直
13、角边长, 小正方形的边长=5-3=2, 小正方形的面积为22=4.故选A. 解法二:设直角三角形的斜边长为c,即大正方形的边长为c,由勾股定理 得c2=52+32=34,小正方形的面积为34-4 53=4.,1 探索勾股定理,二、填空题 4.(2016福建南平松溪期中,16,)如图1-1-8所示的图形中,所有的 四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,其中最大的正方形 的边长为5,则正方形A,B,C,D的面积和为 .图1-1-8,1 探索勾股定理,答案 25,解析 如图,SA+SB=SE,SC+SD=SF,SE+SF=SG=25,所以SA+SB+SC+SD=25.,1 探索勾股定理,5.
14、(2017江苏南京师大附中单元练,4,)若直角三角形的三边长分 别为3、4、x,则x2= .,答案 25或7,解析 分两种情况:若4为斜边长,则42=x2+32,即x2=7;若x为斜边长, 则x2=32+42=25.综上,x2=25或7.,1 探索勾股定理,1.(2016福建泉州永春第一次月考,9,)直角三角形的两直角边长 分别为5厘米、12厘米,则斜边上的高是 ( ) A.6厘米 B.8厘米 C. 厘米 D. 厘米,答案 D 直角三角形的两直角边长分别为5厘米、12厘米,又52+122 =132, 斜边长为13厘米, 斜边上的高= = (厘米).故选D.,1 探索勾股定理,2.(2016安徽
15、芜湖南陵期中,4,)已知x、y为正数,且|x2-4|+(y2-3)2=0, 如果以x、y为直角边长作一个直角三角形,那么以这个直角三角形的斜 边长为边长的正方形的面积为 ( ) A.5 B.25 C.7 D.15,答案 C 依题意得x2-4=0,y2-3=0, x2=4,y2=3, 正方形的面积=x2+y2=4+3=7. 故选C.,1 探索勾股定理,3.(2016广西防城港期中,13,)如图,长方体的长、宽、高分别为 4 cm、3 cm、12 cm,则BD= .,答案 13 cm,解析 连接BD,则BD2=32+42=25,BD=5 cm, 故BD2=52+122=169,BD=13 cm.,
16、1 探索勾股定理,1 探索勾股定理,答案 C 大正方形的面积为13, a2+b2=13, (a+b)2=21,a2+2ab+b2=21, 13+2ab=21,2ab=8, 直角三角形较长直角边长为a,较短直角边长为b, 4S直角三角形=4 ab=2ab=8, S小正方形=S大正方形-4S直角三角形=13-8=5,故选C.,1 探索勾股定理,2.(2016湖北荆门中考,4,)如图1-1-10,在ABC中,AB=AC,AD是 BAC的平分线,已知AB=5,AD=3,则BC的长为 ( )图1-1-10 A.5 B.6 C.8 D.10,答案 C 因为AB=AC,AD是BAC的平分线,所以ADBC,且
17、BD=CD, 在RtABD中,AB=5,AD=3,由勾股定理得BD2=AB2-AD2=52-32=42,所以BD =4,所以BC=2BD=8.,1 探索勾股定理,3.(2016浙江杭州中考,9,)已知直角三角形纸片的两条直角边长 分别为m和n(mn),过锐角顶点把该纸片剪成两个三角形.若这两个三角 形都为等腰三角形,则 ( ) A.m2+2mn+n2=0 B.m2-2mn+n2=0 C.m2+2mn-n2=0 D.m2-2mn-n2=0,答案 C 根据题意画图,如图,在RtABC中,nm且ABE和AEC均 为等腰三角形,AB=BE=m,则AE=EC=n-m,根据勾股定理可得AE2= 2AB2,
18、即(n-m)2=2m2,整理得m2+2mn-n2=0,故选C.,1 探索勾股定理,1 探索勾股定理,答案 10,解析 题图中有8个全等的直角三角形,每个直角三角形的面积为(14 14-22)8=(196-4)8=1928=24, 则正方形EFGH的面积为244+22=96+4=100, 正方形EFGH的边长为10.,1 探索勾股定理,1.(2013贵州安顺中考改编,6,)如图,有两棵树,一棵高10米,另一棵 高4米,两树相距8米.一只小鸟从一棵树的树顶飞到另一棵树的树顶,则 小鸟飞行 ( )A.8米 B.10米 C.12米 D.14米,1 探索勾股定理,答案 B 如图,设大树高AB=10米,小
19、树高CD=4米,过C点作CEAB于E,则四边形EBDC是长方形,连接AC, EB=CD=4米,EC=BD=8米,AE=AB-EB=10-4=6(米). 在RtAEC中,AC2=AE2+EC2=100, AC=10米.故选B.,1 探索勾股定理,2.(2016湖南益阳中考,20,)在ABC中,AB=15,BC=14,AC=13,求 ABC的面积. 某学习小组经过合作交流,给出了下面的解题思路,请你按照他们的解 题思路完成解答过程.,1 探索勾股定理,解析 设BD=x,则CD=14-x. 由勾股定理得AD2=AB2-BD2=152-x2, AD2=AC2-CD2=132-(14-x)2, 152-
20、x2=132-(14-x)2,解得x=9. AD=12. SABC= BCAD= 1412=84.,1 探索勾股定理,1.(2016湖南株洲中考)如图1-1-12,以直角三角形的边a、b、c为边,向外 作等边三角形、半圆、等腰直角三角形和正方形,上述四种情况的面积 关系满足S1+S2=S3的图形个数为 ( )图1-1-12 A.1 B.2 C.3 D.4,1 探索勾股定理,答案 D 根据勾股定理可得a2+b2=c2. (1)第一个图形中,首先根据等边三角形的面积的求法,表示出3个等边三 角形的面积,然后根据a2+b2=c2,可得S1+S2=S3. (2)第二个图形中,首先根据圆的面积的求法,表
21、示出3个半圆的面积,然 后根据a2+b2=c2,可得S1+S2=S3. (3)第三个图形中,首先根据等腰直角三角形的面积的求法,表示出3个等 腰直角三角形的面积,然后根据a2+b2=c2,可得S1+S2=S3. (4)第四个图形中,首先根据正方形的面积的求法,表示出3个正方形的面 积,然后根据a2+b2=c2,可得S1+S2=S3. 故满足S1+S2=S3的图形个数为4.,1 探索勾股定理,1 探索勾股定理,1 探索勾股定理,证明 连接BD,过点B作DE边上的高BF,则BF=b-a. S五边形ACBED=SACB+SABE+SADE= ab+ b2+ ab, S五边形ACBED=SACB+SA
22、BD+SBDE= ab+ c2+ a(b-a), ab+ b2+ ab= ab+ c2+ a(b-a), a2+b2=c2.,1 探索勾股定理,在ABC中,BC=a,AC=b,AB=c.若ACB=90,如图,则根据勾股定 理,得a2+b2=c2.若ABC不是直角三角形,如图和图所示,请你类比勾 股定理,试猜想a2+b2与c2的关系,并证明你的结论.,1 探索勾股定理,解析 若ABC是锐角三角形,则有a2+b2c2; 若ABC是钝角三角形,C为钝角,则有a2+b20,x0,所以2ax0.所以a2+b2c2. 当ABC是钝角三角形,且C为钝角时,1 探索勾股定理,过点B作BDAC,交AC的延长线于点D.设CD=x,则BD2=a2-x2, 根据勾股定理,得(b+x)2+a2-x2=c2, 即b2+2bx+x2+a2-x2=c2, 所以a2+b2+2bx=c2. 因为b0,x0,所以2bx0,所以a2+b2c2.,1 探索勾股定理,
