1、初中数学（北师大版）八年级 上册,第一章 勾股定理,知识点一 勾股定理的逆定理及其简单应用,2 一定是直角三角形吗,例1 已知ABC的三边长分别为a,b,c,有下列各组条件,判断ABC的 形状. (1)a=41,b=40,c=9; (2)a=m2-n2,b=m2+n2,c=2mn(mn0).,2 一定是直角三角形吗,解析 (1)b2+c2=402+92=1 681,而a2=412=1 681, a2=b2+c2, ABC是直角三角形,且A是直角. (2)mn0,m2+n22mn,m2+n2m2-n2, 而a2+c2=(m2-n2)2+(2mn)2 =m4-2m2n2+n4+4m2n2 =(m2
2、+n2)2=b2, ABC是直角三角形,且B是直角.,2 一定是直角三角形吗,知识点二 勾股数,2 一定是直角三角形吗,例2 下列几组数中,是勾股数的有 ( ) 0.6,0.8,1;32,42,52;6,8,10; , , . A.1组 B.2组 C.3组 D.4组,解析 中的数不是整数;中,(32)2+(42)2(52)2;中,6,8,10刚好是勾 股数3,4,5的2倍.故只有是一组勾股数.,答案 A,2 一定是直角三角形吗,题型一 利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状 例1 已知三角形的三边长a,b,c满足关系式(a-5)2+|b-12|+c2-26c+169=0, 试判断此三角形的形状.
3、,解析 因为(a-5)2+|b-12|+c2-26c+169=0, 所以(a-5)2+|b-12|+(c-13)2=0. 根据非负数的性质可得(a-5)2=0,|b-12|=0,(c-13)2=0. 所以a=5,b=12,c=13. 又因为a2+b2=52+122=169=132=c2, 所以此三角形是以c为斜边长的直角三角形.,点拨 先根据非负数的性质求出a、b、c的值,再根据勾股定理的逆定 理判断三角形的形状.,2 一定是直角三角形吗,2 一定是直角三角形吗,解析 连接AC.因为ABC=90, 所以ABC是直角三角形. 在RtABC中,根据勾股定理得AC2=AB2+BC2, 即AC2=40
4、02+3002,所以AC=500 m. 在ACD中,AC2+CD2=5002+1 2002=1 3002=AD2, 所以ACD是直角三角形. 所以S四边形ABCD=SABC+SACD= 300400+ 5001 200=360 000(m2). 因此种植的草皮的面积为360 000 m2.,2 一定是直角三角形吗,易错点 勾股定理逆定理的运用 例 若ABC的三边长为a,b,c,且满足(a-b)(a2+b2-c2)=0,则ABC是 ( ) A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形,解析 由题意得a-b=0或a2+b2-c2=0,故a=b或a2+b2=c2.即
5、ABC是等腰三 角形或直角三角形.,答案 D,易错警示 注意对“或”的理解.,2 一定是直角三角形吗,知识点一 勾股定理的逆定理及其简单应用 1.已知ABC的三边长分别为5,12,13,则ABC的面积为( ) A.30 B.60 C.78 D.无法确定,答案 A 52+122=132,ABC是直角三角形,两直角边长分别为5和 12,SABC= 512=30.,2 一定是直角三角形吗,2.(2017广西防城港期中)ABC中,如果三边满足关系BC2=AB2+AC2,则 ABC的直角是 ( ) A.C B.A C.B D.不能确定,答案 B BC2=AB2+AC2, ABC是直角三角形,BC是斜边,
6、A=90. 故选B.,2 一定是直角三角形吗,3.(2017天津红桥期中)如图1-2-1,四边形ABCD中,AB=4 cm,BC=3 cm,CD =12 cm,DA=13 cm,且ABC=90,则四边形ABCD的面积为 ( )图1-2-1 A.6 cm2 B.30 cm2 C.24 cm2 D.36 cm2,2 一定是直角三角形吗,2 一定是直角三角形吗,知识点二 勾股数 4.下列四组数:(1)0.6,0.8,1;(2)5,12,13;(3)8,15,17;(4)4,5,6,其中是勾股数的 组数为 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4,答案 B (1)中0.6,0.8不是整数;(2)中52+
7、122=132;(3)中82+152=172;(4)中4 2+5262.故有2组勾股数.,2 一定是直角三角形吗,5.能够成为直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数,观察下面的 几组勾股数: 由勾股数3、4、5有32=9=4+5=212+5; 由勾股数5、12、13有52=25=12+13=223+13; 由勾股数7、24、25有72=49=24+25=234+25; 由勾股数9、40、41有92=81=40+41=245+41. 可以发现,在一组勾股数中,当最小的数为奇数时,它的平方恰好等于另 外两数之和,用关于n的代数式表示第n组的勾股数应为 、 、 .,2 一定是直角三角形吗,答案 2
8、n+1;2n(n+1);2n2+2n+1,解析 题中4个式子中的第1个数分别有如下的特点:3=21+1,5=22+1, 7=23+1,9=24+1.这几个式子中,等号右边的第2个数1、2、3、4分别 为相应的勾股数的组序号,由此可以知道第n组的最小数为2n+1.题中各 式右边加号前后的数分别为相应勾股数的第2个数和第3个数,观察规律 可以知道,各勾股数的最小数的平方恰好等于另外两个数之和.因此,设 第n组的最小数为2n+1,第2个数为2n(n+1),即2n(n+1).由于最小数的 平方恰好等于另外两个数之和,所以第3个数为(2n+1)2-2n(n+1) =2n2+2n +1.,2 一定是直角三
9、角形吗,1.下列长度的线段中,能构成直角三角形的是 ( ) A.4,5,6 B.1,1,2 C.6,8,10 D.5,20,23,答案 C 因为42+5262,12+1222,62+82=102,52+202232,所以长度为6, 8,10的线段能构成直角三角形.,2 一定是直角三角形吗,2.五根小木棒,其长度分别为7,15,20,24,25,现将它们摆成两个直角三角 形,其中正确的是 ( ),答案 C C选项中,满足152+202=252,72+242=252, 有两个直角三角形.,2 一定是直角三角形吗,3.如果a,b,c是一组勾股数,且a,b,c没有大于1的公因数,那么我们称这一 组勾股
10、数为基础勾股数,如:3,4,5;5,12,13;7,24,25;9,40,41都是基础勾股 数.观察这些基础勾股数,你发现各数组中的勾与股及其积各有何特点? 勾、股、弦三者的积有何特点?写出你发现的结果.,解析 勾与股必为一奇一偶,勾与股的积能被4整除,勾、股、弦三者的 积能被60整除.,2 一定是直角三角形吗,1.(2017安徽滁州全椒期中)已知ABC中,a、b、c分别为A、B、 C的对边,则下列条件:a=4,b=7 ,c=8 ;a2b2c2=132;A BC=345;A=2B=2C.其中能判断ABC是直角三角 形的有 ( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个,2 一定是直角三角形吗,
11、答案 C a2+b2= = ,c2= = ,a2+b2=c2,此三角形 是直角三角形; a2b2c2=132,设a2=x(x0),则b2=3x,c2=2x,x+2x=3x,a2+ c2=b2,此三角形是直角三角形;ABC=345,设A =3x,则B=4x,C=5x,A+B+C=180,3x+4x+5x=180,解得x= 15,A=45,B=60,C=75,此三角形不是直角三角形; A=2B=2C,设B=C=x,则A=2x,x+x+2x=180,解得x =45,A=2x=90,此三角形是直角三角形.故选C.,2 一定是直角三角形吗,2.设一个直角三角形的两条直角边长分别为a,b,斜边上的高为h,
12、斜边长 为c,则以c+h,a+b,h为边长的三角形是 ( ) A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.不能确定,答案 A 利用等面积法可确定ab=ch,则(a+b)2+h2=a2+2ab+b2+h2=c2+ 2ch+h2=(c+h)2,所以以c+h,a+b,h为边长的三角形是直角三角形,故选A.,2 一定是直角三角形吗,3.阅读以下解题过程: 已知a,b,c为ABC的三边长,且满足a2c2-b2c2=a4-b4,试判断ABC的形状. 错解:a2c2-b2c2=a4-b4, c2(a2-b2)=(a2-b2)(a2+b2), c2=a2+b2. ABC为直角三角形. (1)上述解题过
13、程,从哪一步开始出现错误?请写出该步的代号 ; (2)错误的原因是 ; (3)本题正确的结论是 .,2 一定是直角三角形吗,答案 (1) (2)不能确定a2-b2是否为0 (3)等腰三角形或直角三角形,解析 c2(a2-b2)=(a2-b2)(a2+b2),由c2(a2-b2)-(a2-b2)(a2+b2)=0得到(a2-b2) c2-(a2+b2)=0,a2-b2=0或c2-(a2+b2)=0,即a=b或a2+b2=c2,三角形ABC为 等腰三角形或直角三角形,故从第步开始错误,其原因是不能确定a2- b2是否为0.,2 一定是直角三角形吗,如图,某工厂C前面有一条笔直的公路,原来有两条路A
14、C,BC可以从工 厂C到达公路,经测量AC=600 m,BC=800 m,AB=1 000 m,现需要修建一 条路,使工厂C到公路的路最短,请你帮工厂C的负责人设计一种方案,并 求出新建的路的长.,2 一定是直角三角形吗,2 一定是直角三角形吗,一、选择题 1.(2017广东深圳展华实验学校期中,4,)下列各组数中,是勾股数 的是 ( ) A.12,8,5 B.30,40,50 C.9,13,15 D. , ,答案 B 52+82122,选项A不符合题意;302+402=502,选项B符 合题意;92+132152,选项C不符合题意;D中各数不是正整数,选项 D不符合题意.故选B.,2 一定是
15、直角三角形吗,二、解答题 2.(2017广东深圳锦华实验学校月考,21,)如图1-2-2,若小方格的 边长为1,请你根据所学的知识: (1)求ABC的面积; (2)判断ABC是什么形状,并说明理由.图1-2-2,2 一定是直角三角形吗,解析 (1)ABC的面积=48- 18- 23- 64=13.故ABC的面积为13. (2)小方格的边长为1, AC2=12+82=65,AB2=32+22=13,BC2=62+42=52. 在ABC中,AB2+BC2=13+52=65,AC2=65, AB2+BC2=AC2, ABC是直角三角形.,2 一定是直角三角形吗,1.(2017湖北孝感云梦期中,6,)
16、下列几组数:6,8,10;7,24,25; 9,12,15;n2-1,2n,n2+1(n是大于1的正整数),其中是勾股数的有 ( ) A.1组 B.2组 C.3组 D.4组,答案 D 62+82=100=102,6、8、10是勾股数;72+242=252, 7,24,25是勾股数;92+122=152,9,12,15是勾股数;(n2-1)2+(2n)2= (n2+1)2,n2-1,2n,n2+1(n是大于1的正整数)是勾股数.故选D.,2 一定是直角三角形吗,2.(2017江苏苏州吴江期中,14,)三角形的三边长为a,b,c,且满足(a +b)2=c2+2ab,则这个三角形是 .,答案 直角三
17、角形,解析 化简(a+b)2=c2+2ab,得a2+b2=c2,所以该三角形是直角三角形.,2 一定是直角三角形吗,选择题 1.(2016四川雅安中考,1,)若三角形的三边长为下列各组数:5, 12,13;11,12,15;9,40,41;15,20,25,则其中直角三角形有 ( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个,答案 C 52+122=132,112+122152,92+402=412,152+202=252, 符合题意.,2 一定是直角三角形吗,2.(2015广西桂林中考,8,)下列各组线段能构成直角三角形的一 组是 ( ) A.30,40,50 B.7,12,13 C.5,9,
18、12 D.3,4,6,答案 A A.302+402=502,该组线段能构成直角三角形,故正确;B. 72+122132,该组线段不能构成直角三角形,故错误;C.52+92122, 该组线段不能构成直角三角形,故错误;D.32+4262,该组线段不能 构成直角三角形,故错误.故选A.,2 一定是直角三角形吗,(2013内蒙古包头中考改编,20,)如图,点E是正方形ABCD内的一 点,连接AE、BE、CE,ABECBE.若AE=1,BE=2,CE=3,则BEC= 度.,2 一定是直角三角形吗,解析 连接EE,ABECBE,AE=CE,BE=BE,ABE=CBE, EBE是直角,EBE是直角三角形,
19、BEE=BEE=45,AE=1, BE=2,BE=2,EC=1.EE2=22+22=8,CE=1,EC=3,EC2=EC2+EE2, EEC是直角三角形,EEC=90,BEC=135.,答案 135,2 一定是直角三角形吗,王老师在一次“探究性学习”课中设计了如下数表:,(1)请你分别观察a、b、c与n之间的关系,并用含自然数n(n1)的代数式 表示a、b、c; (2)猜想:以a、b、c为边长的三角形是不是直角三角形?请证明你的猜 想.,2 一定是直角三角形吗,解析 (1)由题表可以得出: n=2时,a=22-1,b=22,c=22+1; n=3时,a=32-1,b=23,c=32+1; n=
20、4时,a=42-1,b=24,c=42+1; a=n2-1,b=2n,c=n2+1. (2)以a、b、c为边长的三角形是直角三角形. 证明:a2+b2=(n2-1)2+4n2=n4+2n2+1, c2=(n2+1)2=n4+2n2+1, a2+b2=c2, 以a、b、c为边长的三角形是直角三角形.,2 一定是直角三角形吗,(2013贵州贵阳中考改编)在ABC中,BC=a,AC=b,AB=c,设c为最长边.当 a2+b2=c2时,ABC是直角三角形;当a2+b2c2时,利用代数式a2+b2和c2的 大小关系,探究ABC的形状(按角分类). (1)当ABC的三边长分别为6,8,9时,ABC为 三角形;当 ABC的三边长分别为6,8,11时,ABC为 三角形; (2)猜想:当a2+b2 c2时,ABC为锐角三角形;当a2+b2 c2时, ABC为钝角三角形; (3)判断当a=2,b=4时ABC的形状,并求出对应的c2的取值范围.,2 一定是直角三角形吗,解析 (1)锐角;钝角. (2);c2,则c220,当20c236时,ABC为钝角三角形.,2 一定是直角三角形吗,
