1、初中数学（北师大版）八年级 上册,第一章 勾股定理,知识点一 圆柱侧面上两点间的最短距离圆柱侧面的展开图是一个长方形.圆柱侧面上两点之间最短距离的 求法是把圆柱侧面展开成平面图形,依据两点之间线段最短,以最短路 线为斜边构造直角三角形,利用勾股定理求解.,3 勾股定理的应用,3 勾股定理的应用,解析 如图1-3-2所示,将圆柱侧面沿AC剪开并展平,连接AB,则AB的长 即为蜘蛛爬行的最短路程.根据题意得AC=20 cm,BC= 25=15 (cm).在ABC中,ACB=90,由勾股定理得AB2=BC2+AC2=152+202=252, 所以AB=25 cm,所以最短路程是25 cm.图1-3-
2、2,3 勾股定理的应用,3 勾股定理的应用,例2 如图1-3-3所示,有一个长方体,长、宽、高分别为6、5、3.在长方 体的底面A处有一堆蚂蚁,它们想吃到长方体上底面与A相对的B点处的 食物,则需要爬行的最短路程是多少?图1-3-3,3 勾股定理的应用,解析 将四边形GBEF与四边形ACEF展开放在同一平面上.连接AB, 如图1-3-4所示,所走的最短路线显然为线段AB.在RtABC中,由勾股定 理得AB2=AC2+BC2=62+82=100.图1-3-4 将四边形CDBE与四边形ACEF展开放在同一平面上.连接AB,如图1-3 -5(1)所示,所走的最短路线显然为线段AB.在RtABD中,由
3、勾股定理得 AB2=AD2+BD2=112+32=130.,3 勾股定理的应用,3 勾股定理的应用,知识点三 勾股定理在实际问题中的应用 例3 如图1-3-6,南北方向线MN以西为我国领海,以东为公海.上午9时 50分,我国缉私艇A发现正东方向有一走私艇C以13海里/时的速度偷偷 向我领海驶来,便立即通知正在MN线上巡逻的缉私艇B.已知A,C两艇的 距离是13海里,A,B两艇的距离是5海里,缉私艇B与C艇的距离是12海里, 若C艇的速度不变,那么它最早会在什么时间进入我国领海?图1-3-6,3 勾股定理的应用,解析 设直线MN与AC交于点E,则BEC=90. 因为AB2+BC2=52+122=
4、169,AC2=132=169, 所以AB2+BC2=AC2,所以ABC是直角三角形,ABC=90. 因为MNCE,所以C艇进入我国领海的最短距离是线段CE的长. 在RtBCE和RtABE中,CE2+BE2=144,(13-CE)2+BE2=25,由此得26CE= 288,所以CE= 海里. 因为C艇的速度是13海里/时,所以 13= 0.85(小时)=51(分).所以 9时50分+51分=10时41分. 答:走私艇最早会在10时41分进入我国领海.,3 勾股定理的应用,点拨 首先要根据勾股定理的逆定理判断三角形的形状,然后利用勾股 定理求线段的长.为减小思考问题的“跨度”,可将原问题分解成下
5、述 “子问题”:(1)ABC是什么形状的三角形;(2)走私艇C进入我国领海 的最短距离是多少;(3)走私艇C最早会在什么时间进入我国领海.这样 问题就可迎刃而解.,3 勾股定理的应用,3 勾股定理的应用,解析 AD2+DC2=82+62=100,AC2=92=81, AD2+DC2AC2, ADC不是直角三角形, ADC90. 标准地基为长方形,四个角应为直角, 该农民挖的地基不合格.,点拨 在实际生活中,常用勾股定理的逆定理判断两直线是否垂直,解 决问题的一般方法:实际问题数学问题利用勾股定理的逆定理判断 是否垂直.,3 勾股定理的应用,题型二 利用勾股定理解决折叠问题 例2 如图1-3-8
6、,长方形纸片ABCD沿对角线AC折叠,设点D落在D处,BC 交AD于点E,AB=6 cm,BC=8 cm,求阴影部分的面积.图1-3-8,3 勾股定理的应用,解析 在ABE和CDE中,B=D=90,AEB=CED,AB=CD, ABECDE, AE=EC. 设AE=x cm(x0),则BE=(8-x)cm. 在RtABE中,AB2+BE2=AE2, 即62+(8-x)2=x2, x= , EC=AE= cm. S阴影= ECAB= 6= (cm2).,3 勾股定理的应用,点拨 关于折叠问题的解题步骤: (1)利用重叠的图形传递数据(一般不用重叠的图形进行计算). (2)选择或构造直角三角形,这
7、个直角三角形一般一边已知,另两边可通 过重叠图形找到数量关系. (3)利用勾股定理列方程求解.,3 勾股定理的应用,题型三 用勾股定理解决距离最短问题 例3 高速公路的同一侧有A、B两个城镇,如图1-3-9,它们到高速公路 所在直线MN的距离分别为AA=2 km,BB=4 km,AB=8 km.要在高速公 路上A、B之间建一个出口P,使A、B两城镇到P的距离之和最小.求这 个最小距离.图1-3-9,3 勾股定理的应用,解析 如图1-3-10,作点B关于MN的对称点C,连接AC交MN于点P,则点P 即为所建的出口.图1-3-10 此时A、B两城镇到出口P的距离之和最小,最小距离为AC的长.作AD
8、 BB于点D,在RtADC中,AD=AB=8 km,DC=6 km, AC2=AD2+DC2=100,AC=10 km, 这个最小距离为10 km.,3 勾股定理的应用,易错点 使用勾股定理考虑不全面 例 在ABC中,AB=15,AC=20,BC边上的高AD=12,则BC的长为( ) A.25 B.7 C.25或7 D.不能确定,3 勾股定理的应用,解析 分两种情况:如图1-3-11.图1-3-11 在RtABD中,BD2=152-122=92,解得BD=9. 在RtACD中,CD2=202-122=162,解得CD=16. BC=BD+CD=9+16=25.,3 勾股定理的应用,如图1-3-
9、12.图1-3-12 在RtABD中,BD2=152-122=92,解得BD=9. 在RtACD中,CD2=202-122=162,解得CD=16. BC=CD-BD=16-9=7.,答案 C,易错警示 分两种情况讨论,易丢掉ABC为钝角三角形的情况.,3 勾股定理的应用,3 勾股定理的应用,3 勾股定理的应用,素养呈现 确定几何体上的最短路线时,往往无法直接求解,需要先转 化为平面图形.将几何体展开,就能直观地看出最短距离. 本题先将几何体展开,再利用“两点之间,线段最短”确定所求线段,最 后使用勾股定理求出线段的长.,素养解读 直观想象是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与 变化,利用
10、空间形式特别是图形,理解和解决数学问题的素养,利用平面 图形有助于发现、描述问题,有助于理解、记忆得到的结果,可以把困 难的数学问题变容易,把抽象的数学问题变简单.,3 勾股定理的应用,知识点一 圆柱侧面上两点间的最短距离 1.如图1-3-1,有一圆柱,它的高等于8 cm,底面直径等于4 cm(=3),在圆柱 下底面的A点有一只蚂蚁,它想吃到上底面与C相对的B点处的食物,则 需要爬行的最短路程为 ( )图1-3-1 A.10 cm B.12 cm C.19 cm D.20 cm,3 勾股定理的应用,答案 A 如图所示,将圆柱的侧面展开,连接AB, 底面半径为2 cm, BC= =2=6(cm)
11、, 在RtABC中,AC=8 cm,BC=6 cm, AB2=AC2+BC2=100, AB=10 cm.,3 勾股定理的应用,2.图1-3-2是一个三级台阶,它的每一级台阶的长、宽和高分别是50 cm, 30 cm,10 cm,A和B是这个台阶的两个相对的顶点,A点上有一只壁虎,它 想到B点去吃可口的食物,请你想一想,这只壁虎从A点出发,沿着台阶面 爬到B点,至少需爬 ( )图1-3-2 A.13 cm B.40 cm C.130 cm D.169 cm,知识点二 长方体(或正方体)表面上两点间的最短距离,3 勾股定理的应用,答案 C 将台阶面展开,连接AB,如图,线段AB即为壁虎所爬的最短
12、路 线.因为BC=303+103=120(cm),AC=50 cm,在RtABC中,根据勾股定理, 得AB2=AC2+BC2=16 900,所以AB=130 cm.所以壁虎至少需爬130 cm.,3 勾股定理的应用,知识点三 勾股定理在实际问题中的应用 3.一艘轮船以30 km/h的速度离开港口向东北方向航行,另一艘轮船同时 离开港口以16 km/h的速度向东南方向航行,它们离开港口半小时后相 距 km.,答案 17,解析 作出图形,如图,因为东北和东南方向的夹角为90,所以ABC为 直角三角形.在RtABC中,AC=300.5=15(km),BC=160.5=8(km),所以 AB2=AC2
13、+BC2=152+82=289,所以AB=17 km.,3 勾股定理的应用,4.中华人民共和国道路交通安全法规定:小汽车在城市道路上行驶 速度不得超过70 km/h.如图1-3-3,一辆小汽车在一条城市道路上直线行 驶,某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪(点A)的正前方30 m处(点C), 过了2 s后,测得小汽车与车速检测仪间的距离AB为50 m.问这辆小汽车 超速了吗?图1-3-3,3 勾股定理的应用,解析 这辆小汽车超速了. 在RtABC中,AB=50 m,AC=30 m, 由勾股定理得BC=40 m,402=20 m/s=72 km/h, 小汽车在城市道路上行驶速度不得超过70 km/
14、h, 这辆小汽车超速了.,3 勾股定理的应用,1.(2013山东济南中考)如图,小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端,绳子末端 刚好接触到地面,然后将绳子末端拉到距离旗杆8 m处,发现此时绳子末 端距离地面2 m.则旗杆的高度(滑轮上方的部分忽略不计)为 ( )A.12 m B.13 m C.16 m D.17 m,3 勾股定理的应用,答案 D 如图所示,作BCAE于点C,则BC=DE=8 m,设AE=x m,则AB =x m,AC=(x-2)m,在RtABC中,AC2+BC2=AB2,即(x-2)2+82=x2,解得x=17. 所以旗杆的高度为17 m.,3 勾股定理的应用,2.如图所示,将长方形纸
15、片ABCD(四个角都是直角)折叠,使点D落在BC 边上的点F处,已知AB=DC=8 cm,AD=BC=10 cm,求EC的长.,3 勾股定理的应用,解析 设EC的长为x cm,则DE=(8-x)cm. ADE折叠后的图形是AFE, AD=AF,DE=EF=(8-x)cm. AD=10 cm,AF=10 cm. 又AB=8 cm,AB2+BF2=AF2, 82+BF2=102,BF=6 cm. BC=10 cm,FC=BC-BF=10-6=4(cm). 在RtEFC中,根据勾股定理,得FC2+EC2=EF2, 42+x2=(8-x)2,即16+x2=64-16x+x2, 化简,得16x=48,解
16、得x=3. 故EC的长为3 cm.,3 勾股定理的应用,1.如图1-3-4,圆柱的底面直径为 ,BC=12,动点P从A点出发,沿着圆柱的 侧面移动到BC的中点S的最短距离为 ( )图1-3-4 A.10 B.12 C.20 D.14,3 勾股定理的应用,答案 A 将圆柱侧面沿DA展开,如图所示,AB= =8,BS= BC=6, 在RtABS中,由勾股定理得AS=10,即点P从点A移动到点S的最短距离 为10.,3 勾股定理的应用,2.小明想知道学校旗杆的高度,他把绳子一端挂在旗杆顶端,发现绳子垂 到地面时还余1 m;当他把绳子下端拉开5 m后,绳子下端刚好接触地面, 如图1-3-5,你能帮他求
17、出旗杆的高度吗? 图1-3-5,3 勾股定理的应用,解析 能.由于旗杆垂直于地面,所以C=90. 在RtABC中,由勾股定理,得AC2+BC2=AB2, 而AB=AC+1,所以可设AC=x m, 则有x2+52=(x+1)2, 解得x=12. 所以旗杆的高度为12 m.,3 勾股定理的应用,1.如图所示,有一张直角三角形纸片ABC,已知AC=5 cm,BC=10 cm,将纸 片折叠,使点B与点A重合,折痕为DE,则CD的长为 ( )A. cm B. cm C. cm D. cm,答案 D 由题意知DE所在直线为线段AB的垂直平分线,所以AD= BD.设CD=x cm,则AD=BD=(10-x)
18、cm.在RtACD中,由勾股定理,得x2+52 =(10-x)2,所以x= .故选D.,3 勾股定理的应用,2.如图,要在河边(直线l)修建一个水泵站,分别向张村(点A)和李庄(点B) 送水.已知张村、李庄到河边的距离分别为2千米和7千米,且CD=12千 米. (1)水泵站应修建在什么地方,可使所用的水管最短?请你在图中设计出 水泵站的位置; (2)如果铺设水管的工程费用为每千米1 500元,请求出铺设水管的最少 费用.,3 勾股定理的应用,3 勾股定理的应用,选择题 1.(2017山西吕梁孝义期中,6,)图1-3-6为某楼梯,测得楼梯的长为 5米,高为3米,计划在楼梯表面铺地毯,地毯的长度至
19、少需要 ( )图1-3-6 A.4米 B.8米 C.9米 D.7米,3 勾股定理的应用,答案 D 由勾股定理得楼梯的水平长度为4米,地毯的长度至少是3 +4=7米.故选D.,3 勾股定理的应用,2.(2016 江苏常州常青藤期中,9,)如图1-3-7,长、宽、高分别为 4 cm、3 cm、12 cm的长方体盒子中,能容下的最长木棒的长为 ( )图1-3-7 A.11 cm B.12 cm C.13 cm D.14 cm,3 勾股定理的应用,答案 C 如图,连接AB、BC.由题易知能容下的最长木棒长即为AB的 长,由勾股定理,可得BC2=32+42=52,AB2=122+52=132,AB=13
20、 cm.,3 勾股定理的应用,(2016江苏盐城一中期末,21,)如图,在B港有甲、乙两艘渔船同时 航行,若甲船沿北偏东60方向以8海里/小时的速度前进,乙船沿南偏东 某方向以15海里/小时的速度前进,2小时后甲船到达M岛,乙船到达P岛, 两岛相距34海里,你知道乙船沿哪个方向航行吗?,3 勾股定理的应用,解析 由题意知BM=82=16(海里),BP=152=30(海里),在BMP中, BM2+BP2=256+900=1 156,PM2=342=1 156,BMP是直角三角形, MBP=90,ABP=180-90-60=30.故乙船沿南偏东30方向航行.,3 勾股定理的应用,3 勾股定理的应用
21、,答案 C 设梯子斜靠在右墙时,梯子底端到右墙角的距离为x(x0)米. 由题意,得(0.7)2+(2.4)2=x2+22,则x2=2.25,x=1.5,则小巷的宽度为0.7+1.5 =2.2(米).故选C.,3 勾股定理的应用,2.(2017贵州安顺中考,7,)如图1-3-9,长方形纸片ABCD中,AD= 4 cm,把纸片沿直线AC折叠,点B落在E处,AE交DC于点O.若AO=5 cm,则 AB的长为 ( )图1-3-9 A.6 cm B.7 cm C.8 cm D.9 cm,3 勾股定理的应用,答案 C 四边形ABCD为长方形,AD=4 cm,BC=AD=4 cm,B= D=90,由题意可得
22、ACEACB,CE=BC=4 cm,E=B=90,在AOD和COE中,E=D,AOD=COE,AD=CE,AOD COE,AO=CO=5 cm,在RtCOE中,根据勾股定理可得:OE2=OC2-CE2= 52-42=9,OE=3 cm,AE=AO+OE=5+3=8 cm,AB=8 cm,故选C.,3 勾股定理的应用,3 勾股定理的应用,解析 因为葛藤绕枯木五周而到达顶端,所以将枯木滚动5周,如图.由题 意得AA=15尺,AB=20尺,AB的长就是葛藤的最短长度,AB2=AA2+ AB2=152+202=625,AB=25尺.,答案 25,3 勾股定理的应用,1.(2017四川宜宾中考,7,)如
23、图,在长方形ABCD中,BC=8,CD=6,将 ABE沿BE折叠,使点A恰好落在对角线BD上F处,则DE的长是( )A.3 B. C.5 D.,3 勾股定理的应用,答案 C 四边形ABCD是长方形,AB=CD=6,AD=BC=8.由勾股定 理得BD2=BC2+CD2=100,BD=10.由折叠可知,BF=AB=6,AE=EF,DF =4.在RtDEF中,EF2+DF2=DE2,(8-DE)2+42=DE2,解得DE=5.故选C.,3 勾股定理的应用,2.(2017山东淄博中考,12,)如图,在RtABC中,ABC=90,AB= 6,BC=8,BAC,ACB的平分线相交于点E,过点E作EFBC交
24、AC于点 F,则EF的长为 ( )A. B. C. D.,3 勾股定理的应用,答案 C 如图,过点E分别作EDAB,EMBC,ENAC,垂足分别为D, M,N, BAC,ACB的平分线相交于点E,ED=EM=EN. 在RtABC中,由勾股定理得AC=10. 设ED=EM=EN=x,易知AN=AD=6-x,CN=CM=8-x. 又6-x+8-x=10,x=2. EFBC,FEC=ECB,FCE=ECB, FEC=FCE.EF=CF. 在RtEFN中,NF=CN-CF=8-2-CF=6-EF. EF2-(6-EF)2=22,解得x= .,3 勾股定理的应用,铁路上A、B两站(视为直线上两点)相距2
25、5 km,C、D为两村庄(视为 两个点),DAAB于点A,CBAB于点B,如图1-3-11所示,已知DA= 15 km,CB=10 km,现要在铁路AB上建设一个土特产收购站E,使得C、D两 村到E站的距离相等,则E站应建在距离A站 km处.图1-3-11,3 勾股定理的应用,解析 C、D两村庄到E站距离相等,CE=DE.在RtDAE和 RtCBE中,DE2=AD2+AE2,CE2=BE2+BC2,AD2+AE2=BE2+BC2.设AE为x km, 则BE=(25-x)km,152+x2=(25-x)2+102,整理得50x=500,解得x=10,E站 应建在距离A站10 km处.,答案 10
26、,3 勾股定理的应用,如图,圆柱底面半径为2 cm,高为9 cm,点A、B分别是圆柱两底面圆 周上的点,且A、B在同一母线上,用一棉线从A沿着圆柱侧面绕3圈到B, 则棉线最短为 cm.,3 勾股定理的应用,解析 圆柱的侧面展开图如图所示,用一棉线从A沿着圆柱侧面绕3圈 到B的最短路线是ACCDDB,即在圆柱的侧面展开图(长方形)中, 将长方形平均分成3个小长方形,沿着3个小长方形的对角线到B的路线 最短.圆柱底面半径为2 cm,小长方形的一条边长即是圆柱的底面 周长:22=4(cm).圆柱高为9 cm,小长方形的另一条边长是3 cm. 根据勾股定理求得AC=5 cm,则CD=DB=5 cm,AC+CD+DB=15 (cm).,答案 15,3 勾股定理的应用,
