1、 第一章 勾股定理 满分： 100分，限时： 60分钟 一、选择题 (每小题 3 分 ,共 30 分 ) 1.(2017 河北承德兴隆期末 )如图 1-4-1,以 RtABC 的三边为边向外作正方形 ,其面积分别为 S1=81,S3=625,则 S2=( ) 图 1-4-1 A.544 B.534 C.516 D.517 答案 A 如图 ,设 RtABC 的三边长分别为 a、 b、 c, S1=a2=81,S2=b2,S3=c2=625, ABC 是直角三角形 , a2+b2=c2,即 S1+S2=S3, S2=S3-S1=625-81=544. 故选 A. 2.下列几组数据 :(1)8,15
2、,17;(2)5,12,13;(3)12,15,20;(4)7,24,25,其中能作为直角三角形的三边长的有 ( ) A.1 组 B.2 组 C.3 组 D.4 组 答案 C 82+152=172,52+122=132,72+242=252, 能作为直角三角形的三边长的有 3 组 . 3.满足下列条件的 ABC, 不是直角三角形的为 ( ) A.A=B -C B.A B C=1 1 2 C.b2=a2-c2 D.a b c=1 1 2 答案 D A 中 ,由 A=B -C, 得 B=A+C, 2B=180, 即 B=90.B 中 ,由 A B C=1 1 2,得C=180 21+1+2=90.
3、C 中 ,由 b2=a2-c2,得 a2=b2+c2, A=90.D 中 ,a b c=1 1 2,设 a=k,b=k,c=2k(k0), 则a2+b2c 2,故选 D. 4.若三角形的三边长分别是 6,8,10,则它最长边上的高为 ( ) A.6 B.4.8 C.2.4 D.8 答案 B 因为 62+82=102,所以由勾股定理的逆定理判断出该三角形是直角三角形 ,所以斜边上的高 =6810 =4.8. 5.(2017 浙江杭州大江东区期中 )图 1-4-2 是某地的长方形大理石广场示意图 ,小琴从 A 点走到 C 点 ,至少走 ( ) 图 1-4-2 A.90 米 B.100 米 C.12
4、0 米 D.140 米 答案 B 连接 AC. 四边形 ABCD 是长方形 , B=90, AB=60 米 ,BC=80 米 , AC2=AB2+BC2=602+802=10 000, AC=100 米 .故选 B. 6.如图 1-4-3,若圆柱的底面周长是 30 cm,高是 40 cm,从圆柱底部 A 处沿侧面缠绕一圈丝线到顶部 B 处作装饰 ,则这条丝线的最小长度是 ( ) 图 1-4-3 A.80 cm B.70 cm C.60 cm D.50 cm 答案 D 圆柱的侧面展开图如图 ,由勾股定理得 AB2=AB2+BB2=402+302=502,即 AB=50 cm. 7.图 1-4-4
5、 是两条垂直相交的公路 ,一辆自行车和一辆摩托车在十字路口中心相遇后又分别向北、向东驶去 .若自行车的速度为 2.5 米 /秒 ,摩托车的速度为 10 米 /秒 ,那么 10 秒后 ,两车大约相距 ( ) 图 1-4-4 A.55 米 B.103 米 C.125 米 D.153 米 答案 B 由题意得摩托车行驶了 1010=100( 米 ),自行车行驶了 2.510=25( 米 ),设 10 秒后两车距离为 x 米 ,则x2=252+1002=10 625,即 x103, 故选 B. 8.已知 a、 b、 c 是三角形的三边长 ,且满足 3(a-13)2+2|b-12|+c2-10c+25=0
6、,则 ABC 是 ( ) A.以 a 为斜边的直角三角形 B.以 b 为斜边的直角三角形 C.以 c 为斜边的直角三角形 D.非直角三角形 答案 A 由题意得 3(a-13)2+2|b-12|+(c-5)2=0, a=13,b=12,c=5, 52+122=132, ABC 是以 a 为斜边的直角三角形 ,故选 A. 9.(2016 湖北荆门中考 )如图 1-4-5,ABC 中 ,AB=AC,AD 是 BAC 的平分线 .已知 AB=5,AD=3,则 BC 的长为 ( ) 图 1-4-5 A.5 B.6 C.8 D.10 答案 C AB=AC,AD 是 BAC 的平分线 , ADBC,BD=C
7、D, AB=5,AD=3, BD2=AB2-AD2=25-9=16, BD=4, BC=2BD=8,故选 C. 10.如图 1-4-6,将边长为 8 cm 的正方形纸片 ABCD 折叠 ,使点 D 落在 BC 边的中点 E 处 ,点 A 落在点 F 处 ,折痕为 MN,则线段 CN 的长是 ( ) 图 1-4-6 A.3 cm B.4 cm C.5 cm D.6 cm 答案 A 由折叠知 DN=EN.设 CN=x cm,则 EN=(8-x)cm.E 为 BC 的中点 ,EC= 12BC=4 cm. 在 RtECN 中 ,EN2=EC2+CN2,即 (8-x)2=42+x2, x=3, 即 CN
8、=3 cm.故选 A. 二、填空题 (每小题 5 分 ,共 30 分 ) 11.(2016 四川甘孜中考 )直角三角形斜边长是 5,一直角边的长是 3,则此直角三角形的面积为 . 答案 6 解析 直角三角形的斜边长是 5,一直角边的长是 3, 另一直角边的长为 4, 此直角三角形的面积为 1234=6. 12.已知直角三角形的三边长为 6、 8、 x,则以 x 为边长的正方形的面积为 . 答案 100 或 28 解析 当 x 为直角三角形的斜边长时 ,x2=62+82=100; 当 x 为直角三角形的一条直角边长时 ,x2=82-62=28.所以以 x 为边长的正方形的面积为 100或 28.
9、 13.(2016 贵州黔东南州一模 )如图 1-4-7,有一个长为 50 cm,宽为 30 cm,高为 40 cm 的长方体木箱 ,一根长为 70 cm的木棍 放入木箱中 (填 “ 能 ” 或 “ 不能 ”). 图 1-4-7 答案 能 解析 如图 ,连接 AB,AC,由题意知长方体木箱的最大长度是 AC 的长 ,设 AC=x cm,则 x2=502+402+302=5 000,又 702= 4 900,4 9000)米 ,则 AC=x 米 .作 ABl 于点 B,则 AB=300 米 .在 RtABD 中 ,AD2=AB2+BD2,AB=300 米 ,AD=500 米 ,所以 BD=400
10、 米 ,所以 BC=(400-x)米 . 在 RtABC 中 ,AC2=AB2+BC2, 所以 x2=3002+(400-x)2,解得 x=312.5. 所以商店 C 与车站 D 之间的距离为 312.5 米 . 18.(10 分 )我们把符合等式 a2+b2=c2的 a、 b、 c 三个正整数称为勾股数 .现请你用计算器验证下列各组数是不是勾股数 .你能发现其中的规律吗 ?请完成下列空格 . 3,4,5; 5,12,13; 7,24,25; 9,40,41; 11, , ; 解析 先用计算器验证是勾股数 (略 ). 通过观察得 ,第 n 组勾股数为 2n+1,2n2+2n,2n2+2n+1,
11、 11 是第 5 组勾股数的第一个数 , 所以其他 2 个数为 25 2+25=60, 25 2+25+1=61. 19.(10 分 )如图 1-4-12,ABC=90,AB=6 cm,AD=24 cm,BC+CD=34 cm,C 是直线 l 上一动点 ,请你探索当 C 点离 B 点多远时 ,ACD 是一个以 CD 为斜边的直角三角形 . 图 1-4-12 解析 当 ACD 是一个以 DC 为斜边的直角三角形时 ,设 BC=x(x0)cm. BC+CD=34 cm, CD=(34 -x)cm. ABC=90,AB=6 cm, AC 2=AB2+BC2=36+x2. 在 RtACD 中 ,AD=
12、24 cm,由勾股定理得 AC2=CD2-AD2=(34-x)2-576, 36+x 2=(34-x)2-576, 解得 x=8. 当 C 点离 B 点 8 cm 时 ,ACD 是以 DC 为斜边的直角三角形 . 20.(10 分 )如图 1-4-13,已知正方形 ABCD 的边长为 4,点 E为 AB 的中点 ,F 为 AD 上的一点 ,且 AF=14AD,试判断 EFC 的形状 . 图 1-4-13 解析 点 E 为 AB 的中点 ,BE=2, CE 2=BE2+BC2=22+42=20. 同理可求得 ,EF2=AE2+AF2=22+12=5, CF2=DF2+CD2=32+42=25. CE 2+EF2=CF2, EFC 是以 CEF 为直角的直角三角形 .
