1、1河南省信阳第一高级中学 2018-2019 学年高二数学上学期期中联考试题 理说明： 1、本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）满分 150 分，时间 120 分钟2、将第卷的答案代表字母填（涂）答题表（答题卡）中第卷一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知命题 p : x R, sin x 1 ，则( )A p : x0 R,sin x0 1B p : x R, sin x 1C p : x0 R,sin x0 1D p : x R, sin x 132 已知 A 是三角形 ABC 的内角，则“ cos A
2、1 ”是“ sin A ”的( )2 2A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件3若 a b c ，则下列不等式中正确的是 （ ）1 1 1A a | c | b | c | B ab acC a | c | b | c | D a b c4如果方程 x2 ky2 2 表示焦点在 y 轴上的椭圆，那么实数 k 的取值范围是 ( )A(0, +) B(1, +) C(0, 2) D(0, 1)5已知命题 p : x R ， x2 x 54 m 命题 q : x0 R ， x02 2mx0 m2 m 3 0 若p 或 q 为真， p 且 q 为假，则 m 的取值范围(
3、)A m 1 B1 m 3 C m 3 D m 36椭圆 mx2 ny2 1与直线xy10交于M、N两点，过原点与线段MN中点的直线斜2 n率为,则 的值是（ ）2 m2 3 2 32A B 2 C D2 2 3高二数学试题卷 第 1 页3 x 17已知点 M (x, y) 满足 x y 1 0，若 z ax y 的最小值为 3，则 a 的值为（ ） 2x y 2 0A3 B 3 C 4 D48已知 mn 0 ，则方程 mx2 ny2 1与 mx ny 2 0 在同一坐标系下的图形可能是( )y y y yO x O x Ox xA B C Dy29过双曲线 x2=1 的右焦点 F 作直线 l
4、 交双曲线于 A, B 两点，若 AB 4 ，则这样2的直线 l 有 （ ）A1 条 B2 条 C3 条 D4 条110已知数列 an 的通项公式 an 4n ， bn ，则数列 bn 的前 10(log2 an )(log2 an1 )项和 S10 ( )9 5 9 5A B C D40 22 20 1111在 ABC 中，若 B 60 ， a 10,b 7 ，则该三角形有且仅有两解；若三角形的三边的比是 357，则此三角形的最大角为 120；若 ABC 为锐角三角形，且三边长分别为 2,3， x，则 x 的取值范围是 5 x 13.其中正确命题的个数是( )A3 B2 C1 D012椭圆
5、C 的两个焦点分别为 F1 (1, 0) 和 F2 (1, 0) ，若该椭圆 C 与直线 x y 3 0 有公4共点，则其离心率的最大值为( )6 6 5 5A 12 B 6 C 5 D 105第卷二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案填在题中横线上13若正实数 x, y ，满足 2 x y 6 xy ，则 xy 的最小值是 14若等差数列的前 6 项和为 23,前 9 项和为 57,则数列的前 n 项和 Sn _cos A 3cos C3ca c15在 ABC 中，内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，已知 cos B b ，则 a的值为_16抛物
6、线 y2 2 px( p 0) 的焦点为 F,过焦点 F 作倾斜角为 30 的直线交抛物线于A, B A, BA , B AA BB两点，点在抛物线的准线上的射影分别是 ，若四边形 的面积为 48，则抛物线的方程是 .三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17 （本小题满分 10 分）已知命题 p： x 1,3, ( 12 )x1 m 1 0 ，命题 q： x (0, ),mx2 x 4 0 . 若“p 且 q”为真命题，求实数 m 的取值范围.18 （本小题满分 12 分）已知数列 an的前 n 项和为 Sn， a12，且满足 Sn 12an 1
7、n1( nN *)(1)求数列 an的通项公式；1(2)若 bnlog3( an1)，设数列 bnbn 2 的前 n 项和为 Tn，求证： Tn 3.419 （本小题满分 12 分）sin Ca b6在 ABC 中，内角 A， B， C 的对边分别是 a， b， c，且 sin Asin B a c.(1)求角 B 的大小； (2)点 D 满足 BD2 BC，且 AD3，求 2 a c 的最大值720 （本小题满分 12 分）已知在数列 an中， a12， a24，且 an 13 an2 an 1(n2)(1)证明：数列 an 1 an为等比数列，并求数列 an的通项公式；(2)令 bn 2n
8、1 ，求数列 bn的前 n 项和 Tn. an21 （本小题满分 12 分）如图 133，点 F1 为圆( x1) 2 y216 的圆心， N 为圆 F1 上一动点，且 F2(1,0)， M，P 分别是线段 F1N， F2N 上的点， 且满足 MPF2N0， F2N2 F2P.(1)求动点 M 的轨迹 E 的方程；(2)过点 F2 的直线 l(与 x 轴不重合)与轨迹 E 交于 A， C 两点，线段 AC 的中点为 G，连接 OG 并延长交轨迹 E 于点 B(O 为坐标原点)，求四边形 OABC 的面积 S 的最小值22 （本小题满分 12 分）已知椭圆 x2 y21 ( ab0)与直线 x
9、y10 相交于两点 P、 Q，且 OP OQ (O 为坐a2 b2标原点)(1)求 a12 b12的值；3， 2(2)若椭圆的离心率在 3 2 上变化时，求椭圆长轴长的取值范围20182019 学年（上）期中联考高二数学试题答题卷参考答案一、选择题：（共 60 分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 C A C D B B A A C B B C二、填空题：（共 20 分）1318；14. 5n2 7n；15.3；16. y2 2 3x6三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17.解: 由 ( 12 )x 1 m 1 0
10、，知1 m ( 12 )x 1 ， x 1,3 ，( 12 )x 1 14 ,1 ，1 m 1 ，即 m 0 4 分4 x又由 mx2 x 4 0 ， x 0 ，得 m ，x24 x 1 1 4( 1 )2 1 4( 1 1)2 , ) ， 8 分x2 x x x 8 16 161由题意， m , )16由“ p 且 q ”为真命题，知 p 和 q 都是真命题，1所以，符合题意的 m 的取值范围是 , 0) 10 分1618. 解 (1)由 Sn 12an 1 n1( nN *)，得 Sn 1 12an n(n2， nN *)，两式相减，并化简，得 an 13 an2，即 an 113( an
11、1)，又 a112130，所以 an1是以3 为首项，3 为公比的等比数列，所以 an1(3)3 n1 3 n.故 an3 n1. 4 分1 1(2)证明：由 bnlog 3( an1)log 33n n，得 1 1 1 n n2 bnbn 2 n n2 21 1 11 1 1 1 1 1 1 1Tn 3 2 4 3 5 n 1 n 1 n n 221 11 1 1 3 2n 3 3 2 n1 n2 . 12 分2 42 n 1 n 2 4sin C c19解： (1) a b，由正弦定理可得 a b，sin Asin B a c a b a c c(a c)( a b)(a b)，即 a2
12、c2 b2 ac.又 a2 c2 b22 accos B，cos B 12， B(0，)， B 3. 6 分(2)( 利用基本不等式求最值 ) 在 ABD 中，由余弦定理得 c2 (2 a)2 22accos 33 2，(2 a c)2932 ac.2a c 22 ac 2 ，(2 a c)29 34(2a c)2，即(2 a c)236,2 a c6，当且仅当 2 a c，即 a 32， c3 时，2 a c 取得最大值，最大值为 6. 12 分20. 解：(1)由 an 13 an2 an 1(n2)，得 an 1 an2( an an 1)，因此数列 an 1 an是公比为 2，首项为
13、a2 a12 的等比数列所以当 n2 时， an an 122 n2 2 n1 ， an( an an 1)( an 1 an 2)( a2 a1) a1(2 n1 2 n2 2)22 n，当 n 1 时，也符合，故 an 2n. 4 分(2)由(1)知 bn 2n1 ，2n3 5所以 Tn 1 2n 1 ，2 22 23 2n11 3 5 2n 12Tn 22 23 24 2n 1 ，1 1 2 2 2 2 2n 1，得 2Tn 2 22 23 24 2n 2n 11 1 1 11 2n 1 2 22 23 24 2n 8 分2 2n 111 1 2n 14 2n 1 1 2 2 1 2n
14、1121 1 2n 1 3 2n 3 2 12n1 2n1 2 2n1 ，所以 Tn3 2n3 . 12 分2n21. 解：(1)由题意，知 MP 垂直平分 F2N，所以| MF1| MF2|4.所以动点 M 的轨迹是以 F1(1,0)， F2(1,0)为焦点的椭圆，且长轴长为 2 a4，焦距 2 c2，所以 a2， c1， b23.轨迹 E 的方程为 x2 y21. 4 分4 3(2)设 A(x1， y1)， C(x2， y2)， G(x0， y0)设直线 AC 的方程为 x my1，与椭圆方程联立，可得(43 m2)y26 my90，6m 9所以 y1 y2 ， y1y2 .4 3m2 4
15、3 m2121 m2由弦长公式可得| AC| 1 m2|y1 y2| 43 m2 ，4 3m3m又 y0 ，所以 G 4 3m2 ， 4 3m2 .4 3m216直线 OG 的方程为 y 3m x ，与椭圆方程联立得 x2 ，所以4 4 3m24 3m， 43 m21B 43 m2 4 3m2 .点 B 到直线 AC 的距离 d1 1 m2 ，1点 O 到直线 AC 的距离 d2 1 m2 . 8 分1所以 S 四边形 OABC 1|AC|(d1 d2)6 1 3 ，当且仅当 m 0 时2 334 3m2取得最小值 3. 12 分22. 解 (1)设 P(x1， y1)、 Q(x2， y2)，
16、由 y x1，b2x2 a2y2 a2b2(a2 b2)x22 a2x a2 a2b20，2a2 a2 a2b2 x1 x2 a2 b2 x1x2 a2 b2 . ， OP OQ， x1x2 y1y20，x1x2( x11)( x21)0，2x1x2( x1 x2)10.2a22 a2 a2b2 1 0.a2 b2 a2 b2即 a2 b22 a2b2.1 1 2. 6 分a2 b21 1 a2(2)由 2，得 b2 .a2b2 2a2 13 2 1 1由 3 e 2，知3 e2 2.1 a2 b21 1 b2 2 3 a2 2. 2 a2 3.1 1 2故2 2a2 1 3.5 6 a ，从而52 a 6，2 2故所求长轴长的取值范围是 5 ， 612 分
