1、1考查角度 1 三角函数图象与性质的综合应用分类透析一 三角函数的图象及解析式例 1 已知函数 f(x)=Asin(x+) 其中 A0,0,00, 0,| 0)的最3 3小正周期为 .(1)求函数 f(x)的单调递增区间 .(2)将函数 f(x)的图象向左平移 个单位长度,再向上平移 1 个单位长度,得到函数 y=g(x) 6的图象,若 y=g(x)在0, b(b0)上至少含有 10 个零点,求 b 的最小值 .解析 (1)f(x)=2sin x cos x+ (2sin2x- 1)3=sin 2x- cos 2x= 2sin .3 (2x - 3)由最小正周期为 ,得 = 1,所以 f(x)
2、=2sin .(2x- 3)由 2k - 2 x- 2 k + ,kZ,整理得 k - x kx+ ,kZ, 2 3 2 12 512所以函数 f(x)的单调递增区间是 ,kZ .k -12,k +512(2)将函数 f(x)的图象向左平移 个单位长度,再向上平移 1 个单位长度,得到函数 6y=2sin 2x+1 的图象,所以 g(x)=2sin 2x+1.令 g(x)=0,得 x=k + 或 x=k + (kZ) .712 1112若 y=g(x)在0, b上至少含有 10 个零点,则 b 不小于第 10 个零点的横坐标 .所以 b 的最小值为 4 + = .111259123.(2015
3、 年山东卷,理 16 改编)已知函数 f(x)= sin 2x+cos 2x+3.3(1)求函数 f(x)的最小正周期与单调递减区间;(2)在 ABC 中, a,b,c 分别是角 A,B,C 的对边,若 a= ,f(A)=4,求 ABC 周长的最大值 .3解析 (1)f (x)= sin 2x+cos 2x+3=2sin 2x+ +3,3 6 函数 f(x)的最小正周期 T= = .22由 2k + 2 x+ 2 k + ,kZ,得 k + x k + ,kZ, 2 6 32 6 23 函数 f(x)的单调递减区间为 ,kZ .k + 6,k +236(2)由 f(A)=4,得 2sin +3
4、=4,(2A+ 6) sin 2A+ = . 6 12 0 0)的最小正332周期为 .(1)求函数 f(x)的单调递减区间;(2)若 f(x) ,求 x 的取值范围 .227解析 (1)f(x)= cos2x+ sin x cos x- = (1+cos 2x )+ sin 2x- = cos 332 32 12 32 322x+ sin 2x= sin 2x+ , 12 3因为 f(x)的最小正周期为 ,所以 = 1,故 f(x)=sin .(2x+ 3)由 +2k2 x+ +2k, kZ,得 +k x +k, kZ, 2 3 32 12 712故函数 f(x)的单调递减区间为 ,kZ .
5、12+k ,712+k (2)因为 f(x) ,所以 sin .22 (2x+ 3) 22由正弦函数的性质得 +2k 0)的最小正周 6期为 .(1)求 的值及函数 f(x)的单调递增区间 .(2)求 f(x)在区间 上的最大值和最小值 .0,712解析 (1)f(x)=sin +2cos2x- 1(2x - 6)=sin 2x cos -cos 2x sin +cos 2x 6 6=sin 2x +cos 2x =sin ,32 12 (2x + 6)因为 f(x)的最小正周期为 ,所以 = 1,故 f(x)=sin .(2x+ 6)由 - +2k2 x+ +2k,得 - +k x +k,
6、kZ . 2 6 2 3 6故 f(x)的单调递增区间为 ,kZ .- 3+k , 6+k (2)由(1)得 f(x)=sin ,因为 0 x ,所以 2 x+ ,(2x+ 6) 712 6 6 43所以 f(x)在区间 上的最大值为 1,最小值为 - .0,712 3284.(2018 年湖北模拟)已知函数 f(x)=Asin(x+ ) A0, 0,| 的图象(部分)如图 2所示 .(1)求函数 f(x)的解析式;(2)求函数 f(x)在区间 上的最大值与最小值 .-12,12解析 (1)由图可知 A=2,T=4 =2,= = .(56-13) 2T由 f =2sin =2,可得 += 2k + ,解得 = 2k + ,kZ .(13) ( 3+ ) 3 2 6又 | ,= ,f (x)=2sin . 2 6 ( x+ 6)(2)x , x+ ,-12,12 6 - 3,23- 2sin 2,即 f(x)的最大值是 2,最小值是 - .3 ( x+ 6) 3
