1、1考查角度 2 三角恒等变换与解三角形的综合应用分类透析一 三角恒等变换及应用例 1 在 ABC中, AC=6,cos B= ,C= .45 4(1)求 AB的长;(2)求 cos 的值 .(A-6)分析 (1)先利用同角三角函数关系式求出 sin B,再用正弦定理求 AB的长 .(2)先利用 A+B+C= 和两角和公式求出 cos A,再求出 sin A,最后用两角差公式求解 .解析 (1)因为 cos B= ,0AD,所以 AD=3.(2)在 ABD中,由正弦定理可知 = .BDsinBADABsinADB又由 cos BAD= ,可知 sin BAD= ,223 13所以 sin ADB
2、= = .ABsinBADBD 63因为 ADB= DAC+ C= + C,所以 cos C= .2 63方法技巧 解三角形的关键是分清所解三角形中的已知元素和未知元素,由已知条件合理选用正弦定理、余弦定理,注意角的范围与三角函数符号之间的联系 .分类透析三 三角恒等变换与解三角形的综合应用例 3 在 ABC中,角 A,B,C所对的边分别为 a,b,c,且满足 = ,D是 AC边上的一3c-acosA bcosB点 .(1)求 cos B的值;(2)若 AB=2,AD=2DC,BD= ,求 ABC的面积 .433分析 (1)先化简已知等式,再根据角的范围求出 cos B.(2)设 AD=2DC
3、=2x,利用 CDB= - ADB和余弦定理建立方程组求出 a,再由 cos B求出sin B,代入 S= acsin B中,进而求出 ABC的面积 .12解析 (1)由 = ,得 3ccos B-acosB=bcosA,3ccos B=acosB+bcosA.3c-acosA bcosB3由正弦定理得 3sin CcosB=sin AcosB+sinBcosA=sin(A+B)=sin C.因为 sin C0,所以 cos B= .13(2)设 BC=a,AD=2DC=2x,则在 ABC中,由余弦定理得 AC2=AB2+BC2-2ABBCcos ABC,即 9x2=4+a2- . 4a3在
4、ABD中,由余弦定理得 cos ADB= ;(2x)2+(433)2-2222x433在 BDC中,由余弦定理得 cos CDB= .x2+(433)2-a22x433因为 cos CDB=-cos ADB,所以 3x2-a2=-6. 由 ,解得 a=3.又因为 sin ABC= = ,1-19223所以 ABC的面积为 ABBCsin ABC=2 .12 2方法技巧 (1)一般地,如果条件为含有角的余弦或边的代数式,要灵活运用正弦、余弦定理实现边角转化;(2)三角形的面积公式涉及边、角,常和正弦、余弦定理结合起来运用 .1.(2018年江苏卷,16 改编)已知 cos cos =- , .(
5、6+ ) (3- ) 14 (3,2)(1)求 sin 2 的值;(2)求 tan - 的值 .1tan解析 (1) cos cos =cos + sin + = sin =- ,(6+ ) (3- ) 6 6 12 (2 +3) 14 sin =- .(2 +3) 12 , 2+ ,(3,2) 3 ( ,43) 2+ = ,解得 2= . sin 2= sin = .376 56 56 124(2)由(1)知 sin 2= , cos 2=- .12 32 tan - = - = =- =-2 =2 .1tan sincos cossin sin2 -cos2sin cos 2cos2sin
6、2 - 3212 32.(2018年全国 卷,理 17改编)如图所示,在平面四边形 ABCD中, AD=1,CD=2,AC= .7(1)求 cos CAD的值;(2)若 cos BAD=- ,sin CBA= ,求 BC的长 .714 216解析 (1)在 ADC中,由余弦定理,得 cos CAD= = = .AC2+AD2-CD22ACAD 7+1-427 277(2)设 BAC= ,则 = BAD- CAD. cos CAD= ,277 sin CAD= = .1-cos2CAD217又 cos BAD=- ,714 sin BAD= = .1-cos2BAD32114 sin = sin
7、( BAD- CAD)=sin BADcos CAD-cos BADsin CAD= - = .32114 277 (- 714) 217 32在 ABC中,由正弦定理,得 = ,BCsin ACsinCBA故 BC= = =3.ACsinsinCBA7322163.(2017年全国 卷,理 17改编)在 ABC中,角 A,B,C所对的边分别为 a,b,c,且bcosA=(2c-a)cos B.(1)求角 B的大小;(2)若 ABC的面积为 3 ,b= ,求 ABC的周长 .3 13解析 (1)b cosA=(2c-a)cos B,由正弦定理,得 sin BcosA=(2sin C-sin A
8、)cos B.5 sin AcosB+cosAsinB=2sin CcosB, sin(A+B)=2sin CcosB.又 A+B+C=, sin(A+B)=sin C. sin C0, cos B= .12又 B(0,), B= .3(2)由(1)知 B= ,又 b= ,3 13b 2=a2+c2-2accos B,即 13=a2+c2-ac. 又 S ABC= acsin B=3 ,ac= 12. 12 3 联立 解得 a+c=7. ABC的周长为 7+ .131.(2018年长郡中学)已知在 ABC中,角 A,B,C的对边分别为 a,b,c,且 asinB-bcosA=0.(1)求角 A
9、的大小 .(2)若 a=2 ,b=2,求 ABC的面积 .5解析 (1)在 ABC中,由正弦定理得 sin AsinB-sin BcosA=0,即 sin B(sin A-cos A)=0.又 B为三角形的内角,sin B0,所以 sin A-cos A=0,即 sin =0.2 (A-4)又 A(0,),所以 A= .4(2)在 ABC中,由余弦定理得 a2=b2+c2-2bccos A,将 a=2 ,b=2,cos A= 代入,得 20=4+c2-4c ,即 c2-2 c-16=0,522 22 2解得 c=-2 (舍去)或 c=4 .2 2所以 S ABC= bcsin A= 24 =4
10、.12 12 2 222.(2018年河南郑州高三质检一)在 ABC中,角 A,B,C的对边分别为 a,b,c,且 2ccos B=2a+b.(1)求角 C;6(2)若 ABC的面积 S= c,求 ab的最小值 .32解析 (1)由正弦定理得 2sin CcosB=2sin A+sinB,即 2sin CcosB=2sin(B+C)+sin B, 2sin BcosC+sinB=0.B 为三角形的内角, sin B0, cos C=- .12又 C 为三角形的内角, C= .23(2)S= absin C= c,c= ab.12 32 12又 c2=a2+b2-2abcos C=a2+b2+a
11、b, =a2+b2+ab3 ab.a2b24ab 12 .故 ab的最小值为 12.3.(2018届江西省重点中学协作体联考)已知 a,b,c分别为 ABC三个内角 A,B,C的对边,2acos B+b=2c, =4.ABAC(1)求 S ABC;(2)若 D是 BC的中点, AD= ,求 a.7解析 (1) 2acos B+b=2c,A+B+C=, 2sin AcosB+sinB=2sin C=2sin(A+B)=2sin AcosB+2cos AsinB,整理得 sin B=2sin BcosA,又 sin B0, cos A= .12A (0,), A= .3 =4,bc cos A=4
12、,解得 bc=8,ABACS ABC= bcsin A= 8 =2 .12 12 32 3(2) = ( + ), = ( +2 + ),AD12ABAC AD214AB2 ABACAC2即 7= (c2+24+b2),化简得 b2+c2=20.14又 bc= 8,7a 2=b2+c2-2bccos A=20-28 =12.12a= 2 .34.(2018届襄阳调研)在 ABC中,内角 A,B,C所对的边分别是 a,b,c,已知asinB=bcosA,cosB= .35(1)求 cos C的值;(2)若 a=15,D为 AB边上的点,且 2AD=BD,求 CD的长 .解析 (1)由 asinB
13、=bcosA得 sin AsinB=sin BcosA.A ,B,C是 ABC的内角, sin B0,cos A0, tan A=1,故 A= .4由 cos B= ,得 sin B= = .35 1-(35)245 cos C=cos -(A+B)=-cos(A+B)=-cos cos B+sin sin B= .4 4 210(2)由 cos C= ,得 sin C= = .210 1-(210)27210由正弦定理得 = ,解得 c=21,15sin4 c7210BD= c=14.23在 BDC中, CD2=BC2+BD2-2BCBDcos B=152+142-21514 =169,解得 CD=13.358
