1、1小专题(一) 求锐角的三角函数值求锐角三角函数值的方法很多,且方法灵活,是中考中常见的题型,可以根据已知条件结合图形选用灵活的求解方法 .现将求锐角三角函数值的常用方法总结如下: 直接根据定义求三角函数值,首先求出相应边的长度,然后代入三角函数公式计算即可; 若已知两边的比值或一个三角函数值,而不能直接求出对应边的长,则可采用设元的方法求解; 利用互余两角的三角函数关系式,改求其余角的三角函数值; 当直接用三角函数定义求某锐角的三角函数值较为困难时,可通过相等角进行转换求解 .类型 1 运用定义求三角函数值1.在 Rt ABC 中, CD 是斜边 AB 上的高线,已知 ACD 的正弦值是 ,
2、则 的值是 (D)23 ACABA. B. C. D.25 35 52 232.如图,在 Rt ABC 中, CD 是斜边 AB 上的高,则下列线段的比等于 sin A 的是 (A)A. B.CDAC BDDCC. D.BCAC CDBC3.一个等腰三角形的腰是 10,底边是 12,求这个三角形顶角的正弦值、余弦值和正切值 .解:设三角形顶角为 A,底角为 B, C.则有 AB=AC=10,BC=12,作 AD BC 于点 D,作 CE AB于点 E.AB=AC ,AD BC,BD=CD= 6.在 Rt ABD 中, AD= =8,AB2-BD2= 102-62又 S ABC= ABCE= B
3、CAD,12 12CE= 9.6.2在 Rt ACE 中, AE= =2.8,AC2-CE2= 102-9.62 sin BAC= =0.96,cos BAC= =0.28,tan BAC= .CEAC=9.610 AEAC=2.810 CEAE=9.62.8=247类型 2 巧设参数求三角函数值4.若 a,b,c 是 ABC 中 A, B, C 的对边,且 abc= 1 ,则 cos B 的值为(B)2 3A. B. C. D.63 33 22 245.如图,在 ABC 中, B=90,C 是 BD 上一点, DC=10, ADB=45, ACB=60,求 AB 的长 .解:设 AB=x,在
4、 ABD 中, ADB=45, B=90,AB=BD=x. B=90, ACB=60,BC= x.xtan60= 33又 BD=BC+DC ,x= x+10,33x= 15+5 ,AB 的长为 15+5 .3 36.如图,在 Rt ABC 中, C=90, BAC 的平分线交 BC 于点 E,EF AB 于点 F,F 恰好是 AB的一个三等分点( AFBF).(1)求证: AC=AF;(2)求 tan CAE 的值 .3解:(1) C=90,EC AC.AE 平分 BAC,EF AB,EC=EF.在 Rt ACE 和 Rt AFE 中, EC=EF,AE=AE, Rt ACERt AFE,AC
5、=AF.(2)F 是 AB 的一个三等分点( AFBF), 设 BF=x,AF=2x,则 AC=2x,AB=3x.在 Rt ACB 中,由勾股定理得 BC= x.(3x)2-(2x)2= 5 tan B= ,ACBC= 2x5x= 25 在 Rt EFB 中, EF=BFtan B= ,2x5CE=EF= , tan CAE= .2x5 CEAC= 55类型 3 利用互余的两角的三角函数关系求锐角三角函数值7.在 ABC 中, C=90,则下列式子成立的是(A)A.sin A=cos B B.sin Atan A=cos AC.sin Acos B=1 D.sin A=sin (90-A)8.
6、在 ABC 中, A, B 为锐角,且有 sin A=cos B,则这个三角形是 (B)A.等腰三角形 B.直角三角形C.钝角三角形 D.锐角三角形类型 4 等角代换求三角函数值9.在 ABC 中, C=90,a,b,c 分别是 A, B, C 的对边,那么 c 等于 (B)A.acos A+bsin B B.asin A+bsin BC. D.asinA+ bsinB acosA+ bsinB410.(咸宁中考)如图,已知直线 l1 l2 l3 l4,相邻两条平行直线间的距离都是 1,如果正方形 ABCD 的四个顶点分别在四条直线上,则 sin = . 5511.请你画出一个以 BC 为底边
7、的等腰 ABC,使底边上的高 AD=BC.(1)求 tan ABC 和 sin ABC 的值;(2)在你所画的等腰 ABC 中,假设底边 BC=5,求腰上的高 BE.解:图略 .(1)tan ABC=2,sin ABC= .255(2)BE=2 .5类型 5 构造法求三角函数值12.如图,在平面直角坐标系中,点 A 的坐标为(3,4),那么 sin 的值是 (C)A. B. C. D.35 34 45 4313.如图,在 ABC 中, B=135,tan A= ,BC=6 .25 2(1)求 AC 的长;(2)求 ABC 的面积 .解:(1)过点 C 作 CD AB 交 AB 的延长线于点 D
8、.5 在 ABC 中, ABC=135, CBD=45,BD=CD.BC= 6 ,BD=CD= 6.2 tan A= ,AD= =15,25 CDtanAAB=AD-BD= 9.AC= =3 .152+62 29(2)S ABC= ABCD= 96=27.12 1214.学习过三角函数,我们知道在直角三角形中,一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定,因此边长与角的大小之间可以相互转化 .类似的,可以在等腰三角形中建立边角之间的联系,我们定义:等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对(sad) .如图,在 ABC 中, AB=AC,顶角 A 的正对记作 sad A,这时 sad A= .容易知
9、道一个角的大小与这个角的正对值也底边 腰 =BCAB是相互唯一确定的 .根据上述对角的正对的定义,解下列问题:(1)sad 60的值为 (B)A. B.1 C. D.212 32(2)对于 0 A180, A 的正对值 sad A 的取值范围是 0sad A2 . (3)已知 sin = ,其中 为锐角,试求 sad 的值 .35解:(3)如图,在 ABC 中, ACB=90,sin A= .356在 AB 上取点 D,使 AD=AC,作 DH AC,H 为垂足,令 BC=3k,AB=5k,则 AD=AC= =4k,(5k)2-(3k)2又 在 ADH 中, AHD=90,sin A= .35DH=AD sin A= k,AH= k.125 AD2-DH2=165则在 CDH 中, CH=AC-AH= k,CD= k.45 DH2+CH2=4105于是在 ACD 中, AD=AC=4k,CD= k.4105由正对的定义可得,sad A= ,即 sad = .CDAD= 105 105
