1、1大题精做 12 函数与导数：存在、恒成立与最值问题2019广州一 模已知函数 elnxfa（1）若 ea，求 fx的单调区间；（2）当 0时，记 f的最小值为 m，求证 1【答案】 （1）函数 fx的单调递减区间为 0,，单调递增区间为 1,；（2）见解析【解析】 （1）当 ea时， elnxf， fx的定义域是 0,，1x xfx，当 0时， 0f；当 1时， 0f所以函数 fx的单调递减区间为 ,，单调递增区间为 1,（2）证明：由（1）得 fx的定义域是 0,， exfxa，令 exga，则 1exg， g在 ,上单调递增，因为 0，所以 0， 0a，故存在 0,xa，使得 00exg
2、当 ,时， x， 10xfa， fx单调递减；当 0,x时， 0g， exf， f单调递增；故 时， fx取得最小值，即 000lnxmfax，由 0exa，得 00enllxxa，令 ， lh，则 1lnlhx，当 0,1x时， ln0x， lx单调递增，当 ,时， lh， lnhx单调递减，故 1x，即 a时， lxx取最大值 1， m12019青海联考已知函数 e1xfa2（1）讨论函数 fx的单调性；（2）当 f有最小值，且最小值不小于 21a时，求 a的取值范围22019咸阳模拟设函数 1exfxm， R（1） 当 1m时，求 f的单调区间；（2）求证：当 0,x时， 1len2x3
3、32019东莞期末已知函数 lnxfb，函数 2gxfx（1）求函 数 fx的单调区间；（2）设 1， 212是函数 gx的两个极值点，若 13b，求 12gx的最小值1 【答案】 （1）见解析；（2） 0,1【解析】 （1） exfa，4当 0a时， e0xfa，所以函数 fx在 R上单调递增；当 时，令 f，解得 lna，当 ,lnxa时， 0fx，故函数 fx在 ,lna上单调递减；当 l,时， f，故函数 f在 l,上单调递增（2）由（1）知，当 0a时，函数 fx在 R上单调递增，没有最小值，故 0a2minlln1fxf a，整理得 20aa，即 l0令 l()g，易知 g在 ,上
4、单调递增，且 10g；所以 ln20a的解集为 ,1，所以 0,1a2 【答案】 （1）见解析；（2）见解析【解析】 （1）当 m时， exfx， exf，令 1e0xf，则 当 0x时， 0fx；当 时， 0f，函数 f的单调递增区间是 ,；单调递减区间是 0,（2）由（1）知，当 1m时， max0ff，当 0,x时， e0x，即 1，当 ,时，要证 1ln2，只需证 2exx，令 2eexxxF， 2ln1e1exxxxxx ，由 e1x，可得 2e1x，则 0,时， 0F恒成立，即 Fx在 0,上单调递增， 0Fx即 2e1xx， ln2x3 【答案】 （1）函数 f的增区间为 0,e
5、； fx的减区间为 e,；（2） 143ln2【解析】 （1）由题意知， fx的定义域为 ,2lnxf，当 0时，解得 e；当 0fx时， ex5所以函数 fx的增区间为 0,e； fx的减区间为 e,（2）因为 22lngf b，从而2141xbgx，令 0x，得 2410xb，由于 69103，设方程两根分别为 1， 2，由韦达定理可知， 124bx， 12x，2121lnlngxxb122lnbx1212122ln4x11122122llxx，设 12xt，则 12lnghtt，因为 120x，所以 120,xt，又 13b，所以 12134bx，所以 211269448tx，整理得 250tt，解得 12t或 t所以 10,2t，221thtt，所以 ht在 ,1单调递减，43ln11t，故 12gx的最小值是 43ln26
