1、1大题精做 10 函数与导数：存在、恒成立与最值问题2019广州一模已知函数 elnxfa（1）若 ea，求 fx的单调区间；（2）当 0时，记 f的最小值为 m，求证 1【答案】 （1）函数 fx的单调递减区间为 0,，单调递增区间为 1,；（2）见解析【解析】 （1）当 ea时， elnxf， fx的定义域是 0,，1x xfx，当 0时， 0f；当 1时， 0f所以函数 fx的单调递减区间为 ,，单调递增区间为 1,（2）证明：由（1）得 fx的定义域是 0,， exfxa，令 exga，则 1exg， g在 ,上单调递增，因 为 0，所以 0， 0a，故 存在 0,xa，使得 00ex
2、g当 ,时， x， 10xfa， fx单调递减；当 0,x时， 0g， exf， f单调递增；故 时， fx取得最小值，即 000lnxmfax，由 0exa，得 00enllxxa，令 ， lh，则 1lnlhx，当 0,1x时， ln0x， lx单调递增，当 ,时， lh， lnhx单调递减，故 1x，即 a时， lxx取最大值 1， m12019青海联考已知函数 e1xfa2（1）讨论函数 fx的单调性；（2）当 f有最小值， 且最小值不小于 21a时，求 a的取值范围22019咸阳模拟设函数 1exfxm， R（1）当 1m时，求 f的单调区间；（2）求证：当 0,x时， 1len2x
3、332019茂名一模已知函数 1exafR在 2x处的切线斜率为 e2（1）求实数 a的值，并讨论函数 fx的单调性；（2）若 elnxgf，证明： 1g1 【答案】 （1）见解析；（2） 0,1【解析】 （ 1） exfa，4当 0a时， e0xfa，所以函数 fx在 R上单调递增；当 时，令 f，解得 lna，当 ,lnxa时， 0fx，故函数 fx在 ,lna上单调递减；当 l,时， f，故函数 f在 l,上单调递增（2）由（1）知，当 0a时，函数 fx在 R上单调递增，没有最小值，故 0a2minlln1fxf a，整理得 20aa，即 l0令 l()g，易知 g在 ,上单调递增，且
4、 10g；所以 ln20a的解集为 ,1，所以 0,1a2 【答案】 （1）见解析；（2）见解析【解析】 （1）当 m时， exfx， exf，令 1e0xf，则 当 0x时， 0fx；当 时， 0f，函数 f的单调递增区间是 ,；单调递减区间是 0,（2）由（1）知，当 1m时， max0ff，当 0,x时， e0x，即 1，当 ,时，要证 1ln2，只需证 2exx，令 2eexxxF， 2ln1e1exxxxxx ，由 e1x，可得 2e1x，则 0,时， 0F恒成立，即 Fx在 0,上单调递增， 0Fx即 2e1xx， ln2x3 【答案】 （1）见解析；（2）见解析【解析】 （1）
5、122eexxxaf a，由切线斜率 21kf， 解得 512exf，其定义域为 ,0,， 12exf，令 0，解得 ，故 fx在区间 1,上单调递增；令 fx，解得 1x，且 0，故 f在区间 ,0和区间 ,1上单调递减（2）由（1）知 12elnxg，定义域为 ,从而 x等价于 x，设 ln0h，则 ln1h， 1ln0eh当 e1,x时， x；当 ,x时， x故 h在区间 0,上单调递减，在区间 1e,上单调递增，从而 x在 1,e的最小值为 h设 20xm，则 1exm，当 ,1时， ；当 ,时， 0mx，故 x在区间 0,上单调递增，在区间 1,上单调递减，从而 m在 ,的最大值为 e，综上所述，在区间 0,上恒有 hxm成立，即 1gx6
