1、1大题精做 7 立体几何：建系困难问题2019长沙统测已知三棱锥 PABC（如图一）的平面展开图（如图二）中，四边形 ABCD为边长等于2的正方形， ABE 和 F 均为正三角形，在三棱锥 PABC中：（1）证明：平面 C平面 ；（2）若点 M在棱 P上运动，当直线 BM与平面 所成的角最大时，求二面角 PBCM的余弦值图一 图二【答案】 （1）见解析；（2） 53【解析】 （1）设 AC的中点为 O，连接 B， P由题意，得 2PABC， 1PO， 1ABCO在 中， ， 为 的中点， P，在 O 中， 1， ， 2， 2， POB ACB， A， B平面， O平面 ABC， P平面 ，平面
2、 PC平面 （2）由（1）知， O， ， 平面 P， BM是直线 与平面 A所成的角，且 1tanBOM，当 最短时，即 是 P的中点时， B最大由 P平面 AC， B， O， PC，于是以 O， ， D所在直线分别为 x轴， y轴， z轴建立如图示空间直角坐标系，2则 0,O， 1,0C， ,10B， ,0A， ,1P， 1,02M，,B， ,P， 3,2MC设平面 M的法向量为 1,xyzm，则由 0C得： 103z令 1，得 1y， 3z，即 1,3m设平面 PB的法向量为 2,xyn，由 0Cn得： 20z，令 1，得 y， 1z，即 ,1n53cos,nm由图可知，二面角 PBCM的
3、余弦值为 5312019安庆期末矩形 ABCD中， 1， 2AD，点 E为 A中点，沿 BE将 A 折起至 PBE ，如图所示，点 P在面 E的射影 O落在 E上（1）求证：面 PCE面 B；（2）求平面 D与平面 所成锐二面角的余弦值322019南阳期末如图 1，在矩形 ABCD中， 35， 25BC，点 E在线段 DC上，且 5E，现将 AED 沿 折到 E 的位置，连结 ， ，如图 2（1）若点 P在线段 BC上，且 52P，证明： AEDP；（2）记平面 ADE与平面 的交线为 l若二面角 B为 23，求 l与平面 DCE所成角的正弦值432019苏州调研如图，在四棱锥 PABCD中，
4、已知底面 ABCD是边长为 1 的正方形，侧面 PAD平面ABCD， P， A与平面 所成角的正弦值为 217（1）求侧棱 PA的长；（2）设 E为 B中点，若 AB，求二面角 PCE的余弦值561 【答案】 （1）详见解析；（2） 1【解析】 （1）在四棱锥 PBCDE中， 2， BC，从而有 EB，又 PO面 ，而 面 ， PO，而 、 面 P，且 OE，由线面垂直定理可证 面 ，又 面 E，由面面垂直判断定定理即证面 C面 PB（2）由条件知 面 BCDE，过点 做 的平行线 Z，又由（1）知 E面 P，以 、 、 分别为 x、 y、 z轴建立空间直角坐标系，如图所示： 2,0P， ,2
5、0C， 2,0D， 2,CP， 2,0DC，面 BE的一个法向量为 1,n，设面 PCD的法向量为 2,xyz，则有220xyz，从而可得面 的一个法向量为 21,3n， 121cos,n，设平面 PCD与平面 BE所成锐二面角为 ，与 ,互补，则 cos，故平面 与平面 所成二面角的余弦值为 12 【答案】 （1）详见解析；（2） 15【解析】证明：（1）先在图 1 中连结 DP，在 RtAE 中，由 25DBC， E，得 tan2DAE，在 RtC 中，由 35B， 3P，得 1PC， anta，则 C， 90O，从而有 AEOD， ，即在图 2 中有 AEOD， P， AE平面 ，则 P
6、7解：（2）延长 AE， BC交于点 Q，连接 D，根据公理 3 得到 直线 DQ即为 l，再根据二面角定义得到 23OP在平面 PO内过点 作底面垂线，以 O为原点，分别为 ， ，及所作垂线为 x轴、 y轴、 z轴建立空间直角坐标系，则 0,13D， 1,0E， 1,0Q， 3,40C，,Q， 2,4C， ,1ED，设平面 E的一个法向量为 ,xyzn，由 2403xyzn，取 1y，得 32,1n l与平面 DC所成角的正弦值为15cos,QDn3 【答案】 （1） PA或 216；（2） 47【解析】 （1）取 中点 O， BC中点 M，连结 OP， ， APD， OA，又平面 D平
7、面 ， P平面 AD，平面 平面 BC， OP平面 AB， ， ，又 C是正方形， ，以 为原点 ， M， OP为 x， y， z轴建立空间直角坐标系 Oxyz（如图） ，则 1,02A， 1,02D， 1,02B， 1,02C，设 ,Pc，则 ,Pc， ,，设平面 BC的一个法向量为 11,xyzn，则有 1102xycz，8取 1z，则 1yc，从而 10,cn，设 PA与平面 BC所成角为 ， 1,02PAc， 1121sinco, 74cn，解得 234c或 21， PA或 26（2）由（1）知， 1PAB， PA， 32c，由（1）知，平面 C的一个法向量为 10,1n，设平面 PE的一个法向量为 2xyz， ， ，而 ,02CE， 13,2PC，1023xy取 1x，则 y， 3z，即 21,3n，设二面角 BPCE的平面角为 ， 12642cos 7,，根据图形得 为锐角，二面角 BPCE的余弦值为 47
