1、1大题精做 8 立体几何：动点与设未知量2019遵义航天中学如图，在四棱锥 PABCD中，底面 AB是边长为 2的菱形， 60ABC，PAB为正三角形，且侧面 底面 ， E为线段 的中点， M在线段 PD上（1）当 M是线段 PD的中点时，求证： 平面 ；（2）是否存在点 ，使二面角 M的大小为 60，若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由【答案】 （1）见解析；（2）存在 13PMD【解析】 （1）证明：连接 B交 AC于 H点，连接 ，四边形 ABCD是菱形，点 H为 BD的中点，又 M为 P的中点， MP ，又 平面 ， 平面 AC， 平面 ACM（2） AB是菱形， 60B， E是
2、B的中点， EB，又 PE平面 ABCD，以 为原点，分别以 ， E， P为 x， y， z轴，建立空间直角坐标系 Exyz，则 0,， 1,0， ,3， 0,C， 2,30D假设棱 PD上存在点 M，设点 坐标为 ,xyz， 1PM，2则 ,32,3xyz， 2,31M， ,1EM， 0,EC，设平面 C的法向量为 ,xyzn，则 23100xEyn，解得 0231yxz令 z，则 ，得 3,n P平面 ABCD，平面 AB的法向量 0,1m， 22cos, 763431nm，二面角 MEC的大小为 60， 21763，即 21，解得 13，或 （舍去）在棱 PD上存在点 ，当 3PD时，二
3、面角 MECD的大小为 6012019跃华中学如图所示，正四棱椎 PABCD中 ，底面 ABC的边长为 2，侧棱长为 2（1）若点 E为 PD上的点，且 PB 平面 EAC，试确定 点的位置；（2）在（1）的条件下，点 F为线段 上的一点且 PFA，若平面 EC和平面 BDF所成的锐二面角的余弦值为 4，求实数 的值322019湖北联考如图，在四棱锥 PABCD中， P， ADBC ， ，且2PCBADC， 2（1）证明： PA平面 BCD；（2）在线段 上，是否存在一点 M，使得二面角 ACD的大小为 60？如果存在，求 PMD的值；如果不存在，请说明理由432019西城 44中如图，在四棱
4、锥 PABCD中，底面 AB是平行四边形， 135BCD，侧面PAB底面 CD， 90BA， 2， E， F分别为 ， A的中点，点 M在线段上5（1）求证： EF平面 PAC；（2）若 M为 D的中点，求证： ME 平面 PAB；（3）如果直线 与平面 B所成的角和直线 与平面 CD所在的角相等，求 PMD的值1 【答案】 （1） E为 PD中点；（2） 15【解析】 （1）设 B交 AC于点 O，连结 E，6 PB 平面 AEC，平面 平面 BDPOE， B ，又 O为 D的中点，在 中， 为 中点（2）连结 OP，由题意得 平面 ABCD，且 B，以 为原点， C、 、 OP所成直线为
5、x， y， z轴，建立空间直角坐标系，26D， ,0A， ,20B， ,0， ,20D， ,6P，则 26,E， ,OC， 6,E， 0,2O，设平面 A的法向量 ,xyzm，则20602xCEyz，令 1z，得平面 AEC的一个 法向量 0,31m，设平面 BDF的法向量 ,xn，由 PA，得 2,06， 2,6DF， 0xyzOD n，令 1z，得 31,0n，平面 AEC和平面 BF所成的锐二面角的余弦值为 4， 21cos,23mn，解得 152 【答案】 （1）见证明；（2）见解析【解析】 （1）在底面 ABCD中， B ， ADC，且 22BADC， 2ABC， 2， ，7又 AB
6、PC， ， AC平面 P， C平面 PA， B平面 PAC，又 平 面 ， B， 2， 2， ，又 PAB， AC， 平面 ABCD， 平面 ABCD， 平面 D（2）方法一：在线段 上取点 N，使 2，则 MNP ，又由（1）得 PA平面 BCD， MN平面 ABCD，又 C平面 ， ，作 O于 ，又 MNO， 平面 ， 平面 N， A平面 MNO，又 平面 ， AC，又 AC， N是二面角 MD的一个平面角，设 PxD，则 12xPx， 2ONAx，这样，二面角 MD的大小为 60，即 tantan3ONx，即 423PxD，满足要求的点 M存在，且 423PD方法二：取 BC的中点 E，
7、则 A、 、 三条直线两 两垂直可以分别以直线 、 D、 P为 x、 y、 z轴建立空间直角坐标系，且由（1）知 0,2AP是平面 ACD的一个法向量，8设 0,1PMxD，则 12NxAPx， 2NADx， ,2Ax， ,0C，设 ,Qabc是平面 AM的一个法向量，则 20QMxbcACa， 2xcb，令 ，则 2,2AQxx，它背向二面角，又平面 CD的法向量 0,P，它指向二面角，这样，二面角 MACD的大小为 60，即 2221cos cos6022, xPAx ，即 423x，满足要求的点 M存在，且 43PD3 【答案】 （1）证明见解析；（2）证明见解析；（3） 2【解析】 （
8、1）证明：在平行四边形 ABC中， ABC， 15D， 45， AC， E， F分别为 ， 的中点， EF ， ，侧面 P底面 AB，且 90P， 底面 BD， PAEF，又 ， 平面 C， A平面 ， EF平面 C（2）证明： M为 D的中点， F为 D的中点， M ，又 F平面 PAB， 平面 PB， 平面 PAB，同理，得 E 平面 ，又 ， F平面 E， F平面 E，平面 EF 平面 PAB，又 M平面 ， M 平面 PAB（3）解： PA底面 BCD， ， ， ， AC两两垂直，故以 B， ， 分别为 x轴， y轴和 z轴建立如图空间直角坐标系，9则 0,A， 2,0B， ,20C， ,2P， ,0D， 1,E， ,P， ,PD， ,B，设 0,1M，则 2,M， 2,， 1,2E，易得平面 ABCD的法向量 0,m，设平面 P的法向量为 ,xyzn，则 0BCPn，即 20xyz，令 1，得 ,1，直线 ME与平面 PBC所成的 角和此直线与平面 ABCD所成的角相等， ,coscosmn，即MEmn， 23，解得 32或 32（舍去） ，故 PMD
