1、1大题精做 14 函数与导数：零点（方程的解）的判断2019江西联考已知函数 2ln1fxax， aR（1）若 a，且曲线 yf在 t处的切线 l过原点，求 t的值及直线 l的方程；（2）若函数 fx在 1,e上有零点，求实数 a的取值范围【答案】 （1） 2t， 3ln0xy；（2） 2e1,【解析】 （1）若 a，则 2lnf，所以 lnfxx，因为 fx的图象在 xt处的切线 l过原点，所以直线 l的斜率 ftkft，即 221lnlttt，整理得 120t，因为 ，所以 ， 3k，所以直线 l的方程为 3ln0xy（2）函数 fx在 1,e上有零点，即方程 2ln10xa在 ,e上有实
2、根，即方程 ln0a在 ,上有实根设 1lhxx，则 221xaahx ，当 1a，即 0a， ,e时， 0， h在 ,e上单调递增，若 hx在 ,e上有实根，则 1 h，即 2 1ea，所以 2a当 1a，即 0ea时， ,x时， 0hx， x单调递减，,ex时， hx， 单调递增，所以 min12ln1aa，由 1ea，可得 0ln1a，所以 h， 0hx在 ,e上没有实根当 1ea，即 1a， ,时， 0hx， x在 1,e上单调递减，若 0hx在 ,上有实根，则 e，即 2 ea，解得21a因为2e1，所以21a时， 0hx在 1,上有实根2综上可得实数 a的取值范围是 2e1,120
3、19宁夏联考已知函数 22exfa（1）当 2a时，求曲线 y在点 0,f处的切线方程；（2）当 0时，讨论函数 fx的零点个数22019肇庆统测已知函数 2lnfxax（1）讨论 fx的单调性；（2）若 f有两个零点，求 a的取值范围332019济南期末已知函 数 21eexxfa（1）讨论 fx的单调性；（2）若 f有两个零点，求 a的取值范围451 【答案】 （1） 3y；（2）见解析【解析】 （1）因为 e4xf，所以 0240f，又 023f，所以曲线 yf在点 ,处的切线方程为 3y（2） 2eexxxfaa ，当 0a时， xf，无零点；当 时，由 0，得 ln2当 ,ln2ax
4、时， fx；当 l,时， 0f，所以 2min3lln4aafxf22exfa，当 x时， 0f；当 时， x， 0fx所以当 23ln04，即342ea时，函数 fx有两个零点；所以当 2la，即34时，函数 f有一个零点；当 23ln04，即342ea时，函数 fx没有零点综上，当34ea时，函数 fx有两个零点；当342ea时，函数 fx有一个零点；当 02时，函数 f没有零点2 【答案】 （1）见解析；（2） 0,1【解析】 （1） 2120axfxax，若 0a， ， f在 0,上单调递减；若 ，当 1,xa时， fx，即 fx在 10,a上单调递减，当 ,时， 0f，即 f在 ,上
5、单调递增6（2）若 0a， fx在 0,上单调递减， fx至多一个零点，不符合题意若 ，由（1）可知， f的最小值为 1ln1fa，令 lnha， 210ha，所以 h在 0,上单调递增，又 10，当 0时， ,， fx至多一个零点，不符合题意，当 ha时， ,1，又因为 20eeaf，结合单调性可知 fx在 1e,a有一个零点，令 lngx， 1xgx，当 0,1时， 单调递减；当 ,时， gx单调递增，gx的最小值为 10g，所以 lnx，当 3a时， 222l 330fxaaxaxa，结合单调性可知 f在 3,有一个零点，综上所述，若 fx有两个零点， a的范围是 0,13 【答案】 （
6、1）见解析；（2） 1,2【解析】 （1） 2 eeexxxxfaa ，（）若 0a，当 ,x时， 0fx， fx为减函数；当 0,时， f， f为增函数，当 a时，令 0fx，则 1x， 2lna；（）若 1， 2， f恒成立， fx在 ,上为增函数；（）若 0a， 1x，当 ,lnx时， 0f， fx为增函数；当 l,0a时， fx， f为减函数；7当 0,x时， 0fx， fx为增函数，（）若 1a， 2，当 ,0x时， 0fx， fx为增函数；当 ,lna时， f， f为减函数；当 l,x， 0fx， fx为增函数；综上所述：当 a， f在 ,上为减函数，fx在 0,上为增函数；当 1
7、a时， fx在 ,上为增函数；当 0时， f在 ,lna上为增函数，fx在 ln,a上为减函数， fx在 0,上为增函数；当 1时， fx在 ,0上为增函数，fx在 0,lna上为减函数， fx在 ln,a上为增函数（2） （）当 时， 211eexxf，令 0fx， ln2，此时 1 个零点，不合题意；（）当 0a时，由（1）可知，fx在 ,上为减函数， fx在 0,上为增函数，因为 f有两个零点，必有 12fa，即 12a，注意到 21e1ee0fa，所以，当 0,x时， fx有 1 个零点；当 时， e1e12x xfaaaa ，取 01x，则 0f，所以当 0,时， fx有 1 个零点；所以当 12a时， 有 2 个零点，符合题意；8（）当 1a时， fx在 ,上为增函数，不可能有两个零点，不合题意；（）当 0时， f在 ,lna上为增函数，fx在 ln,a上为减函数， x在 0,上为增函数；2lnln2111leelnl2aaf aa，因为 l0，所以 l0f，此时， fx最多有 1 个零点，不合题意；（）当 a时， fx在 ,0上为增函数，fx在 0,ln上为减函数； f在 ln,a上为增函数，因为 11022fa，此时， fx最多有 1 个零点，不合题意；综上所述，若 f有两个零点，则 a的取值范围是 1,029
