1、1大题精做 9 圆锥曲线：范围（最值）问题2019江南十校已知椭圆 2:10xyCab， B为其短轴的一个端点， 1F， 2分别为其左右两个焦点，已知三角形 12BF的面积为 ，且 12cos3F（1）求椭圆 的方程；（2）若动直线 2:0,3lykxmk与椭圆 C交于 1,Pxy， 2,Qxy， M为线段 PQ的中点，且 213x，求 OMPQ的最大值【答案】 （1）21xy；（2） 5【解析】 （1）由2221241cos 33acFBac， 2b，12cosin3FB，结合 12 2Saa ， 2b，故椭圆 C的方程为213xy另解：依题意： 12 2FBScb ，221212cosco
2、s3FBbFBa，解得 2a， b，故椭圆 C的方程为 3xy（2）联立 2222222366043036ykxmkkmkmkm 且 123xk，21；依题意 2221211633kxx，化简得： 23km（ 2k） ；设 0,Mxy，由 122 0121123633xy xyxyky ，又 0k，解得 ,km2294kmOM，22222 2221 224311534PQxk OMPQm，5OM当且仅当 221m，即 时， 的最大值为 5212019柳州模拟已知点 1,0F，直线 :4lx， P为平面内的动点，过点 P作直线 l的垂线，垂足为点 M，且 122PFPM（1）求 动点 的轨迹 C
3、的方程；（2）过点 作直线 1l（与 x轴不重合）交 C轨迹于 A， B两点，求三角形面积 OAB的取 值范围 （ O为坐标原点）22019雷州期末如图，已知抛物线 2:Cypx和 2:41MyA，过抛线 C上一点00,1Hxy作两条直线与 MA相切于 、 B两点，分别交抛物线于 E、 F两 点，圆心点 M到抛物线准线的距离为 74（1）求抛物线 C的方程；3（2）当 AHB的角平分线垂直 x轴时，求直线 EF的斜率；（3）若直线 在 y轴上的截距为 t，求 的最小值32019周口调研已知直线 2pyx与抛物线 2:0Cypx交于 B， D两点，线段 B的中点为 A，点 F为 C的焦点，且 O
4、AF （ 为坐标原点 ）的 面积为 1（1）求抛物线 的标准方程；（2）过点 2,G作斜率为 2k的直线 l与 C交于 M， N两点，直线 OM， N分别交直线 2yx于4P， Q两点，求 P的最大值51 【答案】 （1）2143xy；（2） 30,【解析】 （1）设动点 ,P，则 4,My，由 1022PFM， 221PF，即 4， 224xyx，化简得2143xy（2）由（1）知轨迹 C的方程为 13，当直线 1l斜率不存在时 3,2A， 1,B，32OABSF，当直线 1l斜率存在时，设直线 l方程为 10xmy，设 1,Axy， 2,Bxy，由 2 43xmy，得 2469y则 210
5、， 123m， 12934y，1212124OABSFy 2 22636144mm，令 2mt，则 221669396OABttS t ，令 196ftt，则 219ftt，当 t时， 0ft，ftt在 ,上单调递增， 16ft， 1362OABS ，综上所述，三角形 OAB面积的取值范围是 30,22 【答案】 （1） 2yx；（2） 14；（3） 1【解析】 （1）点 M到抛物线准线的距离为 724p， 12，即抛物线 C的方程为 2yx（2）当 AHB的角平分线垂直 x轴时，点 ,H， HEFk，设 1,Exy， 2,Fxy， 12Hyy， 122yy， 24H 2121214EFkx6
6、（3）设点 2,1Hm， 242716HMm， 242715HAm以 为圆心， A为半径的圆方程为 xy，MA方程： 241xy-得：直线 B的方程为 2242471xmym当 0x时，直线 A在 y轴上的截距 15t， t关于 m的函数在 1,单调递增， mint3 【答案】 （1） 24yx；（2） 10【解析】 （1）设 1,B， 2,Dy，则 12yx由 21ypx， 2yx两式相减，得 121212()px 122p，所以点 A的纵坐标为 y， OAF 的面积 1S，解得 2p故所求抛物线的标准方程为 24yx（2）直线 l的方程为 ykx由方程组 24x，得 2480yk设 3,yM，24,yN，则 34k， 348k直线 O的方程为 3yx，代入 2yx，解得 32yx，所以 3328,4yP同理得 4428,Qy所以 2343434348128216yyyPy 2 24818216kk因为 2k，所以 102k，所以当 2，即 时， PQ取得最大值 4107
