1、1第五节 指数与指数函数A组 基础题组1.设 2x=8y+1,9y=3x-9,则 x+y的值为( )A.18 B.21 C.24 D.27答案 D 2 x=8y+1=23(y+1),x=3y+3,9 y=3x-9=32y,x-9=2y,解得 x=21,y=6,x+y=27.2.函数 y=ax- (a0,且 a1)的图象可能是( )1a答案 D 当 x=-1时,y= - =0,所以函数 y=ax- 的图象必过定点(-1,0),结合选项可知选 D.1a1a 1a3.设 y1=40.9,y2=80.48,y3= ,则( )(12)-1.5A.y3y1y2 B.y2y1y3C.y1y2y3 D.y1y
2、3y2答案 D y 1=40.9=21.8,y2=80.48=21.44,y3= =21.5.因为 1.81.51.44,且 y=2x在 R上单调递增,(12)-1.5所以 y1y3y2.4.设 x0,且 10,b1,b x1, 1ab,10,且 a1)的图象经过第二、三、四象限,则 ab的取值范围是 . 答案 (0,1)解析 因为函数 y=ax-b的图象经过第二、三、四象限,所以函数 y=ax-b单调递减且其图象与 y轴的交点在 y轴的负半轴上.令 x=0,则 y=a0-b=1-b,由题意得 解得 故 ab(0,1).01, 7.若函数 f(x)=a|2x-4|(a0,且 a1),满足 f(
3、1)= ,则 f(x)的单调递减区间是 . 19答案 2,+)解析 由 f(1)= 得 a2= ,19 19所以 a= 或 a=- (舍去),即 f(x)= .13 13 (13)|2x-4|由于 y=|2x-4|在(-,2上递减,在2,+)上递增,所以 f(x)在(-,2上递增,在2,+)上递减.8.函数 y= - +1在区间-3,2上的值域是 . (14)x(12)x答案 34,57解析 令 t= ,则 t ,(12)x 14,8y=t2-t+1= + .(t-12)234当 t= 时,y min= ;当 t=8时,y max=57.12 34故所求函数的值域为 .34,579.已知函数
4、f(x)= .(13)ax2-4x+3(1)若 a=-1,求 f(x)的单调区间;(2)若 f(x)有最大值 3,求 a的值;(3)若 f(x)的值域是(0,+),求 a的值.3解析 (1)当 a=-1时, f(x)= ,令 g(x)=-x2-4x+3,由于 g(x)在(-,-2)上单调递增,在(-2,+)(13)-x2-4x+3上单调递减,而 y= 在 R上单调递减,所以 f(x)在(-,-2)上单调递减,在(-2,+)上单调递增,即函数 f(x)(13)t的单调递增区间是(-2,+),单调递减区间是(-,-2).(2)令 g(x)=ax2-4x+3,则 f(x)= ,(13)g(x)由于
5、f(x)有最大值 3,所以 g(x)应有最小值-1,因此必有 a0,3a-4a = -1,解得 a=1,即当 f(x)有最大值 3时,a 的值为 1.(3)由指数函数的性质知,要使 f(x)的值域为(0,+),应使 y=ax2-4x+3的值域为 R,因此只能 a=0(若 a0,则 y=ax2-4x+3为二次函数,其值域不可能为 R).故 a的值为 0.10.已知函数 f(x)= .10x-10-x10x+10-x(1)判断函数的奇偶性;(2)证明:f(x)在定义域内是增函数;(3)求 f(x)的值域.解析 (1)因为 f(x)的定义域为 R,且 f(-x)= =-f(x),所以 f(x)是奇函
6、数.10-x-10x10-x+10x(2)f(x)= = =1- ,10x-10-x10x+10-x102x-1102x+1 2102x+1任取 x1,x2R,且令 x2x1,则f(x2)-f(x1)= -(1- 2102x2+1)(1- 2102x1+1)=2 .102x2-102x1(102x2+1)(102x1+1)因为 x2x1,所以 1 -1 0,又 1 +10,1 +10,所以 f(x2)-f(x1)0,即 f(x2)f(x1),所以函数 f(x)在定02x2 02x1 02x2 02x1义域内是增函数.(3)令 y=f(x),由 y= ,解得 102x= ,10x-10-x10x
7、+10-x 1+y1-y因为 102x0,所以-1f(c)f(b),则下列结论中,一定成立的是( )4A.a0C.2-af(c)f(b),结合图象知 f(a)f(c),即 1-2a2c-1,2 a+2c0,且 a1,函数 y=a2x+2ax-1在-1,1上的最大值是 14,则实数 a的值为 . 答案 或 313解析 令 t=ax(a0,且 a1),则原函数可化为 y=f(t)=(t+1)2-2(t0).当 01时,由 x-1,1,得 t=ax ,1a,a此时 f(t)在 上是增函数.1a,a所以 f(t)max=f(a)=(a+1)2-2=14,5所以(a+1) 2=16,即 a=-5(舍去)
8、或 a=3.综上,a= 或 a=3.134.已知函数 f(x)=1- (a0,且 a1)是定义在(-,+)上的奇函数.42ax+a(1)求 a的值;(2)求函数 f(x)的值域;(3)当 x(0,1时,tf(x)2 x-2恒成立,求实数 t的取值范围.解析 (1)因为 f(x)是定义在(-,+)上的奇函数,所以 f(-x)=-f(x).即 1- =-1+ ,所以 a=2.42a-x+a 42ax+a(2)记 y=f(x),即 y= ,2x-12x+1所以 2x= .由 2x0,得 0,1+y1-y 1+y1-y解得-1y1.所以 f(x)的值域为(-1,1).(3)由 tf(x)2 x-2得 2 x-2,t2x-t2x+1即(2 x)2-(t+1)2x+t-20.设 u=2x,因为 x(0,1,所以 u(1,2.即当 u(1,2时,u 2-(t+1)u+t-20 恒成立.所以 解得 t0.12-(t+1)1+t-2 0,22-(t+1)2+t-2 0,故 t的取值范围是0,+).1
