1、110.1 椭圆及其性质【真题典例】挖命题【考情探究】5 年考情考点 内容解读考题示例 考向 关联考点预测热度2018 浙江,17椭圆的标准方程向量、最值2016 浙江 ,7椭圆的标准方程双曲线的标准方程、离心率椭圆的定义和标准方程1.了解圆锥曲线的实际背景,了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程.2015 浙江,19椭圆的定义和标准方程直线与椭圆的位置关系、最值、范围2017 浙江 ,2 椭圆的离心率椭圆的几何性质1.掌握椭圆的简单几何性质.2.理解数形结合的数学思想.2016 浙江,7,19 椭圆的离心率双曲线的离心率、圆、直线与椭圆的位置
2、关系22015 浙江,19,文 15 椭圆的离心率直线与椭圆的位置关系分析解读 1.椭圆是圆锥曲线中最重要的内容,是高考命题的热点.2.考查椭圆及其标准方程,椭圆的简单几何性质.3.考查把几何条件转化为代数形式的能力.4.预计 2020 年高考中,椭圆的考查必不可少,考查仍然集中在椭圆及其标准方程,椭圆的简单几何性质,以及与椭圆有关的综合问题上.破考点【考点集训】考点一 椭圆的定义和标准方程1.(2018 浙江镇海中学阶段性测试,21)已知椭圆 G: + =1(ab0)的离心率为 ,右焦点为2222 63(2 ,0).斜率为 1 的直线 l 与椭圆 G 交于 A,B 两点,以 AB 为底作等腰
3、三角形,顶点为 P(-23,2).(1)求椭圆 G 的方程;(2)求PAB 的面积.解析 (1)由已知得 c=2 ,= ,解得 a=2 .又 b2=a2-c2=4,所以椭圆 G 的方程为 + =1.2633 21224(2)设直线 l 的方程为 y=x+m.由 得 4x2+6mx+3m2-12=0.=+,212+24=1,设 A、B 的坐标分别为(x 1,y1),(x2,y2)(x1b0)的离心率为 ,且经过点(3,1).2222 63(1)求椭圆的标准方程;(2)过点 P(6,0)的直线 l 交椭圆于 A,B 两点,Q 是 x 轴上的点,若ABQ 是以 AB 为斜边的等腰直角三角形,求直线
4、l 的方程.解析 (1)由 e= a2=3b2,设椭圆方程为 + =1,63 23222则 + =1,所以 b2=4,所以椭圆的标准方程为 + =1.3212 21224(2)设 AB 的中点坐标为(x 0,y0),A(x1,y1),B(x2,y2),l:x=ty+6,则由 得(t 2+3)y2+12ty+24=0,212+24=1,=+6AB 的中垂线方程为 y+ =-t ,所以 Q ,62+3 (-182+3) (122+3,0)点 Q 到直线 l 的距离为 .(122+3,0)62+12+3|AB|= ,所以 6=2 ,解得 t2=9,所以 t=3.因此直线 l 的方程为 x3y-431
5、+22-62+3 32-66=0.考点二 椭圆的几何性质1.(2018 浙江镇海中学期中,21)已知椭圆 C: + =1(ab0)的四个顶点组成的四边形的面2222积为 2 ,且经过点 .2 (1, 22)(1)求椭圆 C 的方程;(2)若椭圆 C 的下顶点为 P,如图所示,点 M 为直线 x=2 上的一个动点,过椭圆 C 的右焦点 F的直线 l 垂直于 OM,且与椭圆 C 交于 A,B 两点,与 OM 交于点 N,四边形 AMBO 和ONP 的面积分别为 S1,S2.求 S1S2的最大值.4解析 (1)因为 在椭圆 C 上,所以 + =1,又因为椭圆的四个顶点组成的四边形的面积(1, 22)
6、 12 122为 2 ,2所以2a2b=2 ,即 ab= ,2 2解得 a2=2,b2=1,所以椭圆 C 的方程为 +y2=1.22(2)由(1)可知 F(1,0),设 M(2,t),A(x1,y1),B(x2,y2),则当 t0 时,OM:y=x,所以 kAB=-,直线 AB 的方程为 y=- (x-1),即 2x+ty-2=0(t0),由 得(8+t 2)x2-16x+8-2t2=0,=-2(-1),2+22-2=0则 =(-16) 2-4(8+t2)(8-2t2)=8(t4+4t2)0,x1+x2= ,x1x2= ,168+28-228+2AB= = = ,1+28+2 1+42222+
7、48+222(2+4)8+2又 OM= ,所以 S1=OMAB= = ,2+4122+4 22(2+4)8+2 2(2+4)2+48+2由 得 xN= ,=-2(-1),=2, 42+4所以 S2=1 = ,42+422+4所以 S1S2= = = b0)的离心率为 ,点 M(-2,1)是2222 32椭圆内一点,过点 M 作两条斜率存在且互相垂直的动直线 l1,l2,设 l1与椭圆 C 相交于点A,B,l2与椭圆 C 相交于点 D,E.当 M 恰好为线段 AB 的中点时,|AB|= .10(1)求椭圆 C 的方程;(2)求 的最小值.解析 (1)由题意得 a2=4b2,即椭圆 C: + =1
8、,24222设 A(x1,y1),B(x2,y2),D(x3,y3),E(x4,y4).由 作差得,(x 1-x2)(x1+x2)+4(y1-y2)(y1+y2)=0.21+421=42,22+422=42又当 M(-2,1)为线段 AB 的中点时,x 1+x2=-4,y1+y2=2,AB 的斜率 k= =.1-21-2由 消去 y 得,x 2+4x+8-2b2=0.242+22=1,=12+2则|AB|= |x1-x2|= = .1+21+1416-4(8-22) 10解得 b2=3,于是椭圆 C 的方程为 + =1.212236(2)设直线 AB:y=k(x+2)+1,由 消去 y 得,2
9、12+23=1,=(+2)+1(1+4k2)x2+8k(2k+1)x+4(2k+1)2-12=0.于是 x1+x2= ,x1x2= .-8(2+1)1+424(2+1)2-121+42 =( + )( + )= + =(-2-x1,1-y1)(2+x2,y2-1)+(-2-x4,1-y4)(2+x3,y3-1).(-2-x 1,1-y1)(2+x2,y2-1)=-(1+k2)(2+x1)(2+x2)=-(1+k2)4+2(x1+x2)+x1x2= .4(1+2)1+42同理可得(-2-x 4,1-y4)(2+x3,y3-1)= .4(1+2)4+2 =4(1+k2) = = ,当 k=1 时取
10、 (11+42+14+2)20(1+2)2(1+42)(4+2)20(1+2)2(1+42+4+22 )2165等号.综上, 的最小值为 .165炼技法【方法集训】方法 求椭圆离心率(范围)的常用方法1.(2018 浙江宁波高三上学期期末,4)已知焦点在 y 轴上的椭圆 + =1 的离心率为,则实数24 2m 等于( ) A.3 B. C.5 D.165 163答案 D 2.(2018 浙江镇海中学 5 月模拟,8)设椭圆 C: + =1(ab0) 的右焦点为 F,椭圆 C 上的两2222点 A,B 关于原点对称,且满足 =0,|FB|FA|2|FB|,则椭圆 C 的离心率的取值范围是( )7
11、A. B.22, 53 53,1)C. D. -1,1)22, 3-13答案 A 过专题【五年高考】A 组 自主命题浙江卷题组考点一 椭圆的定义和标准方程(2018 浙江,17,4 分)已知点 P(0,1),椭圆 +y2=m(m1)上两点 A,B 满足 =2 ,则当 m= 24时,点 B 横坐标的绝对值最大. 答案 5考点二 椭圆的几何性质1.(2017 浙江,2,4 分)椭圆 + =1 的离心率是( ) 29 24A. B. C. D.133 53答案 B 2.(2016 浙江,19,15 分)如图,设椭圆 +y2=1(a1).22(1)求直线 y=kx+1 被椭圆截得的线段长(用 a,k
12、表示);(2)若任意以点 A(0,1)为圆心的圆与椭圆至多有 3 个公共点,求椭圆离心率的取值范围.解析 (1)设直线 y=kx+1 被椭圆截得的线段为 AP,由 得(1+a 2k2)x2+2a2kx=0,=+1,22+2=1故 x1=0,x2=- .221+228因此|AP|= |x1-x2|= .1+222|1+22 1+2(2)假设圆与椭圆的公共点有 4 个,由对称性可设 y 轴左侧的椭圆上有两个不同的点 P,Q,满足|AP|=|AQ|.记直线 AP,AQ 的斜率分别为 k1,k2,且 k1,k20,k1k 2.由(1)知,|AP|= ,|AQ|= ,22|1| 1+211+22122|
13、2| 1+221+222故 = ,22|1| 1+211+22122|2| 1+221+222所以( - )1+ + +a2(2-a2) =0.2122 2122 2122由 k1k 2,k1,k20 得 1+ + +a2(2-a2) =0,2122 2122因此 =1+a2(a2-2),(121+1)(122+1)因为式关于 k1,k2的方程有解的充要条件是 1+a2(a2-2)1,所以 a .2因此,任意以点 A(0,1)为圆心的圆与椭圆至多有 3 个公共点的充要条件为 10,42将 AB 中点 M 代入直线方程 y=mx+,(22+2,22+2)解得 b=- .2+222由得 m .63
14、 63(2)令 t= ,1(- 62,0) (0, 62)则|AB|= ,2+1-24+22+322+12且 O 到直线 AB 的距离为 d= .2+122+1设AOB 的面积为 S(t),所以 S(t)= |AB|d= .12 -2(2-12)2+2 22当且仅当 t2=时,等号成立.故AOB 面积的最大值为 .22B 组 统一命题、省(区、市)卷题组考点一 椭圆的定义和标准方程1.(2014 辽宁,15,5 分)已知椭圆 C: + =1,点 M 与 C 的焦点不重合.若 M 关于 C 的焦点的对29 24称点分别为 A,B,线段 MN 的中点在 C 上,则|AN|+|BN|= . 答案 1
15、2102.(2018 天津文,19,14 分)设椭圆 + =1(ab0)的右顶点为 A,上顶点为 B.已知椭圆的离2222心率为 ,|AB|= .5313(1)求椭圆的方程;(2)设直线 l:y=kx(kx10,点 Q 的坐标为(-x 1,-y1).由BPM 的面积是BPQ 面积的 2 倍,可得|PM|=2|PQ|,从而 x2-x1=2x1-(-x1),即 x2=5x1.易知直线 AB 的方程为 2x+3y=6,由方程组 消去 y,可得 x2= .由方程组2+3=6,=, 63+2消去 y,可得 x1= .29+24=1,=, 692+4由 x2=5x1,可得 =5(3k+2),两边平方,整理
16、得 18k2+25k+8=0,解得 k=-或 k=-.92+4当 k=-时,x 2=-9b0)的离心率2222为 ,且右焦点 F 到左准线 l 的距离为 3.22(1)求椭圆的标准方程;11(2)过 F 的直线与椭圆交于 A,B 两点,线段 AB 的垂直平分线分别交直线 l 和 AB 于点 P,C,若PC=2AB,求直线 AB 的方程.解析 (1)由题意,得= 且 c+ =3,22 2解得 a= ,c=1,则 b=1,2所以椭圆的标准方程为 +y2=1.22(2)当 ABx 轴时,AB= ,又 CP=3,不合题意.2当 AB 与 x 轴不垂直时,设直线 AB 的方程为 y=k(x-1),A(x
17、1,y1),B(x2,y2),将 AB 的方程代入椭圆方程,得(1+2k 2)x2-4k2x+2(k2-1)=0,则 x1,2= ,C 的坐标22 2(1+2)1+22为 ,且 AB= = = .(221+22,-1+22) (2-1)2+(2-1)2 (1+2)(2-1)222(1+2)1+22若 k=0,则线段 AB 的垂直平分线为 y 轴,与左准线平行,不合题意.从而 k0,故直线 PC 的方程为 y+ =- ,1+221(- 221+22)则 P 点的坐标为 ,(-2, 52+2(1+22)从而 PC= .2(32+1) 1+2|(1+22)因为 PC=2AB,所以 = ,2(32+1
18、) 1+2|(1+22)42(1+2)1+22解得 k=1.此时直线 AB 方程为 y=x-1 或 y=-x+1.评析 本题在考查椭圆基本性质与标准方程的同时,着重考查直线与圆锥曲线的位置关系和方程思想.124.(2015 安徽,20,13 分)设椭圆 E 的方程为 + =1(ab0),点 O 为坐标原点,点 A 的坐标为2222(a,0),点 B 的坐标为(0,b),点 M 在线段 AB 上,满足|BM|=2|MA|,直线 OM 的斜率为 .510(1)求 E 的离心率 e;(2)设点 C 的坐标为(0,-b),N 为线段 AC 的中点,点 N 关于直线 AB 的对称点的纵坐标为,求E 的方
19、程.解析 (1)由题设条件知,点 M 的坐标为 ,(23,13)又 kOM= ,从而 = .510 2 510进而 a= b,c= =2b.故 e= .5 2-2255(2)由题设条件和(1)的计算结果可得,直线 AB 的方程为 +=1,点 N 的坐标为 ,设5 ( 52,-12)点 N 关于直线 AB 的对称点 S 的坐标为 ,则线段 NS 的中点 T 的坐标为 .(1,72) ( 54+12,-14+74)又点 T 在直线 AB 上,且 kNSkAB=-1,从而有 + =1, = ,解得 b=3,所以54+125-14+7472+121- 52 5a=3 ,故椭圆 E 的方程为 + =1.
20、524529考点二 椭圆的几何性质1.(2018 课标全国文,4,5 分)已知椭圆 C: + =1 的一个焦点为(2,0),则 C 的离心率为( ) 2224A. B. C. D.22 223答案 C 2.(2018 课标全国理,12,5 分)已知 F1,F2是椭圆 C: + =1(ab0)的左、右焦点,A 是 C2222的左顶点,点 P 在过 A 且斜率为 的直线上,PF 1F2为等腰三角形,F 1F2P=120,则 C 的离36心率为( )A. B. C. D.13答案 D 3.(2017 课标全国文,12,5 分)设 A,B 是椭圆 C: + =1 长轴的两个端点.若 C 上存在点 M2
21、3 2满足AMB=120,则 m 的取值范围是( )A.(0,19,+) B.(0, 9,+)3C.(0,14,+) D.(0, 4,+)3答案 A 4.(2018 北京理,14,5 分)已知椭圆 M: + =1(ab0),双曲线 N: - =1.若双曲线 N 的两22222222条渐近线与椭圆 M 的四个交点及椭圆 M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点,则椭圆 M 的离心率为 ;双曲线 N 的离心率为 . 答案 -1;235.(2016 江苏,10,5 分)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,F 是椭圆 + =1(ab0)的右焦点,2222直线 y=与椭圆交于 B,C 两点,且BFC=90,
22、则该椭圆的离心率是 . 答案 636.(2017 天津文,20,14 分)已知椭圆 + =1(ab0)的左焦点为 F(-c,0),右顶点为 A,点 E2222的坐标为(0,c),EFA 的面积为 .22(1)求椭圆的离心率;(2)设点 Q 在线段 AE 上,|FQ|=c,延长线段 FQ 与椭圆交于点 P,点 M,N 在 x 轴上,PMQN,且直线 PM 与直线 QN 间的距离为 c,四边形 PQNM 的面积为 3c.(i)求直线 FP 的斜率;(ii)求椭圆的方程.解析 本题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程等基础知识.考查用代数方法研究圆锥曲线的性质和方程思想.考查运算求解能力,以及
23、综合分析问题和解决问题的能力.14(1)设椭圆的离心率为 e.由已知,可得 (c+a)c= .22又由 b2=a2-c2,可得 2c2+ac-a2=0,即 2e2+e-1=0.又因为 00),则直线 FP 的斜率为 .1由(1)知 a=2c,可得直线 AE 的方程为 +=1,即 x+2y-2c=0,与直线 FP 的方程联立,可解得 x=2,y= ,即点 Q 的坐标为 .由已知|FQ|=c,有(2-2)+2 3+2 (2-2)+2 , 3+2)+ = ,整理得 3m2-4m=0,所以 m=,即直线 FP 的斜率为.(2-2)+2 +2( 3+2)2(32)2(ii)由 a=2c,可得 b= c,
24、故椭圆方程可以表示为 + =1.3242232由(i)得直线 FP 的方程为 3x-4y+3c=0,与椭圆方程联立得 消去 y,3-4+3=0,242+232=1, 整理得 7x2+6cx-13c2=0,解得 x=- (舍去)或 x=c.因此可得点 P ,进而可得|FP|= = ,所以137 (,32) (+)2+(32)252|PQ|=|FP|-|FQ|= - =c.52 32由已知,线段 PQ 的长即为 PM 与 QN 这两条平行直线间的距离,故直线 PM 和 QN 都垂直于直线FP.因为 QNFP,所以|QN|=|FQ|tanQFN= = ,所以FQN 的面积为|FQ|QN|= ,同理3
25、2 98 27232FPM 的面积等于 ,由四边形 PQNM 的面积为 3c,得 - =3c,整理得 c2=2c,又由 c0,得75232 7523227232c=2.所以椭圆的方程为 + =1.216212方法点拨 1.求离心率常用的方法:(1)直接求 a,c,利用定义求解;(2)构造 a,c 的齐次式,利用方程思想求出离心率 e 的值.152.求直线斜率的常用方法:(1)公式法:k= (x1x 2),其中两点坐标分别为(x 1,y1),1-21-2(x2,y2);(2)利用导数的几何意义求解;(3)直线的方向向量 a=(m,n),则 k= (m0);(4)点差法.3.解决四边形或三角形的面
26、积问题时,注意弦长公式与整体代换思想的应用.C 组 教师专用题组考点一 椭圆的定义和标准方程1.(2014 安徽,14,5 分)设 F1,F2分别是椭圆 E:x2+ =1(0b0)过点(0, ),且离心率 e= .2222 2 22(1)求椭圆 E 的方程;(2)设直线 l:x=my-1(mR)交椭圆 E 于 A,B 两点,判断点 G 与以线段 AB 为直径的圆的(-94,0)位置关系,并说明理由.解析 解法一:(1)由已知得 解得= 2,= 22,2=2+2. =2,= 2,= 2.所以椭圆 E 的方程为 + =1.24 22(2)设点 A(x1,y1),B(x2,y2),AB 的中点为 H
27、(x0,y0).由 得(m 2+2)y2-2my-3=0,=-1,24+22=1所以 y1+y2= ,y1y2=- ,从而 y0= .22+232+22+216所以|GH| 2= + = + =(m2+1) + my0+ .(0+94)220(0+54)220 20 2516= =|24 (1-2)2+(1-2)24 (1+2)(1-2)24= =(1+m2)( -y1y2),(1+2)(1+2)2-4124 20故|GH| 2- =my0+(1+m2)y1y2+ = - + = 0,所以|GH| .|24 2516 522(2+2)3(1+2)2+2 2516172+216(2+2) |2故
28、点 G 在以 AB 为直径的圆外.(-94,0)解法二:(1)同解法一.(2)设点 A(x1,y1),B(x2,y2),则 = ,(1+94,1)= .(2+94,2)由 得(m 2+2)y2-2my-3=0,=-1,24+22=1所以 y1+y2= ,y1y2=- ,22+232+2从而 = +y1y2= +y1y2=(m2+1)y1y2+m(y1+y2)+ = +(1+94)(2+94) (1+54)(2+54) 2516-3(2+1)2+2+ = 0,5222+22516172+216(2+2)所以 cos0.又 , 不共线,所以AGB 为锐角. 故点 G 在以 AB 为直径的圆外.(-
29、94,0)评析 本题主要考查椭圆、圆、直线与椭圆的位置关系等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力,考查数形结合思想、化归与转化思想、方程思想.3.(2014 江苏,17,14 分)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,F 1、F 2分别是椭圆 + =1(ab0)2222的左、右焦点,顶点 B 的坐标为(0,b),连接 BF2并延长交椭圆于点 A,过点 A 作 x 轴的垂线交椭圆于另一点 C,连接 F1C.17(1)若点 C 的坐标为 ,且 BF2= ,求椭圆的方程;(43,13) 2(2)若 F1CAB,求椭圆离心率 e 的值.解析 设椭圆的焦距为 2c,则 F1(-c,0),F2(c,0)
30、.(1)因为 B(0,b),所以 BF2= =a.2+2又 BF2= ,故 a= .2 2因为点 C 在椭圆上,所以 + =1,解得 b2=1.(43,13)1692192故所求椭圆的方程为 +y2=1.22(2)因为 B(0,b),F2(c,0)在直线 AB 上,所以直线 AB 的方程为+ =1.解方程组 得+=1,22+22=1, 1=222+2,1=(2-2)2+2,2=0,2=.所以点 A 的坐标为 .(222+2,(2-2)2+2)又 AC 垂直于 x 轴,由椭圆的对称性,可得点 C 的坐标为 .(222+2,(2-2)2+2)因为直线 F1C 的斜率为 = ,直线 AB 的斜率为-
31、,且 F1CAB,所(2-2)2+2-0222+2-(-)(2-2)32+3以 =-1.又 b2=a2-c2,整理得 a2=5c2.故 e2=.因此 e= .(2-2)32+3 (-) 5518评析 本题主要考查椭圆的标准方程与几何性质、直线与直线的位置关系等基础知识,考查运算求解能力.考点二 椭圆的几何性质1.(2017 课标全国理,10,5 分)已知椭圆 C: + =1(ab0)的左、右顶点分别为 A1,A2,且2222以线段 A1A2为直径的圆与直线 bx-ay+2ab=0 相切,则 C 的离心率为( ) A. B. C. D.63 33 23答案 A 2.(2016 课标全国,11,5
32、 分)已知 O 为坐标原点,F 是椭圆 C: + =1(ab0)的左焦点,A,B2222分别为 C 的左,右顶点.P 为 C 上一点,且 PFx 轴.过点 A 的直线 l 与线段 PF 交于点 M,与 y轴交于点 E.若直线 BM 经过 OE 的中点,则 C 的离心率为 ( )A. B. C. D.答案 A 3.(2014 江西,15,5 分)过点 M(1,1)作斜率为-的直线与椭圆 C: + =1(ab0)相交于 A,B2222两点,若 M 是线段 AB 的中点,则椭圆 C 的离心率等于 . 答案 224.(2017 北京文,19,14 分)已知椭圆 C 的两个顶点分别为 A(-2,0),B
33、(2,0),焦点在 x 轴上,离心率为 .32(1)求椭圆 C 的方程;(2)点 D 为 x 轴上一点,过 D 作 x 轴的垂线交椭圆 C 于不同的两点 M,N,过 D 作 AM 的垂线交BN 于点 E.求证:BDE 与BDN 的面积之比为 45.解析 本题考查椭圆的方程和性质,直线的方程等知识,考查运算求解能力.(1)设椭圆 C 的方程为 + =1(ab0).222219由题意得 =2,= 32,解得 c= .3所以 b2=a2-c2=1.所以椭圆 C 的方程为 +y2=1.24(2)设 M(m,n),则 D(m,0),N(m,-n).由题设知 m2,且 n0.直线 AM 的斜率 kAM=
34、,故直线 DE 的斜率 kDE=- .+2 +2所以直线 DE 的方程为 y=- (x-m).+2直线 BN 的方程为 y= (x-2).2-联立=-+2 (-),= 2-(-2),解得点 E 的纵坐标 yE=- .(4-2)4-2+2由点 M 在椭圆 C 上,得 4-m2=4n2.所以 yE=-n.又 SBDE =|BD|yE|=|BD|n|,SBDN =|BD|n|,所以BDE 与BDN 的面积之比为 45.易错警示 在设直线方程时,若设方程为 y=kx+m,则要考虑斜率不存在的情况;若设方程为x=ty+n,则要考虑斜率为 0 的情况.5.(2015 重庆,21,12 分)如图,椭圆 +
35、=1(ab0)的左、右焦点分别为 F1,F2,过 F2的直线2222交椭圆于 P,Q 两点,且 PQPF 1.(1)若|PF 1|=2+ ,|PF2|=2- ,求椭圆的标准方程;2 2(2)若|PF 1|=|PQ|,求椭圆的离心率 e.20解析 (1)由椭圆的定义,有 2a=|PF1|+|PF2|=(2+ )+(2- )=4,故 a=2.2 2设椭圆的半焦距为 c,由已知 PF1PF 2,得 2c=|F1F2|= = =2 ,|1|2+|2|2 (2+ 2)2+(2- 2)2 3即 c= ,从而 b= =1.3 2-2故所求椭圆的标准方程为 +y2=1.24(2)解法一:连接 F1Q,如图,设
36、点 P(x0,y0)在椭圆上,且 PF1PF 2,则 + =1, + =c2,202202 2020求得 x0= ,y0= .2-22 2由|PF 1|=|PQ|PF2|得 x00,从而|PF 1|2= +(2-22 +)242=2(a2-b2)+2a =(a+ )2.2-22 2-22由椭圆的定义,有|PF 1|+|PF2|=2a,|QF1|+|QF2|=2a.从而由|PF 1|=|PQ|=|PF2|+|QF2|,有|QF 1|=4a-2|PF1|.又由 PF1PF 2,|PF1|=|PQ|,知|QF 1|= |PF1|.2因此(2+ )|PF1|=4a,即(2+ )(a+ )=4a,2 2
37、 2-22于是(2+ )(1+ )=4,2 22-1解得 e= = - .121+( 42+ 2-1)26 3解法二:连接 F1Q,由椭圆的定义,有|PF 1|+|PF2|=2a,|QF1|+|QF2|=2a.从而由|PF1|=|PQ|=|PF2|+|QF2|,有|QF 1|=4a-2|PF1|.又由 PF1PQ,|PF 1|=|PQ|,知|QF 1|= |PF1|,221因此,4a-2|PF 1|= |PF1|,得|PF 1|=2(2- )a,2 2从而|PF 2|=2a-|PF1|=2a-2(2- )a=2( -1)a.2 2由 PF1PF 2,知|PF 1|2+|PF2|2=|F1F2|
38、2=(2c)2,因此 e= = = = - .|1|2+|2|22 (2- 2)2+( 2-1)2 9-62 6 36.(2014 安徽,21,13 分)设 F1、F 2分别是椭圆 E: + =1(ab0)的左、右焦点,过点 F1的直2222线交椭圆 E 于 A,B 两点,|AF 1|=3|F1B|.(1)若|AB|=4,ABF 2的周长为 16,求|AF 2|;(2)若 cosAF 2B=,求椭圆 E 的离心率.解析 (1)由|AF 1|=3|F1B|,|AB|=4,得|AF 1|=3,|F1B|=1.因为ABF 2的周长为 16,所以由椭圆定义可得 4a=16,|AF1|+|AF2|=2a
39、=8.故|AF 2|=2a-|AF1|=8-3=5.(2)设|F 1B|=k,则 k0 且|AF 1|=3k,|AB|=4k.由椭圆定义可得|AF 2|=2a-3k,|BF2|=2a-k.在ABF 2中,由余弦定理可得|AB|2=|AF2|2+|BF2|2-2|AF2|BF2|cosAF 2B,即(4k) 2=(2a-3k)2+(2a-k)2- (2a-3k)(2a-k).化简可得(a+k)(a-3k)=0,而 a+k0,故 a=3k.于是有|AF 2|=3k=|AF1|,|BF2|=5k.因此|BF 2|2=|F2A|2+|AB|2,可得 F1AF 2A,AF 1F2为等腰直角三角形.从而
40、c= a,所以椭圆 E 的离心率 e= .22 227.(2014 天津,18,13 分)设椭圆 + =1(ab0)的左、右焦点分别为 F1,F2,右顶点为 A,上顶2222点为 B.已知|AB|= |F1F2|.32(1)求椭圆的离心率;22(2)设 P 为椭圆上异于其顶点的一点,以线段 PB 为直径的圆经过点 F1,经过点 F2的直线 l 与该圆相切于点 M,|MF2|=2 .求椭圆的方程.2解析 (1)设椭圆右焦点 F2的坐标为(c,0).由|AB|= |F1F2|,可得 a2+b2=3c2,32又 b2=a2-c2,所以 =.22所以椭圆的离心率 e= .22(2)由(1)知 a2=2
41、c2,b2=c2.故椭圆方程为 + =1.22222设 P(x0,y0).由 F1(-c,0),B(0,c),有 =(x0+c,y0), =(c,c).1 1由已知,有 =0,即(x 0+c)c+y0c=0.又 c0,故有1 1x0+y0+c=0.因为点 P 在椭圆上,故+ =1.2022202由和可得 3 +4cx0=0.而点 P 不是椭圆的顶点,故 x0=-c,代入得 y0=,20即点 P 的坐标为 .(-43,3)设圆的圆心为 T(x1,y1),则 x1= =-c,y1= =c,进而圆的半径 r= = c.-43+023+2 (1-0)2+(1-)2 53由已知,有|TF 2|2=|MF
42、2|2+r2,又|MF 2|=2 ,故有2+ =8+c2,(+23)2(0-23)2解得 c2=3.所以椭圆的方程为 + =1.26 23【三年模拟】一、选择题(每小题 4 分,共 8 分)231.(2019 届浙江名校新高考研究联盟第一次联考,8)已知 F1、F 2是椭圆 + =1(ab0)的左、2222右焦点,过左焦点 F1的直线与椭圆交于 A,B 两点,且满足|AF 1|=2|BF1|,|AB|=|BF2|,则该椭圆的离心率是( ) A. B. C. D.33 32 53答案 B 2.(2018 浙江名校协作体期初联考,8)设 A,B 是椭圆 C: + =1 长轴的两个端点,若 C 上存
43、在24 2点 P 满足APB=120,则 k 的取值范围是( )A. 12,+) B. 6,+)(0,43 (0,23C. 12,+) D. 6,+)(0,23 (0,43答案 A 二、填空题(单空题 4 分,多空题 6 分,共 8 分)3.(2019 届金丽衢十二校高三第一次联考,17)已知 P 是椭圆 + =1(ab0)上的动点,过 P2222作椭圆的切线 l 与 x 轴、y 轴分别交于点 A、B,当AOB(O 为坐标原点)的面积最小时,cosF 1PF2= (F1、F 2是椭圆的两个焦点),则该椭圆的离心率为 . 答案 234.(2018 浙江嘉兴教学测试(4 月),17)已知椭圆 +
44、=1(ab0),直线 l1:y=-x,直线2222l2:y=x,P 为椭圆上任意一点,过 P 作 PMl 1且与直线 l2交于点 M,作 PNl 2与直线 l1交于点 N,若|PM| 2+|PN|2为定值,则椭圆的离心率为 . 答案 32三、解答题(共 60 分)5.(2019 届浙江嘉兴 9 月基础测试,21)已知椭圆 +y2=1(a0),直线 l 经过点 P 交椭圆22 (0, 22)于 A,B 两点,当 lx 轴时,|AB|=2.(1)求椭圆的方程;24(2)求|AB|的取值范围.解析 (1)不妨设点 A 在点 B 的右侧.当 lx 轴时,点 A,B 的坐标分别是 , ,(1, 22)(-1, 22)所以
