1、14.4 三角函数的最值与综合应用挖命题【考情探究】5 年考情考点 内容解读考题示例 考向 关联考点预测热度2017 浙江,18三角函数的最小正周期、单调区间三角函数的恒等变换2015 浙江文,11三角函数的最小值与最小正周期三角函数的恒等变换三角函数的最值与综合应用1.理解正弦函数、余弦函数、正切函数的性质(如单调性、最大值和最小值).2.会用三角函数解决一些简单的实际问题.2014 浙江,17三角函数的实际应用函数的最值分析解读 1.三角函数的最值问题是三角函数性质和三角恒等变换的综合应用,是数形结合的较好体现,是高考的热点.2.三角函数是基本初等函数,它是描述周期现象的重要模型,在数学和
2、其他领域中具有重要的作用,在高考命题中,单摆、弹簧振子、圆上一点的运动,以及音乐、波浪、潮汐、四季变化等周期现象是新的命题背景,借此突出数学的应用性质,也是高考命题的关注点.3.预计 2020 年高考试题中,本节内容是高考命题的热点,复习时应高度重视.破考点【考点集训】考点 三角函数的最值与综合应用1.(2018 浙江镇海中学单元测试,12)函数 f(x)=sin 2x+e|sin x+cos x|的最大值与最小值之差等于 . 答案 +122.(2018 浙江宁波模拟(5 月),18(1)已知函数 f(x)=4cos xsin -1.求函数 f(x)的单(-6)调递增区间.2解析 f(x)=4
3、cos x -1(32sin-12cos)= sin 2x-cos 2x-2=2sin -2,3 (2-6)由于-+2k0,00,|2)x=为 y=f(x)图象的对称轴,且 f(x)在 上单调,则 的最大值为( ) (18,536)A.11 B.9 C.7 D.5答案 B 2.(2017 课标全国文,13,5 分)函数 f(x)=2cos x+sin x 的最大值为 . 答案 53.(2017 课标全国理,14,5 分)函数 f(x)=sin2x+ cos x- 的最大值是 .334(0,2)答案 14.(2017 山东理,16,12 分)设函数 f(x)=sin +sin ,其中 00,0)
4、的图象变换:由 y=sin x 的图象变换得到 y=Asin(x+)(A0,0)的图象有两种方法.方法一:(先平移后伸缩)y=sin x 的图象 y=sin(x+)的图象y=sin(x+)的图象 y=Asin(x+) 的图象.方法二:(先伸缩后平移)y=sin x 的图象 y=sin x 的图象y=sin(x+) 的图象 y=Asin(x+)的图象.教师专用题组考点 三角函数的最值与综合应用1.(2017 北京文,16,13 分)已知函数 f(x)= cos -2sin xcos x.3 (2-3)(1)求 f(x)的最小正周期;(2)求证:当 x 时, f(x)-.-4,4解析 本题考查三角
5、恒等变换,三角函数的性质.(1)f(x)= cos 2x+sin 2x-sin 2x32=sin 2x+ cos 2x32=sin .(2+3)所以 f(x)的最小正周期 T= =.22(2)证明:因为-x,所以-2x+ .56所以 sin sin =-.(2+3) (-6)所以当 x 时, f(x)-.-4,4易错警示 正确化简 y=f(x)是解题的关键.在(2)中,证明 f(x)-时容易忽视 x 的取值范围.62.(2015 天津,15,13 分)已知函数 f(x)=sin2x-sin2 ,xR.(-6)(1)求 f(x)的最小正周期;(2)求 f(x)在区间 上的最大值和最小值.-3,4
6、解析 (1)由已知,有f(x)= - = - cos 2x= sin 2x-cos 2x=sin .1-cos22 1-cos(2-3)2 12(12cos2+ 32sin2) 34 (2-6)所以, f(x)的最小正周期 T= =.22(2)因为 f(x)在区间 上是减函数,在区间 上是增函数, f =-, f =-, -3,-6 -6,4 (-3) (-6)f = .所以, f(x)在区间 上的最大值为 ,最小值为-.(4) 34 -3,4 34评析 本题主要考查两角差的正弦公式和余弦公式、二倍角公式,三角函数的最小正周期、单调性等基础知识.考查基本运算能力.3.(2014 重庆,17,1
7、3 分)已知函数 f(x)= sin(x+) 的图象关于直线 x=3 (0,-211 时实验室需要降温.由(1)得 f(t)=10-2sin ,(12+3)故有 10-2sin 11,(12+3)即 sin x答案 C 2.(2018 浙江镇海中学阶段测试,4)有 4 个关于 x 的函数:y 1=sin x+cos x,y2=sin x-cos x,y3=sin xcos x,y4= .这 4 个函数中,在 上单调递增的函数的个数是( )sincos (0,2)A.0 B.1 C.2 D.39答案 C 二、填空题(单空题 4 分,多空题 6 分,共 12 分)3.(2019 届浙江高考信息卷(
8、二),14)已知函数 f(x)=sin2x-sin2 ,xR, f(x)在区间(-6)上的最大值是 ,最小值是 . -3,4答案 ;-344.(2018 浙江“七彩阳光”联盟期初联考,15)已知函数 f(x)=sin(x+) 的图(0,|0,|2)标轴交于点 A,B,C ,直线 BC 交 f(x)的图象于另一点 D,O 是ABD 的重心.(-12,0)(1)求 ;(2)求ACD 的外接圆的半径.解析 (1)O 是ABD 的重心,C ,A(1,0),(-12,0)=1- =,即最小正周期 T=3.T= =3,(-12) 2= .23由 f(1)=0,得 sin =0, +=k,kZ,又|,=.(23+) 23(2)由(1)得 f(x)=sin ,B .(23+3) (0, 32)又 C ,BCO=60.(-12,0)11又由已知得点 C 是 BD 的中点,(-12,0)D ,|AD|= = .(-1,- 32) 4+34 192 = = ,sin192sin120 573ACD 的外接圆的半径为 .576
