1、1第 10 讲 万有引力定律及其应用A 组 基础题组1.(2017 浙江 11 月选考,7,3 分)如图所示是小明同学画的人造地球卫星轨道的示意图,则卫星( )A.在 a 轨道运行的周期为 24 hB.在 b 轨道运行的速度始终不变C.在 c 轨道运行的速度大小始终不变D.在 c 轨道运行时受到的地球引力大小是变化的答案 D a 轨道半径未知,则卫星在 a 轨道运行的周期不能确定,选项 A 错误;b 轨道上的卫星的速度方向不断变化,所以速度在变,选项 B 错误;地球在 c 轨道的其中一个焦点上,因此在近地点时卫星速度快,远地点速度慢,选项 C 错误;正在 c 轨道上运行的卫星,与地球的距离在变
2、化,所以根据 F=G 可以看出其Mmr2受到地球的引力大小在不断变化,D 正确。2.关于万有引力定律,下列说法正确的是( )A.牛顿提出了万有引力定律,并测定了引力常量的数值B.万有引力定律只适用于天体之间C.万有引力的发现,揭示了自然界一种基本相互作用的规律D.地球绕太阳在椭圆轨道上运行,在近日点和远日点受到太阳的万有引力大小是相同的答案 C 牛顿提出了万有引力定律,卡文迪许测定了引力常量的数值,万有引力定律适用于任何物体之间,万有引力的发现,揭示了自然界一种基本相互作用的规律,选项 A、B 错误,C 正确;地球绕太阳在椭圆轨道上运行,在近日点和远日点受到太阳的万有引力大小是不相同的,选项
3、D 错误。3.火星和木星沿各自的椭圆轨道绕太阳运行,根据开普勒行星运动定律可知( )A.太阳位于木星运行轨道的中心B.火星和木星绕太阳运行速度的大小始终相等C.火星与木星公转周期之比的平方等于它们轨道半长轴之比的立方D.相同时间内,火星与太阳连线扫过的面积等于木星与太阳连线扫过的面积答案 C 由开普勒第一定律(轨道定律)可知,太阳位于木星运行轨道的一个焦点上,A 错误。火星和木星绕太阳运行的轨道不同,运行速度的大小不可能始终相等,B 错误。根据开普勒第三定律(周期定律)知2所有行星轨道的半长轴的三次方与它的公转周期的平方的比值是一个常数,C 正确。对于某一个行星来说,其与太阳连线在相同的时间内
4、扫过的面积相等,不同行星在相同的时间内扫过的面积不相等,D 错误。4.据中国载人航天工程办公室介绍,天宫一号以完整的整器结构成功服役 5 年后,再入大气层烧毁。烧毁前,天宫一号飞行器运行在平均高度约为 216.2 公里的轨道上(近似圆周轨道),与同步卫星相比,“天宫一号”运行的( )A.速度较小 B.周期较小C.加速度较小 D.角速度较小答案 B “天宫一号”运行的轨道半径比同步卫星小,根据 G =m r=m =m 2r=ma 可得:v= ,则天Mmr2 4 2T2 v2r GMr宫一号运行的速度较大,选项 A 错误;T=2 ,则“天宫一号”运行的周期较小,选项 B 正确;a= ,则r3GM
5、GMr2“天宫一号”运行的加速度较大,选项 C 错误;= ,则天宫一号运行的角速度较大,选项 D 错误。GMr35.据报道,科学家们在距离地球 20 万光年外发现了首颗系外“宜居”行星。假设该行星质量约为地球质量的 6.4 倍,半径约为地球半径的 2 倍。那么,一个在地球表面能举起 64 kg 物体的人在这个行星表面能举起的物体的质量约为(地球表面重力加速度 g=10 m/s2)( )A.40 kg B.50 kgC.60 kg D.30 kg答案 A 根据万有引力等于重力 =mg 得 g= ,因为行星质量约为地球质量的 6.4 倍,其半径是地球半GMmR2 GMR2径的 2 倍,则行星表面重
6、力加速度是地球表面重力加速度的 1.6 倍,而人的举力可认为是不变的,则人在行星表面所举起的重物质量为:m= = kg=40 kg,故 A 正确。m01.6641.66.地球质量大约是月球质量的 81 倍,一飞行器位于地球与月球之间,当地球对它的引力和月球对它的引力大小相等时,飞行器距月球球心的距离与月球球心距地球球心之间的距离之比为 ( )A.19 B.91C.110 D.101答案 C 设月球质量为 m,则地球质量为 81m,地月间距离为 r,飞行器质量为 m0,当飞行器距月球为 r时,地球对它的引力等于月球对它的引力,则 G =G ,所以 =9,r=10r,rr=110,故选项 Cmm0
7、r2 81mm0(r-r)2 r-rr正确。37.宇航员站在某一星球上,将一个小球在距离星球表面 h 高度处由静止释放,使其做自由落体运动,经过t 时间后小球到达星球表面,已知该星球的半径为 R,引力常量为 G,则下列选项正确的是( )A.该星球的质量为2hR2Gt2B.该星球表面的重力加速度为h2t2C.该星球的第一宇宙速度为2hRt2D.通过以上数据无法确定该星球的密度答案 A 小球做自由落体运动,则有 h= gt2,解得该星球表面的重力加速度 g= ,故 B 错误;对星球表面12 2ht2的物体,万有引力等于重力,即 =mg,可得该星球的质量 M= ,故 A 正确;该星球的第一宇宙速度G
8、MmR2 2hR2Gt2v= = ,故 C 错误;该星球的密度 = = ,故 D 错误。gR2hRt M43 R3 3h2RGt28.某星球直径为 d,宇航员在该星球表面以初速度 v0竖直上抛一个物体,物体上升的最大高度为 h,若物体只受该星球引力作用,则该星球的第一宇宙速度为( )A. B.2v0 C. D.v02 dh v02 hd v02 dh答案 D 星球表面的重力加速度为 g= ,根据万有引力定律可知 G =m ,解得 v= ;又知 =mg,解v202h Mm(d2)2 v2d2 2GMd GMm(d2)2得 v= ,故选 D。v02 dh9.过去几千年来,人类对行星的认识与研究仅限
9、于太阳系内,行星“51 peg b”的发现拉开了研究太阳系外行星的序幕。“51 peg b”绕其中心恒星做匀速圆周运动,周期约为 4 天,轨道半径约为地球绕太阳运动半径的 ,该中心恒星与太阳的质量比约为( )120A. B.1 C.5 D.10110答案 B 根据万有引力提供向心力,有 G =m r,可得 M= ,所以恒星质量与太阳质量之比为Mmr2 4 2T2 4 2r3GT2= = 1,故选项 B 正确。M恒M太 r3行 T2地r3地 T2行 (120)3 (3654)210.据报道,天文学家新发现了太阳系外的一颗行星。这颗行星的体积是地球的 a 倍,质量是地球的 b 倍。已知近地卫星绕地
10、球运动的周期约为 T,引力常量为 G。则该行星的平均密度为( )A. B. C. D.3GT2 3T2 3baGT2 3abGT24答案 C 万有引力提供近地卫星绕地球运动的向心力 G =m ,且 地 = ,由以上两式得 地 = ,M地 mR2 4 2RT2 3M地4R3 3GT2而 = = ,因而 星 = 。 星 地 M星 V地V星 M地 ba 3baGT211.(2016 浙江 10 月选考,12,3 分)如图所示,“天宫二号”在距离地面 393 km 的近圆轨道运行。已知引力常量 G=6.6710-11 Nm2/kg2,地球质量 M=6.01024 kg,地球半径 R=6.4103 km
11、。由以上数据可估算( )A.“天宫二号”质量B.“天宫二号”运行速度C.“天宫二号”受到的向心力D.地球对“天宫二号”的引力答案 B 本题考查了万有引力定律的应用。根据万有引力提供向心力,即 =m ,可知 v= ,所以选项GMmr2 v2r GMrB 正确。无法得知天宫二号的质量,即选项 A 错误,同时其受到的向心力、引力都因为不知质量而无法求解,所以 C、D 错误。5B 组 提升题组1.有 a、b、c、d 四颗地球卫星,a 还未发射,在地球赤道表面上随地球一起转动,b 处于地面附近近地轨道上正常运动,c 是地球同步卫星,d 是高空探测卫星,各卫星排列位置如图,则下列说法中正确的是( )A.a
12、 的向心加速度等于重力加速度 gB.c 在 4 h 内转过的圆心角是 /6C.b 在相同时间内转过的弧长最长D.d 的运动周期可能是 20 h答案 C 赤道表面的物体所受的万有引力一部分提供物体随地球自转的向心力,另一部分就是物体的重力,F 万 =ma 向 +mg,故 A 错误。c 卫星与地球同步,4 h 内转过的圆心角为 2= ,故 B 错误。a、c 具424 3有相同角速度,v c=r c,va=R,由于 rcR,所以 vcva;由万有引力提供向心力得卫星速度 v= ,由于GMrrbvcvd,故 b 的速度最大,C 正确。卫星的周期 T= ,由 rdrc,得 TdTc=24 h,故 D4
13、2r3GM错误。2.2020 年前我国将发射 8 颗海洋系列卫星,包括 2 颗海洋动力环境卫星和 2 颗海陆雷达卫星。假设海陆雷达卫星绕地球做匀速圆周运动的轨道半径是海洋动力环境卫星的 n 倍,则( )A.海陆雷达卫星的运行速度是海洋动力环境卫星的 n 倍B.海陆雷达卫星的角速度是海洋动力环境卫星的 n 倍C.海陆雷达卫星的周期是海洋动力环境卫星的 倍n3D.海陆雷达卫星的向心力是海洋动力环境卫星的1n2答案 C 假设海洋动力环境卫星的轨道半径为 n,则海陆雷达卫星的轨道半径为 nr,它们环绕地球运行时,根据万有引力提供向心力,得海陆雷达卫星的线速度 v1= ,海洋动力环境卫星的线速度 v2=
14、 ,所GMnr GMr以 = ,A 错误;得海陆雷达卫星的角速度 1= ,海洋动力环境卫星角速度 2= ,所以 = ,Bv1v2 1n GM(nr)3 GMr3 1 2 1n3错误。因为 T= ,所以 = ,故 C 正确;因两卫星质量未知 ,所以无法比较它们向心力的大小,D 错误。2 T1T2 n33.如图所示,我国自主研发的北斗卫星导航系统由 35 颗卫星组成,包括分布于 a 类型轨道的 5 颗同步轨道卫星、分布于 b 类型轨道的 3 颗倾斜轨道卫星(与同步卫星轨道半径相等,轨道倾角 55)和分布于 c6类型轨道的 27 颗中轨道卫星,中轨道卫星在 3 个互成 120的轨道面上做圆周运动,预
15、计 2020 年全部建成。下列说法正确的是( )A.a 类型轨道上的卫星相对于地面静止且处于平衡状态B.a 类型轨道上的卫星运行速率等于 b 类型轨道上卫星的速率C.b 类型轨道上的卫星也与地球保持相对静止D.三类卫星相比,c 类型轨道上的卫星的向心加速度最小答案 B 三种类型轨道的卫星都是绕地球做圆周运动,合力不为零,不是处于平衡状态,故 A 错误;根据G =m 可得 v= ,轨道半径相等,则线速度大小相等,故 a 类型轨道上的卫星运行速率等于 b 类型轨道Mmr2 v2r GMr上卫星的速率,B 正确;b 类型轨道上卫星不能与地球保持相对静止,只有同步轨道卫星才能与地球保持相对静止,C 错
16、误;万有引力提供向心力,根据 G =ma 可得 a=G ,轨道半径越小,向心加速度越大,故 c 类Mmr2 Mr2型轨道上的卫星向心加速度最大,D 错误。4.如图是“嫦娥二号”奔月示意图,卫星发射后经地月转移轨道,最终被月球引力捕获,成为绕月卫星。下列说法正确的是( )A.在绕月的不同圆轨道上,卫星的周期是相同的B.卫星受月球的引力与它到月球中心距离成反比C.在绕月圆轨道上,卫星内物体处于失重状态D.发射“嫦娥二号”的速度必须达到第二宇宙速度答案 C 根据开普勒第三定律 =k,可知在绕月的不同圆轨道上,卫星的周期不相同,故 A 错误;由 F=Gr3T2,可知卫星受月球的引力与它到月球中心距离的
17、平方成反比,故 B 错误;在绕月圆轨道上,卫星内物体M月 mr2所受月球的引力提供向心力,所以卫星内物体处于失重状态,故 C 正确;“嫦娥二号”发射出去后没有脱离地球,其发射速度大于第一宇宙速度、小于第二宇宙速度,故 D 错误。75.(多选)2017 年三名美国科学家获本年度诺贝尔物理学奖,用以表彰他们在引力波研究方面的贡献。人类首次发现了引力波来源于距地球之外 13 亿光年的两个黑洞(质量分别为 26 个和 39 个太阳质量)互相绕转最后合并的过程。设两个黑洞 A、B 绕其连线上的 O 点做匀速圆周运动,如图所示。黑洞 A 的轨道半径大于黑洞 B 的轨道半径,两个黑洞的总质量为 M,两个黑洞
18、间的距离为 L,其运动周期为 T,则( )A.黑洞 A 的质量一定大于黑洞 B 的质量B.黑洞 A 的线速度一定大于黑洞 B 的线速度C.两个黑洞间的距离 L 一定,M 越大,T 越大D.两个黑洞的总质量 M 一定,L 越大,T 越大答案 BD 设两个黑洞质量分别为 mA、m B,轨道半径分别为 RA、R B,角速度为 ,由万有引力提供向心力可知: =mA 2RA, =mB 2RB,又 RA+RB=L,得 = ,而 RARB,则 mAmB,选项 A 错误;v A=R A,vB=R B,故选GmAmBL2 GmAmBL2 mAmBRBRA项 B 正确;GM= 2L3,又 T= ,得 T=2 ,故
19、选项 C 错误,D 正确。2 L3GM6.2017 年 8 月 28 日,中科院南极天文中心的巡天望远镜观测到一个由双中子星构成的孤立双星系统产生的引力波。该双星系统以引力波的形式向外辐射能量,使得圆周运动的周期 T 极其缓慢地减小,双星的质量 m1与 m2均不变,则下列关于该双星系统变化的说法正确的是( )A.双星间的间距逐渐增大B.双星间的万有引力逐渐增大C.双星的线速度逐渐增大D.双星系统的引力势能逐渐增大答案 BC 万有引力提供向心力,由牛顿第二定律得 =m1 r1=m2 r2=m1 =m2 ,其中 r1+r2=L,解Gm1m2L2 (2T)2 (2T)2 v21r1 v22r2得周期
20、 T= ,周期减小,则双星间的间距 L 减小,万有引力增大,万有引力对双星做正功,双星系4 2L3G(m1+m2)统引力势能减小,v 1= ,v2= ,双星间的间距 L 减小,双星各自的线速度增大,故 B、C 正Gm22(m1+m2)L Gm21(m1+m2)L确,A、D 错误。7.如果把水星和金星绕太阳的运动视为匀速圆周运动,如图所示。从水星与金星在一条直线上开始计时,若天文学家测得在相同时间内水星转过的角度为 1,金星转过的角度为 2( 1、 2均为锐角),则由此条件可求得( )8A.水星和金星绕太阳运动的周期之比B.水星和金星的密度之比C.水星和金星表面的重力加速度之比D.水星和金星绕太
21、阳运动的向心力大小之比答案 A 相同时间内水星转过的角度为 1,金星转过的角度为 2,可知它们的角速度之比为 1 2,周期 T= ,则周期之比为 2 1,故 A 正确;水星和金星是环绕天体,无法求出质量,也无法知道它们的半2径,所以求不出密度比,故 B 错误;在水星表面物体的重力等于万有引力,有 G =mg 水 ,得 g 水 =G ,在金星M水 mR2水 M水R2水表面物体的重力等于万有引力,有 =mg 金 ,得 g 金 =G ,由于水星和金星的质量比及半径比都未知,所以GM金 mR2金 M金R2金无法求出水星和金星表面的重力加速度之比,故 C 错误;根据 G =m 2r,得 r= ,由角速度
22、之比可以得Mmr2 GMr3出水星和金星到太阳的距离之比,但无法求出水星和金星的质量,所以无法求出水星和金星绕太阳运动的向心力大小之比,故 D 错误。9.(2018 浙江 11 月选考,12,3 分)20 世纪人类最伟大的创举之一是开拓了太空的全新领域。现有一艘远离星球在太空中直线飞行的宇宙飞船,为了测量自身质量,启动推进器,测出飞船在短时间 t 内速度的改变为 v 和飞船受到的推力 F(其他星球对它的引力可忽略)。飞船在某次航行中,当它飞近一个孤立的星球时,飞船能以速度 v 在离星球的较高轨道上绕星球做周期为 T 的匀速圆周运动。已知星球的半径为 R,引力常量用 G 表示。则宇宙飞船和星球的质量分别是( )A. , B. ,F v tv2RG F v t v3T2GC. , D. ,F t vv2RG F t v v3T2G答案 D 根据牛顿第二定律可知 F=ma=m ,所以 m= ,飞船做圆周运动的周期 T= ,得半径为 r= , v t F v t 2rv Tv2根据万有引力提供向心力可得 G =m ,得 M= = ,选 D。Mmr2 v2r v2rG v3T2G
