1、1第 17 讲 任意角和弧度制及任意角的三角函数1.角的概念的推广(1)定义:角可以看成平面内的一条射线绕着 从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形 . (2)分类:按旋转方向分为 、 和零角;按终边位置分为 和轴线角 . (3)终边相同的角:所有与角 终边相同的角,连同角 在内,构成的角的集合是 S= . 2.弧度制的定义和公式(1)定义:把长度等于 的弧所对的圆心角叫作 1 弧度的角 .弧度记作 rad. (2)公式:角 的弧度数的绝对值 |= (弧长用 l 表示)lr角度与弧度的换算 1= rad, 1 rad= 180 180弧长公式 弧长 l= 扇形面积公式 S= lr= |r 21
2、2 123.任意角的三角函数(1)定义:设 是一个任意角,它的终边与单位圆交于点 P(x,y),则 sin = ,cos = ,tan = (x0) . yx(2)几何表示(单位圆中的三角函数线):图 3-17-1 中的有向线段 OM,MP,AT 分别称为角 的 、 和 . ( ) ( )2( ) ( )图 3-17-1常用结论象限角与轴线角(1)象限角(2)轴线角题组一 常识题1.教材改编 终边落在第一象限角平分线上的角的集合是 . 2.教材改编 (1)6730 = rad;(2) = . 123.教材改编 半径为 120 mm 的圆上长为 144 mm 的弧所对圆心角 的弧度数是 . 4.
3、教材改编 若角 的终边经过点 P(-1,2),则 sin - cos + tan = . 题组二 常错题索引:对角的范围把握不准;不能据函数值的符号确定角所在的象限;不熟悉角在不同象限时对应的三角函数值的符号;求弧长或者扇形面积把角化为弧度数时出错 .5.在 ABC 中,若 sin A= ,则 A= . 226.已知 P(- ,y)为角 的终边上的一点,且 sin = ,则 y= . 3131337.当 为第二象限角时, - 的值是 . |sin |sin cos|cos |8.若一扇形的圆心角为 72,半径为 20 cm,则扇形的面积为 cm2. 探究点一 角的集合表示及象限角的判定例 1
4、(1)2018长春一模 若角 的顶点为坐标原点,始边在 x 轴的非负半轴上,终边在直线 y=- x 上,则角 的所有取值的集合是 ( )3A. = 2k - ,kZ 3B. | =2k +23,k ZC. | =k -23,k ZD. | =k - 3,k Z(2)集合 中的角所表示的范围(阴影部分)是 ( ) |k + 4 k + 2,k ZA B C D图 3-17-2总结反思 (1)角 (0 0,则角 是 ( )tansinA.第一象限角 B.第二象限角C.第三象限角 D.第四象限角(2)若 为第二象限角,则 cos 2 ,cos , , 中,其值必为正的有 ( ) 2 1sin2 1c
5、os 2A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个总结反思 判断三角函数值的符号,关键是确定角的终边所在的象限,然后结合三角函数值在各象限的符号确定所求三角函数值的符号,特别要注意不要忽略角的终边在坐标轴上的情况 .角度 3 三角函数线的应用例 5 2018嘉兴模拟 已知 ,a=sin ,b=cos ,c=tan ,那么 a,b,c 的大( 2,34)小关系是 ( )A.abc B.bacC.acb D.cab总结反思 利用三角函数线比较大小或解三角不等式,通常采用数形结合的方法,一般来说sin x b,cos x a,只需作直线 y=b,x=a 与单位圆相交,连接原点与交点即得角的终边所
6、在的位置,此时再根据方向即可确定相应的 x 的范围 .6变式题 函数 f(x)= +ln sin x- 的定义域为 . 1-2cosx22第 17 讲 任意角和弧度制及任意角的三角函数考试说明 1 .任意角、弧度制(1)了解任意角的概念和弧度制的概念 .(2)能进行弧度与角度的互化 .2.理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义 .【课前双基巩固】知识聚焦1.(1)端点 (2)正角 负角 象限角 (3)|=+k 360,kZ2.(1)半径长 (2)|r3.(1)y x (2)余弦线 正弦线 正切线对点演练1.|=k 360+45,kZ 解析 终边落在第一象限角平分线上的最小正角为45,所以
7、与其终边相同的角的集合为 |=k 360+45,kZ .2.(1) (2)15 解析 (1)6730 =67.5 = (rad);(2) = =15.38 18038 1212(180 )3.1.2 解析 根据圆心角弧度数的计算公式得, = =1.2.14412074. 解析 r= = ,所以 sin = = ,cos =- =- ,tan =35-105 (-1)2+22 5 25255 15 55=-2,所以 sin - cos + tan = .2-1 35-1055. 或 解析 因为 0 0,cos 0 时,sin = =- ,cos = = , sin + cos =- ;-2m5m
8、 25 m5m 15 55当 m0,得 0,所以 cos 0.又 sin cos cos tan ,即 abc.方法二:此题也可采用特值法 . , 可取 = ,此时 a=sin = ,b=cos =-( 2,34) 23 32,c=tan =- ,即 abc,故选 A.12 3变式题 x 2k + x0, cosx 12,sinx 22,x 2k + x2k + ,kZ . 3 34【备选理由】 例 1 考查判断弧度制下的角所在的象限问题;例 2 考查弧长公式与等差数列的综合问题;例 3 强化对三角函数定义的理解与应用,并给出了方法二,即利用同角三角函数的基本关系也可求解;例 4 考查三角函数
9、线的基本应用 .例 1 配合例 1 使用 若角 =- 4,则 的终边在 ( )10A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析 B 因为 - =- 4-,所以依据负角的定义可知 的终边在第二象限 .故选 B.32例 2 配合例 2 使用 如图所示,一条螺旋线是用以下方法画成的: ABC 是边长为 1 的正三角形,曲线 CA1,A1A2,A2A3分别是以 A,B,C 为圆心,以 AC,BA1,CA2为半径画的弧,曲线CA1A2A3称为螺旋线旋转一圈,然后又以 A 为圆心, AA3为半径画弧这样画到第 n 圈,则所得整条螺旋线的长度 ln= .(用 表示即可) 答案 n(3n+1)解析 设
10、第 n 段弧的弧长为 an,由弧长公式可得 a1= ,a2= 2,a3= 3, 23 23 23所以数列 an是以 为首项, 为公差的等差数列 .画到第 n 圈,有 3n 段弧,故所得整条螺旋23 23线的长度 ln=a1+a2+a3+a3n= (1+2+3+3n)=n(3n+1) .23例 3 配合例 3 使用 若点 P(3,y)是角 终边上的一点,且满足 y0,cos = ,则 tan 35= ( )A.- B.34 34C. D.-43 43解析 D 方法一:由题意知, r= ,所以 cos = = ,解得 y=-4 或 y=4(舍),32+y2332+y235所以 tan =- .43方法二:因为点 P(3,y)是角 终边上的一点,且满足 y0,cos = ,35所以 sin =- =- ,1-cos245所以 tan = =- ,故选 D.sincos 4311例 4 配合例 5 使用 2018北京首师大附中月考 已知 cos - ,则角 的取值范12围为 . 答案 2k + 2 k + , kZ23 43解析 如图所示,作出直线 x=- ,交单位圆于 C,D 两点,连接 OC,OD,则 OC 与 OD 围成的区域12(图中阴影部分)即为角 终边的范围,故满足条件的角 的取值范围为 2k + 2 k + , kZ .23 43
