1、1第 20讲 函数 y=Asin(x+ )的图像及三角函数模型的简单应用1.y=Asin(x+ )的有关概念振幅周期 频率 相位 初相y=Asin(x+ )(A0, 0),x0, +)AT=f= =1T2.用五点法画 y=Asin(x+ )一个周期内的简图时,要找五个特征点,如下表所示:xx+y=Asin(x+ )0 A 0 -A 03.函数 y=sin x的图像经变换得到 y=Asin(x+ )的图像的步骤2图 3-20-1题组一 常识题1.教材改编 函数 y=sin x的图像上所有点的横坐标不变,纵坐标伸长为原来的 2倍得到的图像对应的函数解析式是 . 2.教材改编 某函数的图像向右平移
2、个单位长度后得到的图像对应的函数解析式是2y=sin ,则原函数的解析式是 . (x+4)3.教材改编 函数 y=cos 的周期为 ,单调递增区间为 (2x-2). 4.教材改编 已知简谐运动 f(x)=2sin x+ 的图像经过点(0,1),则该简谐3 (| | 0,若函数 f(x)= sin x 在区间 上单调递增,则 的取值范围是 12 -2,2. 37.若 f(x)=2sin(x+ )+m对任意实数 t都有 f =f ,且 f =-3,则实数 m= .(8+t) (8-t) (8)图 3-20-28.已知函数 f(x)=sin(x+ ) 0,| 0)个单位长| |度 .特别提醒:平移变
3、换和伸缩变换都是针对 x而言,即 x本身加减多少值,而不是依赖于x 加减多少值 .变式题 (1)2018江西八所重点中学联考 将函数 y=sin x- 的图像上所有的点向右平6移 个单位长度,再把所得图像上各点的横坐标扩大到原来的 2倍(纵坐标不变),则所得图4像对应的函数解析式为 ( )A.y=sin B.y=sin(2x-512) (x2+12)C.y=sin D.y=sin(x2-512) (x2-524)(2)为了得到函数 y=sin 3x的图像,可以将 y=cos 3x的图像 ( )A.向右平移 个单位长度6B.向左平移 个单位长度6C.向右平移 个单位长度2D.向左平移 个单位长度
4、3探究点二 函数 y=Asin(x+ )的图像与解析式例 2 (1)已知函数 f(x)=Asin(x+ )(A0,| 0,- 0, 0)的解析式主要从以下三个方面考虑:(1)根据最大值或最小值求出 A的值 .(2)根据周期求出 的值 .(3)求 的常用方法如下: 代入法:把图像上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图像的最高点或最低点代入 . 五点法:确定 的值时,往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口 .图 3-20-5变式题 已知函数 f(x)=2sin(x+ )( 0,| 0,| 0)的形式;(2)把 x+ 看成一个整体;(3)借助正弦函数 y=sin x
5、的图像与性质(如定义域、值域、最值、周期性、对称性、单调性等)解决相关问题 .变式题 (1)2018益阳调研 将函数 f(x)=cos(2x+ ) 的图像向右平移 个单(| |0, 0, 0,所以 (0,1 .T2 227.-5或 -1 解析 由 f =f 得,函数 f(x)的图像的对称轴为直线 x= .故当(8+t) (8-t) 8x= 时,函数取得最大值或最小值,于是有 -2+m=-3或 2+m=-3,即 m=-1或 m=-5.88.- 解析 由图像可知, T=4 - =,所以 = =2.因为 f =sin + =1,所6 7123 2 (3) 23以 += +2k( kZ),即 =- +
6、2k( kZ),又 | 0,| ,所以 00,| | 0,|0, 0,|0,A= 2.f =2, 2 += +2k, kZ, = +2k, kZ,又(-8) (-8) 2 34| , = ,f (x)=2sin .34 (2x+34)由 - +2k2 x+ +2k, kZ,2 34 2得 - +k x - +k, kZ,58 8 函数 f(x)的单调递增区间为 ,kZ .-58+k ,-8+k (2)x , 2x+ ,-38,4 34 0,54 当 2x+ = ,即 x= 时, f(x)min=- ,当 2x+ = ,即 x=- 时, f(x)max=2, 34 54 4 2 34 2 8 函数 f(x)在 上的值域为 - ,2.-38 ,4 2例 4 配合例 4使用 一根长 a cm的线一端固定,另一端悬挂一个小球,小球摆动时,离开平衡位置的位移 s(cm)和时间 t(s)的函数关系式是 s=3cos ,t0, + ),则小球(gat+3)摆动的周期为 s. 答案 2 ag解析 小球的位移 s与时间 t的函数关系式为 s=3cos ,t0, + ), 小球(gat+3)摆动的周期 T= = .2ga2 ag
