1、第四讲 指数与指数函数,第二章 函数概念与基本初等函数,考情精解读,A考点帮知识全通关,目录 CONTENTS,命题规律,聚焦核心素养,考点1 指数与指数运算 考点2 指数函数的图象与性质,考法1 指数幂的运算 考法2 指数函数的图象及应用 考法3 指数函数的性质及应用 考法4 与指数函数有关的复合函数问题,B考法帮题型全突破,C方法帮素养大提升,易错 忽略对底数a的分类讨论而出错,理科数学 第二章：函数概念与基本初等函数,考情精解读,命题规律 聚焦核心素养,理科数学 第二章：函数概念与基本初等函数,命题规律,1.命题分析预测 本讲在高考中的考查热点有:(1)比较指数式的大小;(2)指数函数的
2、图象与性质的应用;(3)以指数函数为载体,与其他函数、方程、不等式等知识的综合应用.以选择题和填空题为主,难度中等. 2.学科核心素养 本讲通过对指数运算、指数函数的图象及性质考查数形结合思想、分类讨论思想的运用和考生的逻辑推理、数学运算素养.,聚焦核心素养,A考点帮知识全通关,考点1 指数与指数运算 考点2 指数函数的图象与性质,理科数学 第二章：函数概念与基本初等函数,1.根式的性质 (1)( )n=a(a使 有意义). (2)当n是奇数时, =a;当n是偶数时, =|a|= ,0, ,0,m,nN*,且n1).(2) = 1 = 1 (a0,m,nN*,且n1). (3)0的正分数指数幂
3、等于0,0的负分数指数幂没有意义.,考点1 指数与指数运算（重点）,理科数学 第二章：函数概念与基本初等函数,3.有理数指数幂的运算性质 (1)aras=ar+s(a0,r,sQ); (2) =ar-s(a0,r,sQ); (3)(ar)s=ars(a0,r,sQ); (4)(ab)r=arbr(a0,b0,rQ). 说明 有理数指数幂的运算性质也适用于无理数指数幂.,考点2 指数函数的图象与性质(重点),1.指数函数的概念 函数y=ax(a0且a1)叫作指数函数,其中指数x是自变量,函数的定义域是R,a是底数. 辨析比较,幂函数与指数函数的区别,理科数学 第二章：函数概念与基本初等函数,2.
4、指数函数的图象和性质,注意(1)当指数函数的底数a的大小不确定时,需分a1和0a1两种情况进行讨论.(2)指数函数的图象恒过点(0,1),(1,a),(-1, 1 ),依据这三点的坐标可得到指数函数的大致图象.,理科数学 第二章：函数概念与基本初等函数,规律总结(1)任意两个指数函数的图象都是相交的,过定点(0,1),底数互为倒数的两个 指数函数的图象关于y轴对称. (2)当a1时,指数函数的图象呈上升趋势;当0a1时,指数函数的图象呈下 降趋势. (3)指数函数在同一平面直角坐标系中的图象的 相对位置与底数的大小关系如图所示,其中 0cd1ab.,B考法帮题型全突破,考法1 指数幂的运算 考
5、法2 指数函数的图象及应用 考法3 指数函数的性质及应用 考法4 与指数函数有关的复合函数问题,理科数学 第二章：函数概念与基本初等函数,考法1 指数幂的运算,示例1 计算: (1) （3 3 8 ） 2 3 + （0.002） 1 2 -10( 5 -2)-1+( 2 - 3 )0; (2) 3 2 2 ( 1 4 1 2 ) 4 1 3 1 3 (a0,b0); (3)若 1 2 + 1 2 =3,求 3 2 + 3 2 3 2 + 2 2 的值.,理科数学 第二章：函数概念与基本初等函数,解析 (1)原式= (1) 2 3 （3 3 8 ） 2 3 + ( 1 500 ) 1 2 - 1
6、0 5 2 +1= 27 8 2 3 +( 1 500 ) 1 2 - 10( 5 +2)+1= 4 9 +10 5 -10 5 -20+1=- 167 9 . (2)原式= ( 3 2 1 3 2 3 ) 1 2 2 1 3 1 3 = 3 2 + 1 6 1+ 1 3 =ab-1. (3) 1 2 + 1 2 =3,两边平方,得x+x-1=7, x2+x-2=47.x2+x-2-2=45. 由 ( 1 2 + 1 2 )3=33,得 3 2 +3 1 2 +3 1 2 + 3 2 =27. 3 2 + 3 2 =18, 3 2 + 3 2 -3=15. 3 2 + 3 2 3 2 + 2
7、2 = 1 3 .,理科数学 第二章：函数概念与基本初等函数,技巧点拨 指数幂的运算技巧 (1)指数幂的运算要将根式、分数指数幂统一化为分数指数幂,以便利用法则计算,但应注意:必须同底指数幂相乘,指数才能相加;运算的先后顺序. (2)当底数是负数时,先确定符号,再把底数化为正数. (3)运算结果不能同时含有根号和分数指数,也不能既有分母又含有负指数.,理科数学 第二章：函数概念与基本初等函数,规律总结 (1)1的代换,如1=a-1a,1= 1 2 1 2 等; (2)乘法公式的常见变形,如( 1 2 + 1 2 )( 1 2 - 1 2 )=a-b,( 1 2 1 2 )2=a2 1 2 1
8、2 +b,( 1 3 1 3 )( 2 3 1 3 1 3 + 2 3 )=ab.,考法2 指数函数的图象及应用,:,示例2 (1)已知函数y=kx+a的图象如图所示,则函数 y=ax+k的图象可能是(2)若曲线|y|=2x+1与直线y=b没有公共点,则b的取值范围是 .,思维导引,理科数学 第二章：函数概念与基本初等函数,解析 (1)由函数y=kx+a的图象可得k-1,所以-1k0.函数y=ax+k的图象可以看成把y=ax的图象向右平移-k个单位长度得到的,且函数y=ax+k是减函数,故此函数与y轴交点的纵坐标大于1,结合所给的选项,选B.,理科数学 第二章：函数概念与基本初等函数,(2)曲
9、线|y|=2x+1与直线y=b的图象如图所示,由图象可得:如果|y|=2x+1与直线y=b没有公共点,则b应满足的条件是b-1,1.,方法总结 与指数函数有关的图象问题的求解方法 (1)已知函数解析式判断其图象,一般是取特殊点,判断选项中的图象是否过这些点,若不满足则排除. (2)对于有关指数型函数的图象问题,一般是从最基本的指数函数的图象入手,通过平移、伸缩、对称变换而得到.特别地,当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论.,理科数学 第二章：函数概念与基本初等函数,拓展变式1 (1)若将示例2(2)中“|y|=2x+1与直线y=b没有公共点”改为“y=|2x-1|与直线y=b有两个公共
10、点”,求b的取值范围. (2)若将示例2(2)改为:函数y=|2x-1|在(-,k上单调递减,则k的取值范围是什么? (3)若将示例2(2)改为:直线y=2a与函数y=|ax-1|(a0且a1)的图象有两个公共点,则a的取值范围是什么?,理科数学 第二章：函数概念与基本初等函数,理科数学 第二章：函数概念与基本初等函数,1.(1)曲线y=|2x-1|与直线y=b的图象如图1所示,由图象可得,如果曲线y=|2x-1| 与直线y=b有两个公共点,则b的取值范围是(0,1).(2)因为函数y=|2x-1|的单调递减区间为(-,0,所以k0,即k的取值范围为 (-,0.,图1,理科数学 第二章：函数概
11、念与基本初等函数,(3)y=|ax-1|的图象是由y=ax先向下平移1个单位长度,再将x轴下方的图象 沿x轴翻折过来得到的. 当a1时,两图象只有一个交点,不合题意,如图2;当0a1时,要使两个图象 有两个公共点,则02a1.得到0a 1 2 ,如图3. 综上可知,a的取值范围是(0, ).,图2 图3,考法3 指数函数的性质及应用,示例3 比较下列各题中两个值的大小: (1)1.72.5,1.73;(2)0.8-0.1,0.8-0.2;(3)1.70.3,0.93.1. 思维导引 (1)(2)直接根据底数即可确定指数函数,然后根据指数函数的单调性比较大小;(3)由于底数、指数均不同,所以需要
12、寻找一个中间量来比较大小.,解析 (1)（单调性法）考查函数y=1.7x,因为1.71, 所以指数函数y=1.7x在R上是增函数. 又2.5-0.2,所以0.8-0.11.70=1,0.93.10.93.1.,理科数学 第二章：函数概念与基本初等函数,点评 你能比较89与98的大小吗?可视为比较ab与ba的大小,对两个数取对数得blna与alnb,同时除以ab得 ln 与 ln .于是构造函数y= ln (x1),求导得y=( ln )= 1ln 2 ,故当x(1,e)时,y0,函数y= ln 为增函数;当x(e,+)时,y ln9 9 ,即8998.,理科数学 第二章：函数概念与基本初等函数
13、,理科数学 第二章：函数概念与基本初等函数,方法总结 比较指数幂大小的常用方法 一是单调性法,不同底的指数函数化同底后就可以应用指数函数的单调性比较大小,所以能够化同底的尽可能化同底; 二是取中间值法,不同底、不同指数的指数函数比较大小时,先与中间值(特别是0,1)比较大小,进而得出大小关系; 三是图解法,根据指数函数的特征,在同一平面直角坐标系中作出它们相应的函数图象,借助图象比较大小.,理科数学 第二章：函数概念与基本初等函数,拓展变式2(1)已知函数f(x)= 2 1 2 +1 ,则不等式f(x2-1)+f(2x-7)0的解集为. (2)函数f(x)=lg 1+ 2 + 4 3 在x(-
14、,1上有意义,求实数a的取值范围.,2.(1)(-4,2) 函数f(x)的定义域为R, f(-x)= 2 1 2 +1 = 12 1 1+2 =-f(x), f(x)是奇函数,f(x)=1- 2 2 +1 . 设x1,x2是R上任意两数,且x1x2, f(x1)-f(x2)= 2 2 2 +1 - 2 2 1 +1 = 2( 2 1 2 2 ) ( 2 2 +1)( 2 1 +1) ,理科数学 第二章：函数概念与基本初等函数,x10, 2 2 +10,f(x1)-f(x2)0恒成立,即1+2x+4xa0. a-( 1 4 )x+( 1 2 )x在x(-,1上恒成立.,理科数学 第二章：函数概念
15、与基本初等函数,y=( 1 4 )x,y=( 1 2 )x均为减函数, y=-( 1 4 )x+( 1 2 )x为增函数. 当x1时,-( 1 4 )x+( 1 2 )x - 3 4 . 实数a的取值范围为(- 3 4 ,+).,考法4 与指数函数有关的复合函数问题,示例4 已知函数f(x)= （ 1 3 ） 2 4+3 . (1)若a=-1,求f(x)的单调区间; (2)若f(x)有最大值3,求a的值; (3)若f(x)的值域是(0,+),求a的值.,解析(1)当a=-1时,f(x)= （ 1 3 ） 2 4+3 , 令u=-x2-4x+3=-(x+2)2+7. 则u在(-,-2)上单调递增
16、,在(-2,+)上单调递减,而y=( 1 3 )u在R上单调递减, 所以f(x)在(-,-2)上单调递减,在(-2,+)上单调递增,即函数f(x)的单调递增区间是(-2,+),单调递减区间是(-,-2). (2)令h(x)=ax2-4x+3,则y=( 1 3 )h(x), 因为f(x)有最大值3, 所以h(x)有最小值-1, 因此必有 0, 1216 4 =1, 解得a=1,即当f(x)有最大值3时,a的值为1. (3)由f(x)的值域是(0,+)知,ax2-4x+3的值域为R,则必有a=0.,归纳总结 1.与指数函数有关的复合函数的定义域、值域 (1)y=af(x)的定义域就是f(x)的定义
17、域. (2)求y=af(x)和y=f(ax)的值域的解法 形如y=af(x)的值域,要先令u=f(x),求出u=f(x)的值域,再结合y=au的单调性求出y=af(x)的值域.若a的取值范围不确定,则需要对a进行分类讨论:当01时,y=au为增函数. 形如y=f(ax)的值域,要先求出u=ax的值域,再结合y=f(u)的单调性确定y=f(ax)的值域.,2.与指数函数有关的复合函数的单调性 形如y=af(x)的函数的单调性,它的单调区间与 f(x)的单调区间有关: 若a1,函数 f(x)的单调增(减)区间即函数y=af(x)的单调增(减)区间; 若0a1,函数 f(x)的单调增(减)区间即函数
18、y=af(x)的单调减(增)区间.即“同增异减”. 注意 当底数a与1的大小不确定时应分类讨论. 3.求解指数型函数中的参数取值范围的基本思路 一般利用指数函数的单调性或最值进行转化,应注意对底数a进行分类讨论. 4.对于含有ax,a2x的函数表达式,通常可以令t=ax进行换元,但换元过程中要注意新元的取值范围.,理科数学 第二章：函数概念与基本初等函数,拓展变式3 改编题已知函数f(x)=2|2x-m|(m为常数).若f(x)在2,+)上是增函数,则m的取值范围是 .,理科数学 第二章：函数概念与基本初等函数,3.(-,4 令t=|2x-m|,则t=|2x-m|在 2 ,+)上单调递增,在(
19、-, 2 上单调递减.因为y=2t在R上为增函数,所以若函数f(x)=2|2x-m|在2,+)上单调递增,则 2 2,即m4,所以m的取值范围是(-,4.,C方法帮素养大提升,易错 忽略对底数a的分类讨论而出错,理科数学 第二章：函数概念与基本初等函数,示例5 已知函数y=a2x+2ax-1(a0,且a1),当x 0时,则函数的值域为 . 错因分析 忽略对底数a的分类讨论而出错.(1)当a1时,如果x0,那么ax 1; (2)当0a1时,如果x 0,那么0ax1.,易错 忽略对底数a的分类讨论而出错,解析 y=a2x+2ax-1,令t=ax,则y=g(t)=t2+2t-1=(t+1)2-2. 当a1时,x 0,t 1,当a1时,y 2. 当01时,函数的值域是2,+);当0a1时,函数的值域是(-1,2.,易错警示 注意指数函数y=ax(a0,且a1)的函数值的变化情况.当00,则01时,若x 0,则00,则y1.在综合应用时,如求复合函数y=af(x)的值域,一定要先确定f(x)的值域,再由a的取值范围确定y的取值范围.,数学 第二章：函数概念与基本初等函数,
