1、第三讲 三角恒等变换,第四章：三角函数、解三角形,考情精解读,A考点帮知识全通关,目录 CONTENTS,命题规律,聚焦核心素养,考点 三角恒等变换,考法1 三角函数式的化简,考法2 三角函数的求值,B考法帮题型全突破,C方法帮素养大提升,专题2 三角恒等变换的综合应用,理科数学 第四章：三角函数、解三角形,专题1 求三角函数的最值(值域),考情精解读,命题规律 聚焦核心素养,理科数学 第四章：三角函数、解三角形,命题规律,1.命题分析预测 本讲在近五年均有考查,重点考查两角和与差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角公式的综合应用,主要体现在:(1)三角函数的化简;(2)三角函数的求值;(3)通过
2、恒等变换研究函数的性质等,既有选择题又有填空题,分值5分,难度中等.掌握三角函数的和差公式,二倍角公式的正用、逆用是解决问题的关键. 2.学科核心素养 本讲通过三角恒等变换考查考生的数学运算素养.,聚焦核心素养,A考点帮知识全通关,考点 三角恒等变换,理科数学 第四章：三角函数、解三角形,1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式 S():sin()=sincoscossin. C():cos()=coscossinsin. T():tan()= tantan 1tantan (, 2 +k,kZ). 注意 在公式T()中,都不等于k+ 2 (kZ),即保证tan,tan,tan()都有意义.,考点
3、 三角恒等变换（重点）,2.二倍角公式 S2:sin2=2sincos. C2:cos2=cos2sin2=2cos21=12sin2. T2:tan2= 2tan 1ta n 2 (k+ 2 且 2 + 4 ,kZ). 说明 对于两角和的正弦、余弦、正切公式,分别令=,可得二倍角的正弦、余弦、正切公式.,理科数学 第四章：三角函数、解三角形,3.辅助角公式 asin+bcos= 2 + 2 sin(+)(其中sin= 2 + 2 ,cos= 2 + 2 ).说明 常见形式有sinx+cosx= 2 sin(x+ 4 ),sinx+ 3 cosx=2sin(x+ 3 ),3 sinx+cosx
4、=2sin(x+ 6 ).,理科数学 第四章：三角函数、解三角形,规律总结 1.公式的常用变式:tantan=tan()(1tantan); tantan=1 tan+tan tan(+) = tantan tan() 1;sin2= 2sincos si n 2 +co s 2 = 2tan 1+ta n 2 ; cos2= co s 2 si n 2 co s 2 +si n 2 = 1ta n 2 1+ta n 2 . 2.降幂公式:sin2= 1cos2 2 ;cos2= 1+cos2 2 ;sincos= 1 2 sin2. 3.升幂公式:1+cos=2cos2 2 ;1cos=2s
5、in2 2 ;1+sin=(sin 2 +cos 2 )2; 1sin=(sin 2 cos 2 )2. 4.常用拆角、拼角技巧:例如,2=(+)+();=(+)=()+; = + 2 2 =(+2)(+);=()+();15=4530; 4 += 2 ( 4 )等.,理科数学 第四章：三角函数、解三角形,4.半角公式 sin 2 = 1cos 2 ;cos 2 = 1+cos 2 ;tan 2 = 1cos 1+cos = sin 1+cos = 1cos sin .以上称之为半角公式,符号由 2 所在象限决定. 注意 若给出角的范围(即某一区间)时,可先求出 2 的范围,然后根据 2 的范
6、围来确定符号;如果没有给出决定符号的条件,则在根号前保留正负两个符号.,理科数学 第四章：三角函数、解三角形,5.和差化积、积化和差公式 (1)和差化积公式 sin+sin=2sin + 2 cos 2 ;sinsin=2cos + 2 sin 2 ; cos+cos=2cos + 2 cos 2 ;coscos=2sin + 2 sin 2 . (2)积化和差公式 sincos= 1 2 sin(+)+sin();cossin= 1 2 sin(+)sin(); coscos= 1 2 cos(+)+cos();sinsin= 1 2 cos(+)cos().,理科数学 第四章：三角函数、解
7、三角形,B考法帮题型全突破,考法1 三角函数式的化简 考法2 三角函数的求值,理科数学 第四章：三角函数、解三角形,考法1 三角函数式的化简,示例1 化简: 2co s 2 1 2tan( 4 )si n 2 ( 4 +) .,解析解法一原式= co s 2 si n 2 2 1tan 1+tan (sin 4 cos+cos 4 sin ) 2 = (co s 2 si n 2 )(1+tan) (1tan)(cos+sin ) 2 = (co s 2 si n 2 )(1+tan) (1tan)(cos+sin ) 2 =1. 解法二原式= cos2 2tan( 4 )co s 2 ( 4
8、 ) = cos2 2sin( 4 )cos( 4 ) = cos2 sin( 2 2) = cos2 cos2 =1.,理科数学 第四章：三角函数、解三角形,理科数学 第四章：三角函数、解三角形,感悟升华 1.化简原则 (1)看“角”,这是最重要的一环,通过看角之间的差别与联系,把角进行合理的转化,再使用公式; (2)看“函数名”,看函数名之间的差异,从而确定使用的公式,常见的有“切化弦”; (3)看式子“结构特征”,分析结构特征可以帮助我们找到变形的方向,常见的有“遇到分式要通分”“遇到根式一般要升幂”等.,2.化简要求 (1)使三角函数式的项数最少、次数最低、角与函数名称的种类最少; (
9、2)式子中的分母尽量不含三角函数; (3)尽量使被开方数不含三角函数等. 3.化简方法 (1)异名化同名、异次化同次、异角化同角、弦切互化; (2)“1”的代换,三角公式的正用、逆用.,理科数学 第四章：三角函数、解三角形,拓展变式1 已知(0,),化简: (1+sin+cos)(cos 2 sin 2 ) 2+2cos = .,理科数学 第四章：三角函数、解三角形,1.cos原式= (2co s 2 2 +2sin 2 cos 2 )(cos 2 sin 2 ) 4co s 2 2 . 因为(0,),所以cos 2 0, 所以原式= (2co s 2 2 +2sin 2 cos 2 )(co
10、s 2 sin 2 ) 2cos 2 =(cos 2 +sin 2 )(cos 2 sin 2 )= cos2 2 sin2 2 =cos.,考法2 三角函数的求值,1.给角求值与给值求值 示例2 (1)2019湖南四校联考计算sin133cos197+cos47cos73的 结果为 A. 1 2 B.- 1 2 C. 2 2 D. 3 2 (2)2018湖北冲刺已知为锐角,为第二象限角,且cos(-)= 1 2 ,sin(+)= 1 2 , 则sin(3-)= A.- 1 2 B. 1 2 C.- 3 2 D. 3 2 (3)2018福建省百校临考冲刺若(0,),且 3 sin+2cos=2
11、,则tan 2 = A. 3 2 B. 3 4 C. 2 3 3 D. 4 3 3,思维导引(1)利用诱导公式、两角和的余弦公式求解. (2)根据已知角与所求角之间的关系,可以从两个角度求解:一是3-=2+(-),需先利用2=(+)+(-)及为锐角求出2的值,进而求得结果;二是3-=2(-)+(+),需先利用倍角公式求出cos 2(-)和sin 2(-)的值,进而求得结果.(3)可以结合同角三角函数关系式分别求出sin ,cos的值,然后利用半角公式求得tan 2 ;也可以直接将已知化为sin 2 和cos 2 之间的关系,然后化简求值. 解析(1)sin133cos197+cos47cos7
12、3=-sin47cos17+cos47cos73= -sin47sin73+cos47cos 73=cos(47+73)=cos120=- 1 2 .故选B.,理科数学 第四章：三角函数、解三角形,(2)解法一 因为为锐角,为第二象限角,cos(-)0,sin(+)0, 所以-为第四象限角,+为第二象限角,(符号定象限) 因此sin(-)=- 3 2 ,cos(+)=- 3 2 , 所以sin 2=sin(-+)=- 3 2 (- 3 2 )+ 1 2 1 2 =1. 因为为锐角,所以2= 2 , 所以sin(3-)=sin(2+-)=cos(-)= 1 2 ,选B.(变换角求值),理科数学
13、第四章：三角函数、解三角形,解法二 同解法一可得,sin(-)=- 3 2 ,cos(+)=- 3 2 . 所以cos2(-)=2cos2(-)-1=2( 1 2 )2-1=- 1 2 , sin2(-)=2sin(-)cos(-)=2(- 3 2 ) 1 2 =- 3 2 . 所以sin(3-)=sin2(-)+(+)=sin2(-)cos(+)+cos2(-)sin(+)= (- 3 2 )(- 3 2 )+(- 1 2 ) 1 2 = 1 2 .故选B.(变换角求值),理科数学 第四章：三角函数、解三角形,(3)解法一 由已知得cos=1- 3 2 sin. 代入sin2+cos2=1,
14、得sin2+(1- 3 2 sin )2=1,(利用同角三角函数关系建方程) 整理得 7 4 sin2- 3 sin=0,解得sin=0或sin= 4 3 7 .(求值) 因为(0,),所以sin= 4 3 7 ,故cos=1- 3 2 4 3 7 = 1 7 . 所以tan 2 = sin 1+cos = 4 3 7 1+ 1 7 = 3 2 .故选A.(半角公式),理科数学 第四章：三角函数、解三角形,解法二 因为sin=2sin 2 cos 2 ,cos=1-2sin2 2 , 所以 3 sin+2cos=2可以化为2 3 sin 2 cos 2 +2(1-2sin2 2 )=2 ,(化
15、为半角关系) 化简可得2 3 sin 2 cos 2 =4sin2 2 . 因为(0,),所以 2 (0, 2 ),所以sin 2 0. 所以式可化为2 3 cos 2 =4sin 2 ,即tan 2 = 3 2 .(弦化切) 答案 (1)B (2)B (3)A,理科数学 第四章：三角函数、解三角形,方法总结 给角求值与给值求值问题的解题策略,理科数学 第四章：三角函数、解三角形,2.给值求角 示例3 2018南京三模改编在平面直角坐标系xOy中,锐角,的顶点为坐标原点O,始边为x轴的非负半轴,终边与单位圆O的交点分别为P,Q.已知点P的横坐标为 2 7 7 ,点Q的纵坐标为 3 3 14 .
16、则2-的值为 .,理科数学 第四章：三角函数、解三角形,思维导引 先根据三角函数的定义和已知求出cos,sin,然后利用同角三角函数的基本关系求出sin,cos,再确定2-的取值范围,求出2-的三角函数值,从而确定2-的值.,解析 解法一 由已知可知cos= 2 7 7 ,sin= 3 3 14 .(利用三角函数的定义求值) 又,为锐角,所以sin= 21 7 ,cos= 13 14 .(利用同角三角函数的基本关系求值,注意判断符号) 因此cos2=2cos2-1= 1 7 ,sin2=2sincos= 4 3 7 ,(利用倍角公式求值) 所以sin(2-)= 4 3 7 13 14 - 1
17、7 3 3 14 = 3 2 . 因为为锐角,所以00,所以02 2 , 又为锐角,所以- 2 2- 2 ,(判断角的取值范围) 又sin(2-)= 3 2 ,所以2-= 3 .,理科数学 第四章：三角函数、解三角形,解法二 同解法一得,cos= 13 14 ,sin= 21 7 . 因为,为锐角,所以-(- 2 , 2 ). 所以sin(-)=sincos-cossin= 21 7 13 14 - 2 7 7 3 3 14 = 21 14 .(求两角差的正弦值) 所以sin(-)0,故-(0, 2 ),(判断两角差的取值范围) 故cos(-)= 1 sin 2 () = 1( 21 14 )
18、 2 = 5 7 14 .(利用同角三角函数的基本关系,注意判断符号) 又(0, 2 ),所以2-=+(-)(0,). 所以cos(2-)=cos+(-)=coscos(-)-sinsin(-)= 2 7 7 5 7 14 - 21 7 21 14 = 1 2 . 所以2-= 3 .,理科数学 第四章：三角函数、解三角形,解后反思 利用三角函数值求角时,要尽量把角的取值范围转化到某个函数的单调区间内,这样就不会产生多解.如解法一中,因为2-(- 2 , 2 ),显然正弦函数在该区间内单调递增,所以一个正弦值只对应一个角;若求该角的余弦值,则一个余弦值对应两个角,容易产生多解;解法二中,2-(0
19、,),余弦函数在该区间内单调递减,所以一个余弦值只对应一个角.此外,在求解过程中还需要利用三角函数的符号不断缩小角的范围,如解法一利用cos2的符号,得2(0, 2 );解法二中利用sin(-)的符号,得-(0, 2 ).,理科数学 第四章：三角函数、解三角形,方法总结 给值求角问题的解题策略 给值求角问题可转化为给值求值问题求解,解题步骤如下. (1)求所求角的某一三角函数值,原则:已知正切函数值,选正切函数;已知正、余弦函数值,选正弦或余弦函数.若角的范围是(0, 2 ),选正、余弦函数皆可;若角的范围是(0,),选余弦函数较好;若角的范围为(- 2 , 2 ),选正弦函数较好. (2)利
20、用该三角函数值并结合所求角的范围及三角函数的单调性求得角.确定角的范围的技巧:根据题目给定的角的范围确定;根据已知三角函数值的正负等确定.应尽量使角的范围精准,避免增根.,理科数学 第四章：三角函数、解三角形,拓展变式2 (1)已知锐角,满足sin= 5 5 ,cos= 3 10 10 ,则+等于( )A. 3 4 B. 4 或 3 4 C. 4 D.2k+ 4 (kZ) (2) sin110sin20 co s 2 155si n 2 155 = . (3)已知cos( 4 +x)= 3 5 ,若 17 12 x 7 4 ,则 sin2+2si n 2 1tan 的值为 .,理科数学 第四章
21、：三角函数、解三角形,2.(1)C 由sin= 5 5 ,cos= 3 10 10 ,且,为锐角,可知cos= 2 5 5 ,sin= 10 10 , 故cos(+)=coscos-sinsin= 2 5 5 3 10 10 - 5 5 10 10 = 2 2 ,又0+,故+= 4 . (2) 1 2 原式= sin70sin20 cos310 = cos20sin20 cos50 = 1 2 sin40 sin40 = 1 2 . (3)- 28 75 解法一 由 17 12 x 7 4 ,得 5 3 x+ 4 2. 又cos( 4 +x)= 3 5 ,所以sin( 4 +x)=- 4 5
22、,所以cosx=cos( 4 +x)- 4 = cos( 4 +x)cos 4 +sin( 4 +x)sin 4 = 3 5 2 2 - 4 5 2 2 =- 2 10 ,从而sinx=- 7 2 10 ,tanx=7.,理科数学 第四章：三角函数、解三角形,则 sin2+2si n 2 1tan = 2sincos+2si n 2 1tan = 2( 7 2 10 )( 2 10 )+2( 7 2 10 ) 2 17 =- 28 75 . 解法二 由解法一,得tan( 4 +x)=- 4 3 .又sin 2x=-cos( 2 +2x)=-cos2( 4 +x)= -2cos2( 4 +x)+
23、1=- 18 25 +1= 7 25 , 则 sin2+2si n 2 1tan = sin2+2si n 2 1 sin cos = sin2cos+2si n 2 cos cossin = sin2(sin+cos) cossin =sin2x 1+tan 1tan = sin2xtan(x+ 4 )= 7 25 (- 4 3 )=- 28 75 .,理科数学 第四章：三角函数、解三角形,C方法帮素养大提升,专题1 求三角函数的最值(值域) 专题2 三角恒等变换的综合应用,理科数学 第四章：三角函数、解三角形,1.利用三角函数的性质求最值(值域) 示例4 2018天津市河北区二模已知函数f
24、(x)=sin(2x+ 3 )+cos(2x+ 6 ) +2sinxcosx,xR. (1)求函数f(x)的最小正周期; (2)当x0, 2 时,求函数f (x)的最大值和最小值.,专题1 求三角函数的最值(值域),思维导引 (1)利用三角恒等变换将函数f(x)化为一角一函数的形式,即可求得函数f(x)的最小正周期;(2)求出函数f(x)的单调区间,由x的取值范围并结合函数的单调性,求得函数f(x)的最大值和最小值. 解析 (1)因为f(x)=sin(2x+ 3 )+cos(2x+ 6 )+2sinxcos x= 1 2 sin2x+ 3 2 cos2x+3 2 cos2x 1 2 sin2x
25、+sin2x= 3 cos2x+sin2x=2sin(2x+ 3 ),(一角一函数) 所以函数f(x)的最小正周期T= .(公式法求周期) (2)解法一 因为0x 2 ,所以 3 2x+ 3 4 3 , 所以 3 2 sin(2x+ 3 )1,所以 3 2sin(2x+ 3 )2, 所以f(x)min= 3 ,f(x)max=2.,理科数学 第四章：三角函数、解三角形,理科数学 第四章：三角函数、解三角形,解法二 记t=2x+ 3 ,则函数f(x)可转化为y=2sint.(换元转化) 因为0x 2 ,所以t=2x+ 3 3 , 4 3 .(定元的范围) 显然,当t 3 , 2 时,y=2sin
26、t单调递增; 当t 2 , 4 3 时,y=2sin t单调递减.(判断单调性) 故当t= 2 ,即x= 12 时,y取得最大值,最大值为2. 又t= 3 时,y=2sin 3 = 3 ;t= 4 3 时,y=2sin 4 3 = 3 , 显然,当t= 4 3 ,即x= 2 时,y取得最小值,最小值为 3 .(定最值) 综上,函数f(x)的最大值为f( 12 )=2,最小值为f( 2 )= 3 .,注意 化为y=Asin(x+)+B的形式求最值时,要特别注意自变量的取值范围对最值的影响. 技巧点拨 用三角函数的性质求最值(值域)常见的函数形式及技巧 (1)y=asinx+bcosx= 2 +
27、2 sin(x+),其中cos= 2 + 2 ,sin= 2 + 2 ,利用有界性处理. (2)y=asin2x+bsinxcosx+cos2x+cy=Asin2x+Bcos2x+C= 2 + 2 sin(2x+)+C,其中tan= ,利用有界性处理. (3)y= sin+ sin+ 或 cos+ cos+ 可转化为只有分母含有sinx或cosx的函数式,还可转化为sinx=f(y)或cosx=f(y)的形式,由正、余弦函数的有界性求解.,理科数学 第四章：三角函数、解三角形,2.利用代数方法求三角函数的最值(值域)示例5 函数y=cos2x+2sinx的最大值为 .,理科数学 第四章：三角函
28、数、解三角形,解析 y=cos2x+2sinx=2sin2x+2sinx+1.设t=sinx,则1t1,所以原函数可以化为y=2t2+2t+1=2(t 1 2 )2+ 3 2 ,所以当t= 1 2 时,函数y取得最大值为 3 2 .,理科数学 第四章：三角函数、解三角形,技巧点拨 用代数方法求三角函数最值(值域)常见的函数形式及技巧 (1)y=asin2x+bsinx+c或y=acos2x+bcosx+c(a0),可通过令t=sinx或t=cosx转化为求关于t的二次函数在区间1,1上的最值问题. (2)y=asinx+ sin (其中a,b,c为常数,且abc0),令t=sinx,则转化为求
29、y=at+ (t1,0)(0,1)的最值问题,一般利用函数的单调性或图象求解. (3)y=a(sinxcosx)+bsinxcosx,可令t=sinxcosx,则sinxcosx= 2 1 2 ,把三角函数问题转化为函数问题解决. (4)其他可化为y=f(sinx)或y=f(cosx)型三角函数的最值或值域可通过换元法转为其他函数的最值或值域. 注意利用换元法时应注意新元的取值范围.,理科数学 第四章：三角函数、解三角形,3.用数形结合法求三角函数的最值(值域) 示例6 函数f(x)= 2sin 2+cos 的值域为 .,理科数学 第四章：三角函数、解三角形,解析 解法一 函数f(x)= 2s
30、in 2+cos , 可看作点(2,2),(cosx,sinx)两点连线的斜率. 点(cosx,sinx)的轨迹方程为x2+y2=1. 函数值域即为点(2,2)与单位圆x2+y2=1上点连线 斜率的范围,由图可知,过点(2,2)且与单位圆 相切的切线斜率存在,不妨设为k. 切线方程为y2=k(x2),即kxy2k+2=0. 则 |22| 1+ 2 =1,解得k= 4 7 3 . 函数f(x)的值域为 4 7 3 , 4+ 7 3 .,解法二 由原函数得sinx+ycosx=22y, 1+ 2 sin(x+)=22y(其中cos= 1 1+ 2 ,sin = 1+ 2 ),(辅助角公式的应用)
31、sin(x+)= 22 1+ 2 ,由三角函数的有界性可知sin(x+)1,1, |22y| 1+ 2 , 3y28y+30, 4 7 3 y 4+ 7 3 , 原函数的值域为 4 7 3 , 4+ 7 3 .,理科数学 第四章：三角函数、解三角形,技巧点拨 用数形结合法求三角函数最值(值域)常见的函数形式及技巧 y= sin+ cos+ (或y= cos+ sin+ ),其中ab0,先化为y= sin+ cos+ (y= cos+ sin+ ),然后转化为求圆上的动点与定点连线斜率的最值问题.,理科数学 第四章：三角函数、解三角形,理科数学 第四章：三角函数、解三角形,归纳总结 1.求三角函
32、数的最值(值域),一般要进行一些代数变换和三角变换,变换目标为y=Asin(x+)+B型;y=f(sinx)型. 2.求三角函数的最值时,代数中求最值的方法均适用,如配方法(注意三角函数的取值范围)、换元法(注意换元后的范围变化)、判别式法(注意有时仅有0是不行的)、基本不等式法(注意取等号的条件).,1.三角恒等变换与三角函数性质的综合 示例7 2016天津，15，13分理已知函数f(x)=4tan xsin( 2 x)cos(x 3 ) 3 . ()求f(x)的定义域与最小正周期; ()讨论f(x)在区间 4 , 4 上的单调性.,专题2 三角恒等变换的综合应用,解析 ()f(x)的定义域
33、为x|x 2 +k,kZ.(由正切函数定义域得) f(x)=4tanxcosxcos(x 3 ) 3 =4sinxcos(x 3 ) 3 =4sinx( 1 2 cosx+ 3 2 sinx) 3 = 2sinxcosx+2 3 sin2x 3 =sin2x+ 3 (1cos2x) 3 =sin2x 3 cos2x= 2sin(2x 3 ). (化为一角一函数) 所以f(x)的最小正周期T= 2 2 =. (公式法求周期),理科数学 第四章：三角函数、解三角形,()令z=2x 3 ,函数y=2sinz的单调递增区间是 2 +2k, 2 +2k,kZ. 由 2 +2k2x 3 2 +2k, (整
34、体代换求解f(x)的单调增区间) 得 12 +kx 5 12 +k,kZ. 设A= 4 , 4 ,B=x| 12 +kx 5 12 +k,kZ,易知AB= 12 , 4 . 所以,当x 4 , 4 时, f(x)在区间 12 , 4 上单调递增,在区间 4 , 12 上单调递减.,理科数学 第四章：三角函数、解三角形,理科数学 第四章：三角函数、解三角形,解后反思若本题中的函数变为f(x)=2sin( 3 2x)1,则不宜直接利用换元法求解,而是要先利用诱导公式将自变量x的系数由“负”变“正”,即f(x)=2sin(2x 3 )1,然后通过t=2x 3 换元,得y=2sint1.由复合函数单调
35、性的判断法则可得,函数f(x)的单调递减区间就是函数y=sint的单调递增区间,即需解不等式2k 2 t2k+ 2 ,kZ,即2k 2 2x 3 2k+ 2 ,kZ,解得k 12 xk+ 5 12 ,kZ,所以函数f(x)的单调递减区间为k 12 ,k+ 5 12 ,kZ.技巧点拨 求解三角恒等变换与三角函数性质综合问题的思路:先将三角函数式转化为y=Asin(x+)的形式,再求其周期、单调区间、最值等.,理科数学 第四章：三角函数、解三角形,理科数学 第四章：三角函数、解三角形,2.三角恒等变换与三角形的综合 示例8 2018山东潍坊三模已知函数f(x)=sin2xcos2x+2 3 sin
36、xcosx(xR). (1)求f(x)的最小正周期; (2)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若f(A)=2,c=5,cosB= 1 7 ,求中线AD的长.,理科数学 第四章：三角函数、解三角形,解析(1)f(x)=cos2x+ 3 sin2x=2sin(2x 6 ), 所以最小正周期T= 2 2 =,所以函数f(x)的最小正周期为.(利用公式求周期),(2)由(1)知f(x)=2sin(2x 6 ). 因为f(A)=2,所以sin(2A 6 )=1, 所以2A 6 = 2 ,所以A= 3 ,(利用函数值求角) 又cosB= 1 7 ,所以sinB= 4 3 7 , 所以sinC
37、=sin(A+B)= 3 2 1 7 + 1 2 4 3 7 = 5 3 14 .(利用三角恒等变换求角) 在ABC中,由正弦定理 sin = sin ,得 5 5 3 14 = 3 2 ,(已知两角一边用正弦定理) 所以a=7,所以BD= 7 2 .,理科数学 第四章：三角函数、解三角形,在ABD中,由余弦定理得AD2=AB2+BD22ABBDcosB= 52+( 7 2 )225 7 2 1 7 = 129 4 .(已知两边及其夹角用余弦定理) 所以AD= 129 2 .解后反思 (1)该题是解三角形与三角函数的综合型问题,三角函数在该题中的作用就是利用函数值求出三角形的内角A,此时的条件
38、类型就是两角一边,利用正、余弦定理求解即可.(2)中线的求解,也可以利用向量法,显然 = 1 2 ( + ),然后利用向量数量积运算即可求得结果.,理科数学 第四章：三角函数、解三角形,素养提升 标注条件 合理建模求解三角恒等变换与解三角形的综合问题,关键是准确找出题中的条件,并在三角形中准确标出数据,如本题,根据已知将问题转化为三角形中相关数据的求解,然后根据条件的类型和所求建立相应的数学模型,最后利用正弦定理或余弦定理解决相应的问题即可.考查数学建模及数学运算等核心素养.,理科数学 第四章：三角函数、解三角形,3.三角恒等变换与向量的综合 示例9 已知ABC为锐角三角形,若向量p=(22s
39、inA,cosA+sinA)与向量q=(sinAcosA,1+sinA)是共线向量. (1)求角A; (2)求函数y=2sin2B+cos 3 2 的最大值.,理科数学 第四章：三角函数、解三角形,解析(1)因为p,q共线,所以(22sinA)(1+sinA)=(cosA+sinA)(sinAcosA), (向量共线的坐标运算) 则sin2A= 3 4 .又A为锐角,所以sinA= 3 2 ,则A= 3 . (2)y=2sin2B+cos 3 2 =2sin2B+cos ( 3 )3 2 =2sin2B+cos( 3 2B)= 1cos 2B+ 1 2 cos 2B+ 3 2 sin 2B=
40、3 2 sin 2B 1 2 cos 2B+1=sin(2B 6 )+1. 因为B(0, 2 ),所以2B 6 ( 6 , 5 6 ), 所以当2B 6 = 2 时,函数y取得最大值,解得B= 3 ,ymax=2.,理科数学 第四章：三角函数、解三角形,示例10 已知向量a=(sin,cos),b=(1, 3 ),( 2 ,),且ab. (1)求的值; (2)若sin()= 3 5 ,( 6 , 2 ),求sin的值.,理科数学 第四章：三角函数、解三角形,解析(1)因为ab,所以ab=sin+ 3 cos=0. 因为( 2 ,),所以tan= sin cos = 3 ,所以= 2 3 . (
41、2)因为 6 2 且= 2 3 ,所以 6 2 . 又sin()= 3 5 ,所以cos()= 1 sin 2 () = 1( 3 5 ) 2 = 4 5 , 所以sin=sin()=sincos()cossin()= 3 2 4 5 ( 1 2 ) 3 5 = 4 3 +3 10 .,技巧点拨 三角恒等变换与向量的综合问题,一般是以向量的坐标形式给出与三角有关的条件,通过向量运算,转化为三角问题求解.注意掌握两向量数量积、平行、垂直的坐标计算,即令a=(x1,y1),b=(x2,y2),则ab=x1x2+y1y2, abx1y2=x2y1, abx1x2+y1y2=0.,理科数学 第四章：三角函数、解三角形,
