1、第四讲 正、余弦定理及解三角形,考情精解读,A考点帮知识全通关,目录 CONTENTS,命题规律,聚焦核心素养,考点1 正、余弦定理,考点2 解三角形的实际应用,考法1 利用正、余弦定理解三角形,考法2 判断三角形的形状,考法3 与面积有关的问题,考法4 解三角形的实际应用,B考法帮题型全突破,C方法帮素养大提升,易错 代数式化简或三角运算不当致误误,文科数学 第四章：三角函数、解三角形,考情精解读,命题规律 聚焦核心素养,文科数学 第四章：三角函数、解三角形,命题规律,1.命题分析预测 从近五年的考查情况来看,该讲是高考的重点和热点,主要考查正弦定理、余弦定理和三角形面积公式的应用,有时也与
2、三角恒等变换等进行综合命题,既有选择题、填空题,也有解答题,分值412分. 2.学科核心素养 本讲通过正、余弦定理及其应用考查考生的数学运算、数学建模素养.,聚焦核心素养,A考点帮知识全通关,考点1 正、余弦定理 考点2 解三角形的实际应用,文科数学 第四章：三角函数、解三角形,1.正、余弦定理 在ABC中,若角A,B,C所对的边分别是a,b,c,R为ABC的外接圆半径,则,考点1 正、余弦定理及其应用（重点）,注意 在ABC中,已知a,b和A,解的情况如下:,文科数学 第四章：三角函数、解三角形,规律总结 三角形中的常见结论 (1)A+B+C=. (2)大边对大角,大角对大边,如abABsi
3、nAsin B. (3)任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边. (4)有关三角形内角的三角函数关系式:sin(A+B)=sin C;cos(A+B)= -cosC;tan(A+B)=-tan C;sin + 2 =cos 2 ;cos + 2 =sin 2 . (5)在ABC中,内角A,B,C成等差数列B= 3 ,A+C= 2 3 . (6)在斜ABC中,tan A+tanB+tanC=tan AtanBtanC. (7)在ABC中,a=bcosC+ccosB;b=acosC+ccosA;c=bcosA+acosB.,文科数学 第四章：三角函数、解三角形,2.三角形的面积公式 ABC
4、中,角A,B,C对应的边为a,b,c.则: (1)S= 1 2 ah(h表示边a上的高); (2)S= 1 2 absinC= 1 2 acsinB= 1 2 bcsinA; (3)S= ()()() (p= 1 2 (a+b+c); (4)S= 1 2 r(a+b+c)(r表示三角形内切圆半径).,文科数学 第四章：三角函数、解三角形,实际测量中的常见问题有:测量距离问题、测量高度问题、测量角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等. 说明 有关测量中的常用术语如下：,考点2 解三角形的实际应用,文科数学 第四章：三角函数、解三角形,B考法帮题型全突破,考法1 利用正、余弦定理解三角形 考
5、法2 判断三角形的形状 考法3 与面积有关的问题问题 考法4 解三角形的实际应用,文科数学 第四章：三角函数、解三角形,考法1 利用正、余弦定理解三角形,示例1 2018广西钦州三检在ABC中,C= 4 ,AB=2,AC= 6 ,则cosB的值为 A. 1 2 B.- 3 2 C. 1 2 或- 3 2 D. 1 2 或- 1 2,解析 由题意知C= 4 ,c=AB=2,b=AC= 6 ,(条件类型:两边和其中一边对角) 由正弦定理 sin = sin ,得sin B= 6 sin 4 2 = 3 2 ,(利用正弦定理求sin B) 因为bc,所以BC= 4 ,(利用“大边对大角”确定角的范围
6、) 又0B,所以B= 3 或 2 3 . 当B= 3 时,cosB= 1 2 ; 当B= 2 3 时,cosB=- 1 2 .故选D. 答案 D,文科数学 第四章：三角函数、解三角形,解后反思 (1)该题中,由sin B= 3 2 可得角B的两个值 3 与 2 3 .由已知边之间的大小关系可得BC= 4 ,显然 3 与 2 3 都满足题意.解该题的过程中易出现的问题是漏解. (2)若该题是已知B= 3 ,AB= 2 ,AC= 6 ,求C,则由正弦定理可得 sin C= sin = 2 sin 3 6 = 1 2 .又ABAC,所以CB= 3 ,所以C= 6 .,文科数学 第四章：三角函数、解三
7、角形,示例2 已知ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且asinA+bsinB+2 bsinA=csin C. (1)求C; (2)若a=2,b=2 2 ,线段BC的垂直平分线交AB于点D,求CD的长.,解析 (1) 因为asinA+bsinB+ 2 bsinA=csinC, 所以由正弦定理可得a2+b2+ 2 ab=c2.(角化边) 由余弦定理得cosC= 2 + 2 2 2 =- 2 2 , (边化角) 又0C,所以C= 3 4 .,文科数学 第四章：三角函数、解三角形,(2)由题意知a=2,b=2 2 ,由(1)知C= 3 4 ,(条件类型:两边和它们的夹角) 根据余弦定理可得
8、c2=a2+b2-2abcos C=22+ (2 2 ) 2 -222 2 (- 2 2 )=20, 所以c=2 5 .(利用余弦定理求边) 由正弦定理 sin = sin ,得 2 5 2 2 = 2 2 sin ,(已知两边及其中一边的对角,利用正弦定理求角) 解得sin B= 5 5 ,从而cosB= 2 5 5 . 设BC的中垂线交BC于点E, 因为在RtBDE中,cosB= ,所以BD= cos = 1 2 5 5 = 5 2 ,(解直角三角形) 因为点D在线段BC的中垂线上,所以CD=BD= 5 2 .(利用中垂线的性质求CD),文科数学 第四章：三角函数、解三角形,点评 该题中的
9、第(1)问如果利用正弦定理把边化为角,就会得到sin2A+ sin2B+ 2 sinBsinA=sin2C,化简这个式子就比较麻烦,显然不如把角化为边简单;第(2)问中利用中垂线的性质转化所求,将问题化归到直角三角形中求解,体现数学思维的灵活性.,文科数学 第四章：三角函数、解三角形,方法总结 解三角形的基本类型及解法,文科数学 第四章：三角函数、解三角形,续表,文科数学 第四章：三角函数、解三角形,技巧点拨 解三角形时,如果式子中含有角的余弦或边的二次式,要考虑用余弦定理;如果式子中含有角的正弦或边的一次式时,则考虑用正弦定理;以上特征都不明显时,则要考虑两个定理都有可能用到.,文科数学 第
10、四章：三角函数、解三角形,拓展变式1 (1)在ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且B=2C,2bcosC-2ccosB=a,则角A的大小为( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 (2)在ABC中,a,b,c分别是内角A,B,C的对边.若bsinA=3csinB,a=3,cosB= 2 3 ,则 b=( ) A.14 B.6 C. 14 D. 6,文科数学 第四章：三角函数、解三角形,1.(1)A 由正弦定理得2sinBcosC-2sinCcosB=sinA=sin(B+C)=sinBcosC+ cosBsinC,sinBcosC=3sinCcosB,又B=2C,sin2C
11、cosC=3sinCcos2C, 2cos2C=3(cos2C-sin2C),tan2C= 1 3 ,B=2C,C为锐角, tanC= 3 3 ,C= 6 ,B= 3 ,A= 2 ,故选A. (2)D bsinA=3csinBab=3bca=3cc=1,b2=a2+c2-2accosB=9+1-231 2 3 =6,b= 6 ,故选D.,文科数学 第四章：三角函数、解三角形,考法2 判断三角形的形状,示例3 2018山西一模在ABC中,设a,b,c分别是角A,B,C所对边的边长,且直线bx+ycos A+cos B=0与ax+ycos B+cos A=0平行,则ABC一定是 A.锐角三角形 B
12、.等腰三角形 C.直角三角形 D.等腰或直角三角形,思维导引 两直线平行可得到一个边角关系,即bcos B-acos A=0,然后可化边或化角判断三角形的形状.,解析 解法一 (边化角)由两直线平行可知bcosB-acosA=0,由正弦定理可知sin BcosB-sin AcosA=0,即 1 2 sin 2B- 1 2 sin 2A=0,故2A=2B或2A+2B=,即A=B或A+B= 2 . 若A=B,则a=b,cosA=cosB,两直线重合,不符合题意,故A+B= 2 ,即ABC是直角三角形. 解法二 (角化边)由两直线平行可知bcosB-acosA=0, 由余弦定理,得a 2 + 2 2
13、 2 =b 2 + 2 2 2 , 所以a2(b2+c2-a2)=b2(a2+c2-b2), 所以c2(a2-b2)=(a2+b2)(a2-b2), 所以(a2-b2)(a2+b2-c2)=0,所以a=b或a2+b2=c2. 若a=b,则两直线重合,不符合题意,故a2+b2=c2,即ABC是直角三角形. 答案 C,文科数学 第四章：三角函数、解三角形,方法总结 判断三角形形状的方法注意 注意“等腰直角三角形”与“等腰三角形或直角三角形”的区别.,文科数学 第四章：三角函数、解三角形,拓展变式2 在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若 cosA,则ABC为( ) A.钝角三角形 B
14、.直角三角形 C.锐角三角形 D.等边三角形,2.A 已知 0,于是有cosB0,即B为钝角,所以ABC是钝角三角形.故选A.,文科数学 第四章：三角函数、解三角形,考法3 与面积有关的问题,示例4 2018广东佛山质检如图,在平面四边形ABCD中,ABC= 3 4 , ABAD,AB=1. (1)若AC= 5 ,求ABC的面积; (2)若ADC= 6 ,CD=4,求sinCAD.,思维导引(1) (2) ,已知“两边一对角”,根据两边及夹角 的面积公式求解,利用余弦定理 求出第三边,条件分散在两个三角形中,找出两个三角形 的公共边AC,设CAD=, 列方程组求解,解析 (1)在ABC中,由余
15、弦定理得,AC2=AB2+BC2-2ABBCcosABC,即5=1+BC2+ 2 BC,解得BC= 2 ,(两边一对角,余弦定理求边) 所以SABC= 1 2 ABBCsinABC= 1 2 1 2 2 2 = 1 2 .(已知两边及其夹角求面积),文科数学 第四章：三角函数、解三角形,(2)设CAD=,在ACD中,由正弦定理得, sin = sin ,即 sin 6 = 4 sin . (正弦定理建关系) 在ABC中,BAC= 2 -,BCA=- 3 4 -( 2 -)=- 4 , 由正弦定理得 sin = sin , 即 sin 3 4 = 1 sin( 4 ) . 两式相除,得 sin
16、3 4 sin 6 = 4 sin 1 sin( 4 ) ,(作商,消公共边长) 即4( 2 2 sin - 2 2 cos)= 2 sin ,整理得sin =2cos . 又sin2+cos2=1,故sin = 2 5 5 ,即sinCAD= 2 5 5 .(同角关系求值),文科数学 第四章：三角函数、解三角形,示例5 2017全国卷,17,12分ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sin(A+C)=8sin2 2 . (1)求cosB; (2)若a+c=6,ABC的面积为2,求b.,文科数学 第四章：三角函数、解三角形,解析 (1)由题设及A+B+C=得sin B=8sin2
17、 2 ,故sin B=4(1-cos B). 上式两边平方,整理得17cos2B-32cos B+15=0, 解得cosB=1(舍去),cosB= 15 17 . (2)由cosB= 15 17 ,得sin B= 8 17 ,故SABC= 1 2 acsinB= 4 17 ac.又SABC=2,则ac= 17 2 . 由余弦定理及a+c=6得 b2=a2+c2-2accos B=(a+c)2-2ac(1+cos B)=36-2 17 2 (1+ 15 17 )=4. 所以b=2.,文科数学 第四章：三角函数、解三角形,感悟升华 与面积有关的常见问题类型和解题技巧,文科数学 第四章：三角函数、解
18、三角形,注意 (1)涉及求范围的问题,一定要搞清已知变量的范围,利用已知的范围进行求解,已知边的范围求角的范围时可以利用余弦定理进行转化.(2)注意题目中的隐含条件,如A+B+C=,0A,b-cab+c,三角形中大边对大角等.,文科数学 第四章：三角函数、解三角形,拓展变式3 在锐角三角形ABC中,a,b,c分别为角A,B,C的对边,且4sinAcos2A- 3 cos(B+C)=sin3A+ 3 . (1)求A的大小; (2)若b=2,求ABC面积的取值范围.,3.(1)A+B+C=,cos(B+C)=-cosA . 3A=2A+A, sin3A=sin(2A+A)=sin 2AcosA+c
19、os2AsinA , 又sin2A=2sinAcosA ,cos2A=2cos2A-1 , 将代入已知,得2sin2AcosA+ 3 cosA=sin2AcosA+cos2AsinA+ 3 , 整理得sinA+ 3 cosA= 3 ,即sin(A+ 3 )= 3 2 . 又A(0, 2 ),A+ 3 = 2 3 ,即A= 3 .,文科数学 第四章：三角函数、解三角形,(2)由(1)得B+C= 2 3 ,C= 2 3 -B. ABC为锐角三角形, 2 3 -B(0, 2 )且B(0, 2 ), 解得B( 6 , 2 ). 在ABC中,由正弦定理得c= 2sin sin = 2sin( 2 3 )
20、 sin = 3 tan +1, 2 sin = sin , 又B( 6 , 2 ), 1 tan (0, 3 ),c(1,4). SABC= 1 2 bcsinA= 3 2 c,SABC( 3 2 ,2 3 ).,文科数学 第四章：三角函数、解三角形,考法4 解三角形的实际应用,示例6 某渔轮在航行中不幸遇险,发出呼救信号,我海军舰艇在A处获悉后,立即测出该渔轮在方位角为45,距离为10 n mile的C处,并测得渔轮正沿方位角为105的方向,以9 n mile/h的速度向某小岛靠拢,我海军舰艇立即以21 n mile/h的速度前去营救,求舰艇的航向和靠近渔轮所需的时间.,思维导引 本题中所
21、涉及的路程在不断变化,但舰艇和渔轮相遇时所用时间相等,先设出所用时间为th,找出等量关系,然后解三角形.,解析 如图所示,根据题意可知AC=10,ACB=120,设舰艇靠近渔轮所需的时间为t h,并在B处与渔轮相遇,则AB=21t,BC=9t,在ABC中,根据余弦定理得AB2=AC2+BC2-2ACBCcos 120,所以212t2=102+81t2+2109t 1 2 ,即360t2-90t-100=0, 解得t= 2 3 或t=- 5 12 (舍去). 所以舰艇靠近渔轮所需的时间为 2 3 h. 此时AB=14,BC=6. 在ABC中,根据正弦定理,得 sin = sin120 , 所以s
22、inCAB= 6 3 2 14 = 3 3 14 ,即CAB21.8或CAB158.2(舍去),即舰艇航行的方位角为45+21.8=66.8. 所以舰艇以66.8的方位角航行,需 2 3 h才能靠近渔轮.,文科数学 第四章：三角函数、解三角形,感悟升华 解三角形的实际应用问题的类型及解题策略,文科数学 第四章：三角函数、解三角形,答题模板 求解解三角形实际应用问题的步骤,文科数学 第四章：三角函数、解三角形,拓展变式4 如图,经过村庄A有两条夹角为60的公路AB,AC,根据规划要在两条公路之间的区域内建一工厂P,分别在两条公路边上建两个仓库M,N(异于村庄A),要求PM=PN=MN=2(单位:
23、千米).记AMN=. (1)将AN,AM用含的关系式表示出来; (2)如何设计(即AN,AM为多长时),使得工厂产生 的噪声对居民的影响最小(即工厂与村庄的距离 AP最大)?,文科数学 第四章：三角函数、解三角形,4. (1)AMN=,在AMN中,由正弦定理得 sin60 = sin = sin(120) , 所以AN= 4 3 3 sin ,AM= 4 3 3 sin(120-). (2)AP2=AM2+MP2-2AMMPcosAMP= 16 3 sin2(+60)+4- 16 3 3 sin(+60)cos(+60) = 8 3 1-cos(2+120)- 8 3 3 sin(2+120)
24、+4=- 8 3 3 sin(2+120)+cos(2+120)+ 20 3 = 20 3 - 16 3 sin(2+150),(0,120)(其中利用诱导公式可知sin(120-)=sin(+60), 当且仅当2+150=270,即=60时,工厂产生的噪声对居民的影响最小,此时AN=AM=2.,文科数学 第四章：三角函数、解三角形,C方法帮素养大提升,易错 代数式化简或三角运算不当致误,文科数学 第四章：三角函数、解三角形,示例7 在ABC中,若(a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)sin(A+B),试判断ABC的形状.,易错 代数式化简或三角运算不当致误,易错分析 (1)从两个角的
25、正弦值相等直接得到两角相等,忽略两角互补情形; (2)代数运算中两边同除以一个可能为0的式子,导致漏解; (3)结论表述不规范.,解析因为(a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)sin(A+B), 所以b2sin(A+B)+sin(A-B)=a2sin(A+B)-sin(A-B). 所以a2cos AsinB=b2sin AcosB. 解法一 由正弦定理知a=2Rsin A,b=2Rsin B, 所以sin2Acos AsinB=sin2Bsin AcosB. 又sin AsinB0,所以sin AcosA=sin BcosB, 所以sin 2A=sin 2B. 在ABC中,02A2,0
26、2B2, 所以2A=2B或2A=-2B,(注意有两种情况) 所以A=B或A+B= 2 .所以ABC为等腰或直角三角形.,文科数学 第四章：三角函数、解三角形,解法二 由正弦定理、余弦定理得: a2b 2 + 2 2 2 =b2a 2 + 2 2 2 , 所以a2(b2+c2-a2)=b2(a2+c2-b2), 所以(a2-b2)(a2+b2-c2)=0, 所以a2-b2=0或a2+b2-c2=0,(注意有两种情况) 即a=b或a2+b2=c2. 所以ABC为等腰或直角三角形.,文科数学 第四章：三角函数、解三角形,易错提示 1.判断三角形形状要对所给的边角关系式进行转化,使之变为只含边或只含角的式子然后判断.注意不要轻易两边同除以一个式子. 2.在判断三角形形状时一定要注意解是否唯一,并注重挖掘隐含条件.另外,在变形过程中要注意角A,B,C的范围对三角函数值的影响.,文科数学 第四章：三角函数、解三角形,
