1、考点一 三角函数的性质及其应用,考点清单,考向基础 1.三角函数的性质,2.求三角函数最值的常见函数形式 (1)y=asin x+bcos x= sin(x+) ,其中cos = ,sin . (2)y=asin2x+bsin xcos x+cos2x+c y=Asin 2x+Bcos 2x+C=sin(2x+) ,其中tan = ,再利用有界性处理. (3)y=asin2x+bcos x+c可转化为关于 cos x 的二次函数式. (4)y=asin x+ (a,b,c0),令sin x=t,则转化为求 y=at+ (-1t 1,且t0)的最值,一般可结合图象求解.,(5)y=a(sin x
2、+cos x)+bsin xcos x+c型常用换元法,令t= sin x+cos x ,| t| ,则sin xcos x= ,把三角问题转化为代数问题求解.,考向突破,考向 三角函数性质的应用,例 已知函数f(x)=sin (0)的最小正周期为4,则 ( ) A.函数f(x)的图象关于原点对称 B.函数f(x)的图象关于直线x= 对称 C.函数f(x)图象上的所有点向右平移 个单位长度后,所得的图象关于 原点对称 D.函数f(x)在区间(0,)上单调递增,解析 T= =4,= ,f(x)=sin . A选项,令 + =k,kZ,则x=- +2k,kZ, 故函数f(x)=sin 的对称中心为
3、 ,kZ,不包括原点,所 以A错.B选项,令 + = +k,kZ,则x= +2k,kZ, 故函数f(x)的对称轴为x= +2k,kZ,不包括直线x= ,所以B错. C选项,平移后所得函数g(x)=sin =sin 的图象关于原点对 称,所以C正确.,所以函数f(x)=sin 的单调递增区间为 (k Z),不包括(0,),所以D错误.,答案 C,D选项,令- +2k x+ +2k,kZ,则- +4kx +4k,kZ,考点二 三角函数的图象及其变换,考向基础 1.用五点法画y=Asin(x+)(A0,0)一个周期内的简图,上述两种变换的区别:先相位变换再周期变换(伸缩变换),平移的量是| 个单位;
4、而先周期变换(伸缩变换)再相位变换,平移的量是 (0)个单,2.由函数y=sin x的图象变换得到y=Asin(x+)(A0,0)的图象的步骤,位.原因在于相位变换和周期变换都是针对x而言的.,考向突破,考向一 根据图象求三角函数解析式,例1 函数f(x)=2sin(x+) 的图象如图所示,则= ,= .,解析 由题图可知T=3, T= ,|= . 又0,= . 又f(0)=1, 1=2sin , sin = , =2k+ 或=2k+ (kZ), | ,= .,答案 ;,例2 将函数f(x)=sin 的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍, 纵坐标不变,得到函数g(x)=sin(x+)的图象,则
5、= ,= .,解析 变换之后的函数为g(x)=sin , 所以= ,= .,答案 ;,考向二 三角函数图象的变换,方法1 根据函数图象确定函数解析式 求函数y=Asin(x+)+B解析式的方法与步骤: (1)求A、B,确定函数的最大值M和最小值m,则A= ,B= . (2)由周期得到,= ,确定周期时可利用以下结论: 函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为函数的半个周期; 函数图象的相邻两个对称中心间的距离也为函数的半个周期; 一条对称轴和与其相邻的一个对称中心间的距离为函数的 个周期,方法技巧,(借助图象很好理解、记忆). (3)利用峰点、谷点或零点列出关于的方程,结合的范围解得的值, 所列方
6、程如下: 峰点:x+= +2k;谷点:x+=- +2k. 利用零点时,要区分该零点是升零点,还是降零点. 升零点(图象上升时与x轴的交点):x+=2k; 降零点(图象下降时与x轴的交点):x+=+2k. (以上kZ),例1 (2016课标,3,5分)函数y=Asin(x+)的部分图象如图所示,则 ( )A.y=2sin B.y=2sin C.y=2sin D.y=2sin,解题导引,解析 由题图可知A=2, = - = ,则T=,所以=2,则y=2sin(2x+), 因为题图经过点 ,所以2sin =2,所以 +=2k+ ,kZ, 即=2k- ,kZ,当k=0时,=- ,所以y=2sin ,故
7、选A.,答案 A,方法2 三角函数性质问题的求解方法 1.周期性:求三角函数的最小正周期时,一般地,先经过恒等变换把三角 函数化为“y=Asin(x+)”或“y=Acos(x+)”或“y=Atan(x+)” 的形式,再利用周期公式求解即可. 2.奇偶性:判断函数的奇偶性,应先判断函数定义域的对称性,注意偶函 数的和、差、积、商仍是偶函数;复合函数在复合过程中,对每个函数 (为奇函数或偶函数)而言,只要有一个是偶函数,则复合函数就是偶函 数,若都是奇函数,则复合函数为奇函数. 3.单调性:三角函数单调区间的确定,一般先将三角函数式化为基本三角 函数的标准式,然后通过变形或利用数形结合的方法求解.
8、对于复合函 数单调性的确定,应明确,由两个函数复合而成时,同增或同减则为增,一,增一减则为减,即“同增异减”. 4.图象的对称性:判断函数f(x)=Asin(x+)(或g(x)=Acos(x+)(A0, 0)的图象对称性的方法,当x=x0时, f(x)(或g(x)取到最值,则f(x)(或g(x)的 图象关于直线x=x0轴对称;若f(x0)=0(或g(x0)=0),则f(x)(或g(x)的图象关于 点(x0,0)中心对称.,例2 若函数f(x)=sin 的图象向左平移 个单位后,得到y=g(x)的 图象,则下列说法错误的是 ( ) A.y=g(x)的最小正周期为 B.y=g(x)的图象关于直线x= 对称 C.y=g(x)在 上单调递增 D.y=g(x)的图象关于点 对称,解析 把函数f(x)=sin 的图象向左平移 个单位后,得到y=g(x)= sin 的图象,故g(x)的最小正周期为 =,故A中说法正确;令x= , 可得g(x)=1,为最大值,故y=g(x)的图象关于直线x= 对称,故B中说法正 确;当- x 时,- 2x+ ,故y=g(x)在 上不单调,故C中 说法错误;由x= ,可得g(x)=0,故y=g(x)的图象关于点 对称,故D 中说法正确,故选C.,答案 C,
