1、第三节 三角函数的图象和性质,1.周期函数的定义,2.三角函数的图象和性质,教材研读,考点一 三角函数的定义域与值域,考点二 三角函数的单调性,考点突破,考点三 三角函数的周期性、奇偶性及对称性,1.周期函数的定义 对于函数y=f(x),若存在一个不为零的常数T,使得当x取定义域内的每一 个值时, f(x+T)=f(x) 都成立,则称y=f(x)为周期函数.,教材研读,2.三角函数的图象和性质,1.(2019江苏南通海安高级中学高三模拟)函数f(x)=sin 的最小正 周期为 .,答案 ,2.(2018常州教育学会学业水平检测)函数f(x)=log2(sin2x+1)的值域为.,答案 0,1,
2、解析 因为0sin2x1,所以1sin2x+12,则函数的值域为0,1.,3.(教材习题改编)函数y=sin 的单调减区间为 .,答案 (kZ),解析 由2k+ x+ 2k+ ,kZ得2k+ x2k+ ,kZ,故减 区间为 (kZ).,4.(教材习题改编)函数y=tan 的定义域为 .,答案,解析 由3x+ k+ ,kZ解得x + ,kZ,故函数的定义域为.,5.(2018江苏苏州高三上学期期中)函数y=sin(2x+) 的图象的 一条对称轴是直线x= ,则的值是 .,答案,解析 由题意可得 += +k,kZ,= +k,kZ,又0 ,则= .,6.(2019江苏南通模拟)定义在区间0,3上的函
3、数y=sin 2x的图象与y= cos x的图象的交点个数是 .,答案 7,解析 在同一平面直角坐标系中作出y=sin 2x与y=cos x在区间0,3上 的图象(如图).由图象可知,共有7个交点.,考点一 三角函数的定义域与值域 角度一 求三角函数的定义域 典例1 (1)函数y=lg sin x+ 的定义域为 . (2)函数y= 的定义域为 .,考点突破,解析 (1)要使函数有意义,则有 即 解得 2kx +2k(kZ),答案 (1) (2) (kZ),函数的定义域为 . (2)要使函数有意义,则tan x- 0, 即tan x , 由正切函数图象可得k+ xk+ (kZ), 函数的定义域为
4、 (kZ).,方法技巧 三角函数定义域的求法 求三角函数的定义域实际上是构造简单的三角不等式(组),常借助三角 函数线或三角函数的图象来求解.,典例2 (1)函数f(x)=3sin 在区间 上的值域为 . (2)当x 时,函数y=3-sin x-2cos2x的最小值是 ,最大值是.,角度二 求三角函数的值域与最值,答案 (1) (2) ;2,解析 (1)当x 时,2x- , sin ,则3sin , 故函数f(x)在区间 上的值域是 . (2)x , sin x . 又y=3-sin x-2cos2x=3-sin x-2(1-sin2x),=2 + , 当sin x= 时,ymin= ; 当s
5、in x=- 或sin x=1时,ymax=2.,+cos x均可以通过换元转化为二次函数,y= 则可以通过换元转 化为一次分式函数,注意换元后“新元”的取值范围不能忽略;(3)导数 法:利用导数研究函数的单调性、极值、最值等性质.,规律总结 求与三角函数相关的函数的值域与最值的常见题型和解法:(1)直接法: 利用三角公式化为标准型y=Asin(x+)(A0,0),结合正弦函数的图象 求解;(2)换元法:利用换元法转化为基本函数型,如y=cos2x-sin x+1,y=sin2 x,典例3 已知函数f(x)=2 asin xcos x+asin2x-acos2x+b(a,bR),当x时,函数f
6、(x)的最大值为3,最小值为1- ,求a和b的值.,角度三 已知三角函数的最值,求参数的值,解析 因为f(x)= asin 2x-acos 2x+b=2asin +b,当x 时, 2x- ,2sin -2, . 则当a0时,函数f(x)的最大值为 a+b,最小值为-2a+b, 所以 解得a=1,b=3- ; 当a0时,函数f(x)的最大值为-2a+b,最小值为 a+b,所以 解得a=-1,b=1. 综上,a=1,b=3- 或a=-1,b=1. 方法技巧 已知三角函数的最值或值域,求参数的值或取值范围时,一般先按照求 三角函数的值域或最值的方法求出最值,再由题中所给的最值建立方程 (组)求解,含
7、有参数的还要注意可能需要对参数进行分类讨论.,1-1 函数y= 的定义域为 .,答案,解析 要使函数有意义,则sin x-cos x0. 则sin x-cos x= sin 0,则2kx- +2k(kZ),解得2k+ x2k+ (kZ), 所以函数的定义域为 .,1-2 函数y=sin x-cos x+sin xcos x的值域为 .,答案,解析 设t=sin x-cos x,则- t ,t2=sin2x+cos2x-2sin xcos x,则 sin xcos x= , y=- +t+ =- (t-1)2+1. 当t=1时,ymax=1; 当t=- 时,ymin=- - . 函数的值域为 .
8、,1-3 若函数y=sin x(0)在区间 上的最小值是-1,则的最小值 是 .,答案,解析 x ,0,则x ,函数的最小值是-1,则- -, ,则的最小值是 .,典例4 已知函数f(x)=sin2x-cos2x-2 sin xcos x(xR). (1)求f 的值; (2)求f(x)的最小正周期及单调递增区间.,考点二 三角函数的单调性,解析 (1)由sin = ,cos =- ,得 f = - -2 =2. (2)由cos 2x=cos2x-sin2x与sin 2x=2sin xcos x,得 f(x)=-cos 2x- sin 2x=-2sin , 所以f(x)的最小正周期是. 欲求函数
9、f(x)的单调增区间,只需求y=sin 的单调减区间即可,令 +2k2x+ +2k,kZ, 解得 +kx +k,kZ, 所以f(x)的单调递增区间是 (kZ).,方法技巧 1.求三角函数单调区间的两种方法 (1)在比较复杂的三角函数解析式中,将含自变量的代数式(如x+)整 体当作一个角u(或t),利用基本三角函数(y=sin x、y=cos x、y=tan x)的单 调性列不等式求解. (2)画出三角函数的图象,利用图象求函数的单调区间. 提醒:注意求函数y=Asin(x+)的单调区间时的符号,如果0,那么一 定要先借助诱导公式将化为正数,同时切莫忘记考虑函数自身的定义 域.,2.利用单调性确
10、定的范围的方法 已知函数的单调区间的某一部分,确定参数的范围时,要明确已知的单 调区间应为函数的单调区间的子集,其次要确定已知函数的单调区间, 从而利用它们之间的关系求解.,同类练 函数f(x)=sin 的单调减区间为 .,答案 (kZ),解析 因为f(x)=sin =-sin ,所以欲求函数f(x)的单调减区 间,只需求y=sin 的单调增区间即可. 由2k- 2x- 2k+ ,kZ, 得k- xk+ ,kZ, 故所给函数的单调减区间为 (kZ).,变式练 已知函数f(x)=2sin ,设a=f ,b=f ,c=f ,则a,b,c的 大小关系是 .(用“”连接),答案 cab,解析 a=f
11、=2sin , b=f =2sin , c=f =2sin =2sin , 因为y=sin x在 上递增,且 , 所以cab.,深化练 已知函数f(x)=sin x+cos x(0),xR.若函数f(x)在区间(-, )内单调递增,且函数y=f(x)的图象关于直线x=对称,则的值为 .,答案,解析 由已知得f(x)= sin ,令2k- x+ 2k+ (kZ),由 0,得 x (kZ).当k=0时,得f(x)的单调增区间为,所以(-,) ,所以 解得0 . 又y=f(x)的图象关于直线x=对称,所以2+ =k+ (kZ),则2=k+ (k Z),又0 ,所以= .,考点三 三角函数的周期性、奇
12、偶性及对称性 角度一 三角函数的周期性,典例5 (2019江苏宿迁高三模拟)若函数f(x)=sin (0)的最小 正周期为 ,则f 的值为 .,答案 -,解析 由题意可得 = ,故=10, 则f(x)=sin , 则f =sin =sin =sin =-sin =- .,方法技巧 三角函数最小正周期的两种求法 (1)先将所给函数化为y=Asin(x+),y=Acos(x+),或y=Atan(x+)的形 式,然后正弦函数与余弦函数用公式T= 求,正切函数用T= 求. (2)画出函数的图象,利用图象的特征求解.,角度二 三角函数的奇偶性,典例6 (1)设函数f(x)=cos (0)是奇函数,则=
13、. (2)若f(x)= sin(x+)-cos(x+) 是定义在R上的偶函数,则=.,答案 (1) (2)-,解析 (1)函数f(x)是奇函数, - = +k(kZ), = +k(kZ), 又0,= . (2)函数f(x)= sin(x+)-cos(x+)=2sin x+- 是R上的偶函数,-=k+ (kZ),=k+ (kZ), 又- ,=- . 规律总结 函数f(x)=Asin(x+)(A0,0),若函数f(x)是偶函数,则= +k(kZ); 若函数f(x)是奇函数,则=k(kZ).函数g(x)=Acos(x+)(A0,0),若 函数g(x)是偶函数,则=k(kZ);若函数g(x)是奇函数,
14、则= +k(kZ).,典例7 (1)(2018苏州模拟)若函数f(x)=cos (N*)的一个对称 中心是 ,则的最小值为 . (2)(2018江苏启东中学高三月考)已知函数f(x)=sin -cos x(0), 若函数f(x)的图象关于直线x=2对称,且在区间 上是单调增函数, 则的取值集合为 . (3)已知函数f(x)= sin 2 017x+cos 2 017x的最大值为A,若存在实数x1,x2,角度三 三角函数图象的对称性,使得对任意实数x总有f(x1)f(x)f(x2)成立,则A|x1-x2|的最小值为 .,答案 (1)2 (2) (3),解析 (1)由题意可得f =cos =0,则
15、 + = +k,kZ,则=2 +6k,kZ,又N*,则k=0时,取得最小值2. (2)f(x)=sin -cos x=sin xcos +cos xsin -cos x= sin x- cos x=sin , f(x)的图象关于直线x=2对称, 2- = +k,kZ,= (kZ),f(x)在区间 上是单调增函数, mZ,解得 mZ, 0,0 , 由得当k=0时,= ,满足式, 当k=1时,= ,满足式,当k=2时,= ,满足式, 故的取值集合为 . (3)f(x)=2sin 的最大值A=2, 由题意可知 f(x1)=f(x)min, f(x2)=f(x)max, 则直线x=x1,x=x2是函数
16、f(x)的图象的两条对称轴, 则|x1-x2|min= T= , 所以(A|x1-x2|)min= .,探究 将(1)中的条件“对称中心是 ”变为“对称轴为x= ”,则 的最小值为 .,答案 5,解析 由题意可知f =cos =1,则 + =k,kZ,=6k-1,k Z,又N*,所以k=1时,取得最小值5.,方法技巧 三角函数图象的对称性 (1)函数f(x)=Asin(x+)(A,是常数,A0,0)的图象的对称轴是使f(x) 取得最大、最小值时的x的值,而其图象的对称中心则是使函数值为0的 点.正弦函数、余弦函数的图象的对称中心一定在图象上,而正切函数 的图象的对称中心不一定在图象上.,(2)
17、图象上在对称轴两边与对称轴等距离的点的函数值相等;在对称中 心两边与对称中心等距离的点的函数值互为相反数,以上是数形结合解 题的关键. (3)相邻两条对称轴之间的距离等于 T,相邻两个对称中心之间的距离 等于 T,相邻对称轴与对称中心之间的距离等于 T(其中T为最小正周 期).,3-1 (2018江苏徐州铜山中学高三上学期期中)函数f(x)=2sin 的 最小正周期为 .,答案 6,解析 最小正周期T= =6.,3-2 (2018盐城高三第三次模拟)已知函数f(x)= sin(x+)-cos(x+) (0,0)为偶函数,且其图象的两条相邻对称轴间的距离为 ,则 f 的值为 .,答案,解析 函数f(x)= sin(x+)-cos(x+)=2sin 为偶函数,则-= +k,kZ,= +k,kZ,又0,则= , f(x)=2sin =2cos x,因为其图象的两条相邻对称轴间的距离为 ,所以T= ,=2,f(x)= 2cos 2x,则f =2cos = .,
